Соответствующий бесконечно малому вектору с началом в произвольной точке

пространства (а, η).

Каждой точке этого пространства A (a, η) соответствует преобразование группы

G a, η = G A и наоборот. Условимся назвать точку, соответствующую

К идентичной трансформации как исходная точка пространства. Пара очков

Задать вектор. Отправной точкой для исследования геометрии группового пространства является

Определение равенства векторов. Будем говорить, что два вектора A 1 A 2

И B 1 B 2 равны, если элемент G A 1 отображается в G A 2 и элемент G B 1

отображается в G B 2 одним и тем же преобразованием G (g), действующим

правило:

G (g) G A 1 = G A 2;

G (g) G B 1 = G B 2.

Отсюда получаем

G A 2 G − 1

А 1

= G B 2 G − 1

В 1

.

Любая точка, бесконечно близкая к начальной, определяется аналитически.

бесконечно малым преобразованием группы. Любое бесконечно малое преобразование

Формирование линейно выражается n + r образующими X k, Y α:

G (da k, d η α) = I + dG (a k, η α)

G (da k, η α) = ı [da k X k + d η α Y α ];

k = 1,..., n; α = 1,..., г.

(4.15)

Вектор (0,0; da ′, d η ′) равен вектору (a, η; a + da, η + d η), если

точка (0,0) отображается в точку da ′, d η ′, точка (a, η) отображается в точку

(a + da, η + d η) одним и тем же преобразованием

G (g) ≡ G (a + da, η + d η) G

− 1 (a, η) = G (d η ′, da ′) G − 1 (0,0) = G (d η ′, da ′).

Это означает, что с любой точкой пространства (a, η) можно связать

Такая декартова система отсчета, равная (в групповом смысле) системе отсчета, соединенной

Стр. Решебника 132

Нелинейные реализации групп симметрии 132

с исходной точкой. Вектор (a, η; a + da, η + d η) имеет то же

Аналитическое выражение в виде (4.15). Обозначение

d η ′ i = ω ′ (a, η; da, d η),

d η ′ α = θ α (a, η; da, d η),

Мы получили

dG a, η G − 1

a, η = ı (ω i X i + θ α Y α).

(4.16)

Структурные уравнения

Пусть f - функция переменных в пространстве неприводимых представлений

Какой-то группы. Бесконечно малое действие элементов группы на

Функция f имеет вид

df = ı [ ω

я

(г) X i + θ

α

(г) Y α ] f.

(4.17)

Построим билинейный дифференциал

δ df = ı [ δω

я

(г) X i + δθ

α

(г) Y α ] f + ı [ ω

я

(г) δ (X i f) + θ

α

(г) δ (Y α f)],

где дифференциал функций X i f и Y α f определяется согласно

(4.17). Действие внешнего дифференциала на левую часть равенства

(4.17) приводит к нулю:

(df) ′

= δ df - d δ f = 0.

Приравнивая коэффициенты аналогичных линейно независимых образующих в

(4.17) приводит к системе структурных уравнений:

(ω

я

) ′ = C

я

k β ω

к ∧ θ β

;

Стр. Решебника 133

Структурные уравнения

133

(θ

γ

) ′ =

1

2

C

γ

αβ

θ

α ∧ θ β

+

1

2

C

γ

ки

ω

к ∧ ω я

;

Где

(ω k) ′

= −δω k (d) + d ω k (δ);

ω k ∧ θ β = ω k (d) θ β (δ) - ω k (δ) θ β (d).

Получив уравнения, можно перейти к таким структурным уравнениям

Где есть зависимость только от латинских индексов, связанных с пространством

Параметров a i смежного класса G / H. Для этого определим новые дифференциальные формы

ω я

к = С я

k β θ β

(4.18)

И использовать тождества Якоби, приводящие к

C k

αβ C l

jk = C l

β k C k

α j - C l

α k C k

β j.

Окончательно для дифференциальных форм ω i, ω i

k

Следующие уравнения

(ω

я

) ′ = Ω

к ∧ ω я

K,

(4.19)

(ω i

j) ′

= -

1

2

R l

jki ω k ∧ ω i + ω k

j ∧ ω l

K,

(4.20)

Где

− R l

jki = C

л

j γ C

γ

ки

;

И зависимость остается только от латинских индексов смежного пространства.

Уравнения (4,19), (4,20) по форме совпадают со структурными уравнениями.

Условий Картана для риманова n-мерного пространства с ненулевым

Кривизна. Далее мы рассматриваем только групповое пространство параметров a i,

установив параметры равными нулю: η α = 0. Можно трактовать различие

Единичные формы ω i как компоненты бесконечно малого сдвига начала отсчета

Стр. Решебника 134

Нелинейные реализации групп симметрии 134

относительно рамы в точке a, а ω i

J как изменение кадра

составные части. Согласно такой геометрической интерпретации форм ω i

и θ γ как сдвиг и поворот, естественно считать, что преобразование

Группы G является вращением, если оно принадлежит подгруппе H, и сдвигом, если оно

возникает инфинитезимальным преобразованием ω i X i. Подгруппа H группы

преобразований оставляет фиксированное начало каркаса группового пространства и

Называется стационарной подгруппой пространства. Можно получить реализации

преобразований, представляющих общее групповое преобразование G

В виде умножения

G = K (a) H (η),

(4,21)

где K (a) - преобразование, принадлежащее левому смежному классу G / H

Группу G по подгруппе H. Действуя слева на элемент группы