Человек математик, физик-теоретик

Цист и философ. Хотя много

Всю свою трудовую жизнь провел в Цюрихе,

Швейцария, а затем Принстон,

США он связан с Универ-

Геттингенской традиции математики

Ics в лице Дэвида Гильберта и

Герман Минковский. После создания

Общей теории относительности

Эйнштейн, он обратился к единому полю

Теория. Хотя единая теория

Гравитация и электромагнетизм потерпели неудачу, его

теория калибровочной инвариантности предполагала большие

Значимость. Вейль также хорошо известен

Использование теории групп для квантового

Механика.

В бесконечно малой форме при exp (λ) ≈ 1 + λ закон преобразования

Принимает форму

ϕ ′ (e

λ

x) ≈ ϕ

′

(x + λ x) ≈ ϕ

′ (X) + λ x

µ ∂ ϕ ′

∂ x µ

(Икс),

Вследствие этого,

δϕ ≡ ϕ

′

(x) - ϕ (x) = λ x µ

∂ ϕ ′

∂ x µ

(Икс).

(3.13)

Стр.103

Группа Вейля

103

Отсюда получаем генератор масштабного преобразования (генератор ди-

широта) D:

D ≡ −ı x µ ∂

∂ x µ

.

Коммутационные соотношения генератора растяжения D с генератором

генераторы алгебры Пуанкаре:

[D, P µ ] = −ı P µ,

[D, M µ ν ] = 0.

Представления группы Вейля характеризуются целыми и полу-

Целые числа - конформные веса. Конформные веса n различных

поля (скаляр n = − 1, спинор n = − 3/2, вектор n = 0, тензор n = 2) являются

Можно вычислить, предполагая сумму конформных весов всех

Факторы действия для этих полей равны нулю.

Свободные действия этих полей и их взаимодействие друг с другом могут

Включают размерные параметры, такие как масса. Тогда говорят о

Резкое нарушение масштабной симметрии теории. Нарушение

Масштабная симметрия теории называется мягкой, если такое нарушение произошло.

в результате квантования исходной масштабно-инвариантной классической

Ори. Затем говорят о квантовых аномалиях. Пример такого

Аномалии - квантовые флуктуации вакуума из-за создания и

Уничтожение частиц квантовых полей. Источник аномалии может

За разделение поля на положительную и отрицательную частоты.

Частями и последующей интерпретацией коэффициента

Частицы волновой функции с отрицательной энергией как оператор аннигиляции

Частиц с положительной энергией. Эта обработка частиц с

Отрицательная энергия в настоящее время в квантовой теории поля является единственной уникальной

способ построить вакуумное состояние с наименьшей энергией [5 ].

Стр.104

Принципы симметрии физических теорий 104

Таким образом, разделение поля на положительную и отрицательную частоты

Части, приводившей к аномальным распадам мезонов, упомянутый выше казимирский

Энергия и размерные конденсаты полей в квантовой теории поля

(QFT), классические версии которого не содержали всех этих эффектов,

Экспериментально подтверждено. Можно сказать, что само построение

Стабильный вакуум в квантовой теории поля как состояние низшего эн-

Эргия, и даже гипотеза о его существовании, предполагает возможность

Квантовых аномалий.

Конформная группа C

Конформное преобразование - это обратимое отображение пространства-времени

координаты x µ → x ′ µ (x), оставляющие метрический тензор инвариантным

С точностью до фактора местного масштаба

g µ ν (x) → g

′ Μν (x ′) = Ω 2 (x) g µ ν (x).

Классическая теорема Лиувилля [6 ] утверждает, что любой конформный или угловой

сохраняющее отображение между открытыми подмножествами R n при n ≥ 3 является композицией

Инверсии, дилатации и изометрий. Итак, вышеупомянутый Вейль

группа, дополненная специальными конформными преобразованиями

x µ →

х µ + β µ х 2

1 + 2 (β λ x λ) + β 2 x 2

, Икс

2 ≡ x µ x

µ

, β µ ∈ R,

(3.14)

определяет группу конформных преобразований. Особый конформный

преобразование состоит из инверсии на единичном гиперболоиде

x µ →

x µ

Х 2

,

Стр.105

Конформная группа C

105

С последующим переводом

x µ → x µ + β µ,

С последующей второй инверсией на единичном гиперболоиде

x µ →

x µ

Х 2

.

Бесконечно малое специальное конформное преобразование

Икс

µ → x ′ µ = x

µ - 2 (β λ x

λ

)Икс

µ

+ β

µ

Икс

2

,

| β µ | ≪ | x µ |,

Такой, что

∂ x ′ µ

∂ x ν

= δ

µ

ν - 2 (β λ x

λ

) δ

µ

ν + 2 (x ν β

µ - x µ

β ν).

Генератор дилатации D, генераторы специальных конформных транс-

формации K µ

K µ = −ı (x 2 ∂ µ - 2x µ (x λ ∂ λ)),

и указанные выше генераторы группы Пуанкаре P µ, M µ ν, be-