Издательство института Минковского (2012)

[6] Планк, М.: Принципы релятивности унд die grundgleichungen der

Механик. Verhandlungen Deutsche Physikalische Gesellschaft. 8, 136

(1906)

[7] Эйнштейн, А.: Zur elektrodynamik der bewegter körper. Анальный. d. Phys.

17, 891 (1905)

91

Стр.92

Исходные данные и системы отсчета 92

[8] Hilbert, D.: Die gründlangen der Physik, Nachrichten von der Kön.

Gesellschaft der Wiss. Гёттинген. Матем.-физ. Kl. 3, 395 (1915)

[9] Павловский, М., Первушин, В.Н. Репараметризация-инвариантный путь.

Интеграл в ОТО и «Большой взрыв» квантовой Вселенной. Int. J. Mod.

Phys. 16, 1715 (2001)

[10] Барбашов Б.М., Первушин В.Н., Проскурин Д.В.

Динат как динамические переменные в релятивистских теориях. Теор. и математика.

Phys. 132, 1045 (2002)

[11] Ланцош, Корнелиус: Вариационные принципы механики. Uni-

Разнообразие Toronto Press, Торонто (1962)

[12] Боголюбов, Н.Н., Ширков, Д.В.: Введение в теорию

Квантованные поля. Джон Уайли и сыновья, Нью-Йорк (1980)

[13] Джордан, П.: Zur Neutrinotheorie des Lichtes. Z. Phys. 93, 464 (1935)

[14] Первушин В.Н. Вакуум в калибровочных теориях. Рив. дель Нуово

Cimento. 8, 1 (1985)

[15] Илиева Н.П., Первушин В.Н. Минимальное квантование двумерных

Размерные калибровочные теории. Частицы и ядра. 22, 573 (1991)

[16] Фаддеев, Л.Д., Попов, В.Н. Ковариантное квантование гравитационного

Национальное поле. Физика – Успехи. 16, 777 (1974)

[17] Бахколл, Н.А., Острикер, Дж. П., Перлмуттер, С., и Стейнхард, П. Дж.:

Космический треугольник: раскрытие состояния Вселенной. Наука. 284, г.

1481 (1999)

Стр.93

2.6. Резюме и литература

93

[18] Нарликар, СП: Введение в космологию. Джонс и Бартлетт,

Бостон (1983)

[19] Уиллер, Дж. А.: Лекция по математике и физике. Бенджиамин,

Нью-Йорк (1968)

[20] Де Витт, Б.С.: Квантовая теория гравитации. I. Каноническая теория.

Phys. Ред. 160, 1113 (1967)

Стр.94

Глава 3

Принципы симметрии

Физические теории

Неприводимые представления

Группа Лоренца

Группа Лоренца определяется требованием инвариантности

Скорость света во всех инерциальных системах отсчета. Это обобщение

Галилеевы преобразования, а также смешанные пространственные

и временные координаты частицы. Набор линейных преобразований,

сохраняя инвариантную форму интервала

ds

2

= c

2

dt

2 - dx 2 - dy 2 - dz 2 ≡ (dx 0)

Дх 1)

Dx 2)

Dx 3)

2

,

называется группой Лоренца. Преобразования группы определяются как

Икс

′

µ = Λ µ ν x ν,

(3.1)

94

Стр.95

Неприводимые представления группы Лоренца.

95

где Λ ∈ O (3,1). Введем эрмитовы генераторы лоренцевой

Трансформации

L µ ν = ı (x µ ∂ ν - x ν ∂ µ).

Образующие L µ ν образуют алгебру Ли, поэтому (3,1):

[L µ ν, L ρτ ] = ı (g µ ρ L ντ - g µ τ L νρ - g νρ L µ τ + g ντ L µ ρ).

(3,2)

Наиболее распространенное представление операторов, удовлетворяющих коммутативному

Соотношений (3.2), имеет вид

M µ ν ≡ ı (x µ ∂ ν - x ν ∂ µ) + Σ µ ν,

где спиновые операторы Σ µ ν образуют одну и ту же алгебру Ли (3.2) и со-

немой с операторами L µ ν. Эрмитовы образующие M ij образуют алгебру

оборотов su (2):

[M ij, M kl ] = −ıδ jk M il + ıδ ik M jl + ıδ jl M ik - ıδ il M jk.

(3.3)

Введем операторы пространственных вращений

J i ≡

1

2

ε ijk L ik,

где ε ijk - символ Леви – Чивиты, антисимметричный по всем индексам, и

Операторы повышения

K i ≡ L 0i.

Из алгебры (3.2) получаем

[J i, J j ] = ıε ijk J k,

[K i, K j ] = −ıε ijk J k,

[J i, K j ] = ıε ijk K k.

(3,4)

Стр.96

Принципы симметрии физических теорий 96

Коммутационные соотношения (3. 4) можно разложить, введя

Линейные комбинации

N i ≡

1

2

(J i + ı K i),

N +

я ≡

1

2

(J i - ı K i)

С алгеброй

[N i, N

+

j ] = 0,

[N i, N j ] = ıε ijk N k,

[N

+

Я, N

+

j ] = ıε ijk N

+

k

. (3.5)

Следовательно, в новых образующих алгебра Ли (3.2) представлена ​​ в виде

прямая сумма комплексно-сопряженных спиновых алгебр:

су (2) ⊕ су (2).

Есть два оператора Казимира N i N i, N +

я

N +

я

, принадлежащий к универ-

sal охватывающая алгебра [ 1, 2] с собственными значениями n (n + 1), m (m + 1). состояния

В рассматриваемом представлении отличаются собственными значениями операторов

N 3 и N +

3

Соответствующих алгебр. Согласно лемме Шура,

Операторы, коммутирующие со всеми образующими алгебры, являются про-

Часть единицы. Следовательно, полученные представления можно

Пронумерованы парами чисел (n, m), которые принимают целое и полуцелое число

значения: n, m = 0, 1/2, 1, 3/2, 2,....

Например, давайте рассмотрим следующие представления, объединенные

парой целых и полуцелых чисел:

1. (0,0): спин равен нулю скалярной или псевдоскалярной частице;

2. (1 / 2,0): спин равен 1/2, левый спинор Вейля;

3. (0,1 / 2): спин равен 1/2, правый спинор Вейля;

4. (0,1 / 2) ⊕ (1 / 2,0): спинор Дирака;

5. (1 / 2,0) ⊕ (0,1 / 2) = (0,0) ⊕ (1,0): в этом случае внутренний продукт