Принципы симметрии физических теорий 112

Конформно инвариантная скалярно-тензорная теория гравитации была построена

С. Дезер в 1970 году [13 ]. Приведем его дальнейшие аргументы. Под

конформное преобразование

г μν = ¯g μν ф -2,

√

− g =

√

− ¯g φ − 4

с некоторым конформным множителем φ имеем

1

6

√

− gR (г) φ 2

Знак равно

1

6

√

− ¯gR (¯g) -

√

-¯g¯g μν

φ; µ φ; ν φ − 2

А также

√

-Gg μν ф; ц ф; ν = ф -2 √

-¯g¯g μν ф; ц ф; ν.

Следовательно, в выражении

1

2 ∫

d 4 x √ − g [ φ; µ φ; ν g µ ν +

1

6

R φ 2 ] = 112 ∫ d 4 x √ − ¯ gR (¯ g),

Скалярное поле было удалено из степеней свободы.

Скалярное поле, добавленное к теории, неминимально связано с

Метрическое поле силы тяжести

W (φ) = -

1

2 ∫

d 4 x √ − g (g µ ν φ; µ φ: ν +

1

6

R φ 2).

Теория Бранса - Дике модифицирует теорию гравитации Эйнштейна

введением скалярного поля φ [14 ], связанного с плотностью массы

Во Вселенной. Авторы новой теории исходили из теории Маха.

Принцип, который гласит, что явление инерции является следствием

Ускорений тел относительно распределения полной массы в

Вселенная. Вариант действия

δ ∫ d 4 x √ − g (φ R - ξ

φ; α φ; α

φ)

= 0,

Стр.113

3.5. Конформно-инвариантные теории гравитации

113

где ξ - некоторая безразмерная постоянная, приводит к следующим полям

Уравнения

R µ ν -

1

2

g µ ν R =

ξ

φ 2 (φ; µ φ; ν -

1

2

г μν ф; & alpha; ф; & alpha;) + 1 φ (ф; μ; ν - г μν d ^).

Модель Дезера получается из модели Бранса-Дике при ξ = − 3/2.

Поль Адриан Морис Дирак (8 августа

Октября 1984) был англичанином

Физик-теоретик, который заложил основы

Умственный вклад в раннее развитие

Развитие как квантовой механики, так и

Квантовая электродинамика. Среди прочего

Открытия, он сформулировал Дирак

Уравнения, которые описывают поведение

Фермионов и предсказал существование

Антивещества. Дирак разделял

Bel премия по физике за 1933 г. с Er-

Вин Шредингер «за открытие

Новые продуктивные формы атомной теории».

Он также сделал работу, которая составляет основу

Современных попыток примирить генерал

Относительность с квантовой механикой.

Масштабно-инвариантная теория гравитации, сохраняющая все достижения

Суть теории Эйнштейна была сформулирована Дираком в знаменитой статье

[15 ]. Для этого он разработал анализ в конформной геометрии.

пытаться. При любом изменении масштаба длина ds умножается на коэффициент λ (x):

ds ′ = λ ds. Если локальное значение ϕ преобразуется по закону ϕ ′ = λ n ϕ,

Говорят, что его конформный вес равен n. Из выражения для

Стр. Решебника 114

Принципы симметрии физических теорий 114

интервале ds 2 = g µ ν dx µ dx ν следует, что метрический тензор g µ ν имеет кон-

формальный вес 2, потому что на dx µ не влияет масштабное преобразование.

Контравариантный тензор g µ ν имеет конформный вес − 2, и

√

− g имеет

конформный вес 4. Следуя Дираку, получим обобщенно ковариантный

Производные. Сначала возьмем скаляр S степени n. При масштабном изменении своего

ковариантная производная (которая является обычной производной) S µ преобразуется по формуле

Формула

S

′

µ = (λ n S), µ = λ n S µ + n λ n − 1 λ µ S = λ n [S µ + n (κ

′

µ - κ µ) S],

Где мы использовали (3.16), (3.17). Отсюда получаем

(S µ - n κ µ S)

′

= λ n (S µ - n κ µ S),

(3,19)

и определение ковариантной производной скаляра:

S ∗ µ

= S µ - n κ µ S.

(3.20)

Отметим, что согласно (3.19) он имеет конформный вес n.

Для получения ковариантных производных векторов и тензоров введем

модифицированные символы Кристоффеля ∗ Γ α

µ ν, которые определяются через

обычные символы Γ α

µ ν следующим образом:

∗ Γ

α

µ ν = Γ

α

µ ν - g α

µ κ ν - g α

ν κ µ + g µ ν κ

α

.

(3,21)

Символы ∗ Γ α

µ ν инвариантны относительно калибровочных преобразований. Позволять

A µ - вектор с конформным весом n. Выражение

A µ, ν - ∗ Γ α

µ ν A α

- тензор. При калибровочных преобразованиях он преобразуется следующим образом:

(A µ, ν - ∗ Γ

α

µ ν A α) ′ = λ

п

A µ, ν + n λ n − 1 λ ν A µ - ∗ Γ

α

µ ν λ

п

А α =

Стр.115

3.5. Конформно-инвариантные теории гравитации

115

= λ n (A µ, ν + n (κ

′

ν - κ ν) A µ - ∗ Γ α

µ ν λ n A α).

Следовательно, ковариантная производная вектора имеет вид:

A µ ∗ ν

= A µ, ν - n κ ν A µ - ∗ Γ α

µ ν A α,

Или, используя определение (3.21), перепишем его как

A µ ∗ ν

= A µ; ν - (n - 1) κ ν A µ + κ µ A ν - g µ ν κ α A α.

(3,22)

Аналогично контравариантному вектору B µ степени n получаем

B

µ

∗ ν

= B

µ

; ν - (n + 1) κ ν B

µ

+ κ

µ

B ν - g µ

ν κ α B

α

.

(3,23)

Тогда вы можете сформировать ковариантную производную для тензоров с разными верхними

и более низкие индексы по тем же правилам. Ковариантная производная имеет

В той же степени, что и исходное значение. Правило Лейбница для произведения двух

Тензоры также исполняются

(TU) ∗ α

= T ∗ α

U + TU ∗ α

,

а также условие консистенции:

g µ ν ∗ α

= 0,

г µ ν

∗ α

= 0.

Найдем вторую ковариантную производную скаляра S степени n

S ∗ µ ∗ ν

= S ∗ µ; ν - (n - 1) κ ν S ∗ µ

+ κ µ S ∗ ν - g µ ν κ

σ

S ∗ σ

.

Подставляя сюда формулу для первой ковариантной производной (3.20), получаем