Рассмотрим действие ( 14.7) радиального движения в нерелятивистском

предел:

S N =

η 0

∫ η I

d η

r ′ 2 м (η)

2

;

(14,8)

здесь r = √ x i x i и r ′ = dr / d η. В этом случае уравнение движения имеет вид

[r ′ (η) m (η)] ′ = 0

(14,9)

С исходными данными

г I = г (η I),

r ′ I = p I / m 0,

m I = m (η I).

Это уравнение имеет следующее решение:

r (η) = r I + p I

η

∫ η I

d¯ η

m (¯ η)

.

(14.10)

Мировое время Фридмана dt = d η a (η) и абсолютная координата

R (t) = a (η) r (η)

(14.11)

определяются конформным преобразованием с масштабным фактором

а (η (t)) = a (t),

Стр. Решебника 356

Космологическая модификация ньютоновской динамики 356

Которое обычно выбирается как единство для современной эпохи

η = η 0:

а (η 0) = 1,

масштабный коэффициент в начальный момент времени η = η I определяется

z-фактор:

а (η I) = а I =

1

(1 + я)

,

где г (η я) = г я. Поскольку фридмановы переменные привязаны к современным

эры η = η 0, время η I удобно заменить на η 0. Тогда мир

Пространственный интервал

R (t) = a (η) r (η)

Задается выражением

R (t) = a (t) r 0 +

П я

М 0

т

∫ т я

d¯t

a 2 (¯t) 

(14.12)

И удовлетворяет уравнению движения

¨

R (t) - (H

2

+ ˙ H) R = 0,

(14.13)

где H (t) = ˙ a (t) / a (t) - параметр Хаббла. Уравнение мо -

Ция следует из действия

S N (t) =

Т 0

∫ т я

Dt (

˙

R - HR)

2

М 0

2

.

(14.14)

То же действие можно получить геометрически, используя определения

Измеренные интервалы в Стандартной космологии

dl = a (t) dr = d [ra (t)] - r ˙ a (t) dt = [ ˙ R - HR] dt,

Стр. Решебника 357

Движение пробной частицы в центральном поле.

357

включая интервал мирового пространства R (t) = ra (t) в пространстве-времени с

Метрика Фридмана - Лемейтра - Робертсона - Уокера (FLRW)

(ds

2

) = (dt)

А 2

(t) (dx

я

)

2

.

(14.15)

Наблюдаемые координаты X i расширяющейся Вселенной можно записать в виде

В виде

X i = a (t) x i, dX i = a (t) dx i + x i da (t),

(14.16)

а вместо евклидовых дифференциалов dX i используются ковариантные

a (t) dx i = d [a (t) x i ] - x i da (t) = dX i - X i da (t)

в)

.

(14.17)

В Стандартной космологии масса частицы постоянна.

Интервал (14.15) в переменных (14.16) становится равным

(ds 2) = (dt) 2 - ∑

i = 1,2,3 (dX i - H (t) X i dt)

2

,

(14.18)

Где H (t) - мировой параметр Хаббла. Все эти уравнения путем со-

формальные преобразования сводятся к уравнениям, приведенным в книге

Пиблза [ 6].

Движение пробной частицы

В центральном поле

Энергия частицы, движущейся по геодезической линии в пространстве с

Данную метрику можно найти, решив уравнение массовой оболочки.

Приравнивая квадрат 4-импульса p µ p µ к квадрату массы в

Стр. Решебника 358

Космологическая модификация ньютоновской динамики 358

метрика (14.2):

p 2 = g µ ν p µ p ν = m 2

(14.19)

Находим выражение для энергии p 0

p 0 ≈ ± [(1 -

Г г

Р)

м +

П 2

р

2м

+

П 2

θ

2мр 2 ].

(14.20)

Из условия положительной энергии p 0 > 0 в правой части

(14.20) выбираем положительный знак; в результате в нерелятивистском

Предел, мы приходим к действию 1

S классический =

η 0

∫ η I

d η [p r r ′ + p θ θ ′ - E classic ],

(14.21)

Где

E classic =

П 2

р

2м

+

П 2

θ

Мр 2 -

Г г м

2r

,

(14.22)

а m = m (η) - конформная масса пробного тела, зависящая от

Время (эволюция) и определяется (14.3). Произведение r g m представляет собой

конформный инвариант, не зависящий от времени. Для постоянной массы m = m 0

Получается классическое действие.

В случае частицы с постоянной массой, движущейся по окружности

(r = r 0) ньютоновская скорость

w 0 = √

Г г

Р 0

Совпадает с орбитальным

v 0 =

p θ

М 0 г 0

.

Уравнения движения свободной частицы с учетом расширения Вселенной,

не отличаются от приведенных в монографии Пиблза [ 6].

Стр. Решебника 359

Проблема Кеплера в конформной теории

359

Равенство w 0 = v 0 лежит в основе анализа данных наблюдений.

о темной материи во Вселенной [ 7].

Для определения области применимости теории Ньютона с

Постоянную массу и состояние круговых траекторий мы будем исследовать

Для задачи Кеплера для переменных масс (14.54) зависимость

По времени которого определяется астрофизическими данными о сверхновых

[ 2].

Проблема Кеплера в

Конформная теория

Учитывая зависимость координатного расстояния от

Конформное время (14.2) и космическая эволюция в жестком состоянии обусловливают

Можно перейти от параметра эволюции η к монотонно

возрастающая функция a (η)

а (η) = √ 1 + 2H 0 (η - η 0).

(14.23)

Тогда из уравнения движения для ньютоновского действия (14.21) так-

Учитывая зависимость массы от конформного времени

(14.54) и соотношение (14.23) получаем явное параметрическое решение

a (τ) и r (τ) с параметром τ, введенным в [4, 5, 8]:

а (т) = с 1

N 1 (τ)

τ 2/3 Н (τ)

,

Г (т)

Г 0

= c 2 τ 2/3 N (τ),

(14.24)

Где

N (τ) = α 1 U (τ)

2

+ β 1 U (τ) V (τ) + γ 1 V (τ)

2

,

(14,25)

Стр. 360

Космологическая модификация ньютоновской динамики 360

N 1 (τ) = (τ

dN (τ)

d τ

+

2

3N (τ))

2

± 4 τ 2

N (τ)

2

+ ω

2

∆,

(14.26)

∆ = 4 α 1 γ 1 - β 2

1 > 0, c 1, c 2, α 1, β 1, γ 1 = const,

(14.27)

c 1 = (

Н 2

0

C 2

0) 1/3

C 0 v 0

2w 2 | ω | ∆ 1/2

, c 2 = (

C 2

0

Н 2

0) 1/3

V 0

| ω | ∆ 1/2

. (14.28)

Здесь

ш

2

0 =

Г г

Р 0

,

v 0 =

p θ

М 0 г 0

,

с 0 = H 0 r 0

(14.29)

- ньютоновская, орбитальная и космическая скорости соответственно.