На основе функционала действия, геометрического интервала, симметрии отсчета

Системы отсчета, калибровочная симметрия, уравнения движения и уравнения связей

Для исходных данных.

Стр.72

Исходные данные и системы отсчета 72

Геометродинамика релятивистской частицы

Следуя идеям Гильберта [ 8], можно построить геометроды-

динамика релятивистской частицы. Ковариантный подход основан на двух

принципы: действие [ 9, 10]

S SR = -

м

2 ∫ d τ e (τ) [(

dX (α)

е (τ) d τ)

2

+ 1]

(2.17)

для переменных X (α) = [X (0) | X (i) ], образующих пространство событий

Движущаяся частица и геометрический интервал

ds = e (τ) d τ

(2.18)

В одномерном римановом пространстве на мировой линии частицы

в этом пространстве (см. рис. 2. 1). Здесь e (τ) - единственная компонента метрики,

Так называемая ляпс-функция параметра эволюции координат (ein-bein).

Вариация действия по функции e (τ) дает

Уравнения геометродинамики

[e (τ) d τ ] 2 = dX

2

(α) ≡ dX 2

(0) - dX 2

(1) - dX 2

(2) - dX 2

(3).

(2.19)

Решая эти уравнения относительно e (τ), приходим к

e (τ) = ± √ (

dX (α)

d τ)

2

.

(2.20)

Видно, что действие (2.17) в этих решениях совпадает с действием

Начальное действие (2. 7) релятивистской частицы с точностью до знака. Нега-

знак e (τ) в уравнении. (2.20) влечет смену знака массы в

Действие (2.7) для античастицы. Уравнение (2.19) называется

Уравнение связи. Для гамильтоновой теории релятивистских частиц

Стр.73

Основы специальной теории относительности

73

ЧАСТИЦА

Ψ (X

0

| X i

)

Х 1

Х 2

Х 0 = Х 0I

Ψ (s | q

я

)

P 0 = E

q

2

q

1

ds

Х 0

Рисунок 2.1: Движение неустойчивой релятивистской частицы по мировой линии в пространстве.

Событий. Движение полностью описывается двумя ньютоновскими наборами

Наблюдаемые, динамические и геометрические. У каждого свое время и волновая функция.

Ψ. Два измеренных времени жизни частицы (время как динамическое

Переменная X 0 или геометрический интервал s) связаны между собой уравнениями движения

Вытекающая из действия геометродинамики типа Гильберта, а не Лоренца.

Трансформации.

при ограничениях соответствующее действие может быть получено из (2.17) следующим образом:

Вводя канонические импульсы

P (α) = ∂ L SR / ∂

˙

X (α):

S SR =

τ 2

∫ τ 1

d τ [ − P (α)

dX (α)

d τ

+

Е (т)

М (

п

2

(α) - м 2)].

(2.21)

Здесь функция отклонения e (τ) параметра эволюции координат τ

определяет геометрический интервал (2.18):

ds = e (τ) d τ

↦− → s (τ) =

τ

∫ 0

d τ e (τ).

(2.22)

Действие (2. 21) и интервал (2.22) инвариантны относительно

Стр.74

Исходные данные и системы отсчета 74

перепараметризация параметра эволюции координат τ:

τ

- → ˜ τ = ˜ τ (τ).

(2.23)

Следовательно, СТО можно было бы назвать одномерной ОТО с

Группа репараметризации параметра эволюции координат (2.23), обслуживающая

как группу калибровочных (общих координат) преобразований. Уравнение

для вспомогательной функции допуска δ S SR / δ e = 0 определяет гамильтониан

ограничение на импульсы частиц P (0), P (i):

P 2

(0) - П 2

(я)

= м 2,

(2.24)

Так называемое уравнение массовой поверхности.

Уравнения

P (α) = m

dX (α)

ed τ ≡

м

dX (α)

ds

,

dP (α)

ds

= 0,

(2.25)

для переменных P (α), X (α), полученных вариацией действия (2.21), равны

калибровочно-инвариантный.

Решение

X (α) (s) = X I (α) +

P I (α)

м

с,

(2.26)

Этих уравнений в терминах геометрического интервала (2.22) является обобщением

Решения уравнений Ньютона (2. 3) в минковском

Космос. В этом случае геометрический интервал времени служит эволюцией

параметр, а P I (α), X I (α) - начальные данные для четырех переменных в

точка s = 0:

X (α) (s = 0) = X I (α).

(2.27)

Эти уравнения содержат три новых свойства по сравнению с ньютоновскими.

Механики, а именно, ограничение по импульсу (2.24), временная составляющая

Стр.75

Основы специальной теории относительности

75

В решении (2.26) уравнения движения, а начальное значение

X I (0) времени как переменная.

Сведение геометродинамики к

Релятивистская динамика Планка (1906 г.)

Действие (2.21) и интервал (2.22) выше были обозначены как ge-

Метродинамика частицы. Геометродинамика частицы есть

Характеризуется двумя временами в каждой системе отсчета, а именно временем

Как геометрический интервал, измеряемый наблюдателем на мировой линии и

Время как динамическая переменная, измеряемая фиксированным наблюдателем. В

Физическая интерпретация решений (2. 24) и (2.26) геометродинамического

Ics определяется выбором конкретной системы отсчета Лоренца.

P µ = (P (0), P (i)), так называемая система покоя наблюдателя. Решение P (0)

P (0) ± = ± √ P 2

(я)

+ m 2 = ± H

(2.28)