Определяет матрицу типа Фолди - Ваутхойзена

S a (q) = exp [ ı (q γ / q) υ a (q)] = cos υ a (q) + ı (q γ / q) sin υ a (q), (10.24)

с вектором матриц Дирака γ = (γ 1, γ 2, γ 3), лежащим в диапазоне

0 ≤ υ a (q) ≤ π / 2, а υ a (q) - угол Фолди - Ваутхойзена. В

Спектр фермионов можно получить, решив уравнение СД (10.21).

Его можно проинтегрировать по продольному импульсу q 0 = (q · ℓ) в

система отсчета ℓ 0 = (1,0,0,0), где q ⊥ = (0, q). Используя уравнение. (10.24),

Кварковую функцию Грина можно представить в виде

G Σ a

= [q 0 / ℓ - E a (q ⊥) S − 2

a (q ⊥)] − 1 =

= 

Λ

(ℓ)

(+) а

(д ⊥)

q 0 - E a (q ⊥) + ıǫ

+

Λ

(ℓ)

(-) а

(д ⊥)

q 0 + E a (q ⊥) + ıǫ  /

ℓ,

(10,25)

Где

Λ

(ℓ)

(±) а

(q ⊥) = S a (q ⊥) Λ

(ℓ)

(±)

(0) S − 1

(д ⊥), Λ

(ℓ)

(±) (0) = (1 ± / ℓ) / 2 (10,26)

- операторы, разделяющие состояния с положительным (+ E a) и отрицательным

(− E a) энергии. В результате получаем следующие уравнения для

Стр. Решебника 290

КХД с уменьшенным фазовым пространством 290

одночастичной энергии E и угла υ (10.23) с заданным потенциалом

По формуле. (10.18)

E a (k ⊥) cos 2 υ a (k ⊥) = m 0

а +

1

2 ∫

d 3 q ⊥

(2 π) 3

V (k ⊥ - q ⊥) cos 2 υ a (q ⊥).

В системе покоя ℓ 0 = (1,0,0,0) это уравнение принимает вид

M a (k) = m

0

а +

1

2 ∫

Г 3 д

(2 π) 3 V (k - q) cos 2 υ a (q).

(10.27)

Используя интеграл по телесному углу

∫ π

0

d ϑ sin ϑ

2 π

M 2

г + (к - д) 2

Знак равно

+1

∫

− 1

d ξ

2 π

M 2

g + k 2 + q 2 - 2kq ξ

Знак равно

Знак равно

π

kq

Пер

M 2

г + (к + д) 2

M 2

г + (к - д) 2

и определение константы связи КХД α s = 4 π g 2, это может быть

Переписано как

M a (k) = m

0

а +

α s

3 π k

∞

∫ 0

dq

QM a (q)

√ M 2

а (д) + д 2

Пер

M 2

г + (к + д) 2

M 2

г + (к - д) 2

. (10.28)

Предложенная схема позволяет рассматривать уравнение СД (10.27) в

Предел, когда голая текущая масса m 0

a равно нулю [14 ]. Тогда уль-

Травиолетная дивергенция отсутствует, следовательно, процедура перенормировки

Можно успешно избежать. Такого рода нелинейные интегральные уравнения были

численно рассмотрено в статье [ 15].

Решение для M a (q) в сепарабельном приближении [ 16] в

форма ступенчатой ​​ функции использовалась для оценки кварка и

Спектры мезонов в соответствии с экспериментальными данными. В настоящее время ню-

Мерические решения нелинейного уравнения (10.28) находятся в стадии разработки, и

Детали вычислений будут опубликованы в другом месте.

Стр. Решебника 291

Нарушение киральной симметрии в КХД

291

Как обсуждается в Приложении B, уравнение SD (10.27) может быть

Переписать в виде (10.28). Как только мы узнаем решение уравнения. (10.28)

для M a (q) можно определить углы Фолди - Ваутхойзена υ a, (a =

u, d) для u-, d- кварков с помощью соотношения (10. 23). Тогда БС

Уравнения в виде

M π L π

2 (p) = [E u (p) + E d (p)] L π

П) -

(10.29)

∫ d 3 q

(2 π) 3 В (p − q) L

π

1 (q) [c - (p) c - (q) + ξ s - (p) s - (q)],

M π L π

1 (p) = [E u (p) + E d (p)] L π

П) -

∫ d 3 q

(2 π) 3 V (p - q) L π

2 (q) [c + (p) c + (q) + ξ s + (p) s + (q)]

дают массу пиона M π и волновые функции L π

1 (p) и L π

П). Здесь

M u, m d - текущие массы кварков,

E a = √ p 2 + M 2

А (р),

(а = и, г)

- энергии u-, d-кварков, ξ = (pq) / pq, и мы используем обозначения

E (p) = E a (p) + E b (p),

(10.30)

c ± (p) = cos [ υ a (p) ± υ b (p)],

(10.31)

s ± (p) = sin [ υ a (p) ± υ b (p)].

(10.32)

В некоторых предельных случаях модель упрощается. Однажды массы кварков

m u и m d малы и примерно равны, Ур. (10.27) и (10.29)

Принять форму

m a = M a (p) -

1

2 ∫

Г 3 д

(2 π) 3 V (p - q) cos 2 υ u (q),

(10,33)

M π L π

П)

2

= E u (p) L π

П) -

1

2 ∫

Г 3 д

(2 π) 3 V (p − q) L π

Q).

(10,34)

Стр. Решебника 292

КХД с уменьшенным фазовым пространством 292

Решения уравнений этого типа рассматриваются в многочисленных статьях.

pers [ 17, 18, 19, 20, 21] (см. также обзор [15]) для разных потенциалов.

Одним из основных результатов этих работ был чистый квантовый эффект

Спонтанное нарушение киральной симметрии. В этом случае мгновенный

Взаимодействие приводит к перестройке ряда возмущений и сильно

Изменяет спектр элементарных возбуждений и связанных состояний в со-

Переход к наивной теории возмущений.

В пределе безмассовых кварков m u = 0 левая часть уравнения (10,33)

Равно нулю. Ненулевое решение уравнения (10.33) следует, что там

существует мода с нулевой массой пиона M π = 0 в соответствии с Голд-

Теорема камня. Это означает, что уравнение BS (10,34), будучи

Уравнение для волновой функции пиона Голдстоуна совпадает с

уравнение СД (10.33) в случае m u = M π = 0. Сравнение

Уравнения дают

L π

1 (р) =

М у (п)

√ 2F π E u (p)

Знак равно

cos 2 υ u (p)

√ 2F π

,

(10,35)

где константа пропорциональности F π в уравнении. (10,35) называется

Константа слабого распада. В более общем случае массивного кварка

m u = 0, M π = 0, эта постоянная определяется из нормировки

Условие (B.40)

1 =

N c

М π ∫ d 3 q

(2 π) 3

L 2 L 1 =

N c

М π ∫ d 3 q

(2 π) 3

L 2

cos 2 υ u (p)

F π

(10,36)

с N c = 3. В этом случае волновая функция L π

P) пропорционален

Фурье-компонента кваркового конденсата

C кварк =

п = N c

∑

п = 1

〈 Q n (t, x) q n (t, y) 〉 =

(10,37)

Стр. Решебника 293

Нарушение киральной симметрии в КХД

293

= 4N c ∫ d 3 p

(2 π) 3

М у (п)

2 √ п 2 + М 2

U (p)

.

Используя уравнения. (10.23) и (10.35) можно переписать определение

Кварковый конденсат (10.37) в виде

C кварк = 4N c ∫

Г 3 д

2 (2 π) 3

cos 2 υ u (q).

(10,38)

Предположим, что представление волновой функции L 1 (10.35)

Все еще верно для ненулевых, но малых масс кварков. Тогда вычитание