А.1. Квантовая электродинамика

393

В соответствии с калибровочной инвариантностью продольная составляющая должна исключаться.

Также определяется набором степеней свободы КЭД.

А.1.3 Устранение продольной составляющей

Это исключение осуществляется выбором «радиационных переменных» в виде

калибровочно-инвариантные функционалы от исходных полей, т. е. «одетых полей» [ 1]

A R

µ = A µ + ∂ µ Λ,

ψ R = e ı e Λ ψ,

(A.11)

В этом случае линейный член ∂ k A k исчезает в законе Гаусса (П.4)

∆ A R

0 = j R

0 ≡ e

¯

ψ R γ 0 ψ R.

(П.12)

Источник калибровочно-инвариантного потенциального поля A R

Может быть только эл.

Ток j R

Тогда как пространственные компоненты векторного поля A R

k

Совпадают с поперечным

∂ k A R

k = ∂ k A T

к ≡ 0.

(A.13)

Таким образом, фиксация фрейма A µ = (A 0, A k) совместима с не-

Понимание A 0 как классического поля и использование Дирака, одетого

Полей (A.11) ограничений Гаусса (A.4) приводит к пониманию

переменные (A.11) как калибровочно-инвариантные функционалы от исходных полей.

А.1.4 Статическое взаимодействие

Подстановка явного разрешения ограничений Гаусса (П.4)

В начальное действие (П.1), вычисленное на ограничениях, приводит к тому, что

Стр. Решебника 394

А. Редуцированная абелева теория поля 394

начальное действие можно выразить через калибровочно-инвариантное излучение

переменные (A.11) [1, 3]

S = ∫ d

4

Икс(

1

2

(∂ µ A

р

Л)

2

+ ¯ ψ

р

[ ı / ∂ - m] ψ

R - A R

K j

р

k +

1

2

j

р

0

1

△

j

р

A.14)

Гамильтониан, соответствующий этому действию, имеет вид

H =

(Π R

k

) 2 + (∂ j A R

k

) 2

2

+ p R

ψ γ 0 [ ıγ k ∂ k + m] ψ R +

(A.15)

+ А

р

K j

р

K -

1

2

j

р

0

1

△

j

р

0,

где Π R

k

, p R

ψ

- канонические поля сопряженных импульсов теории

Рассчитывается стандартным способом. Следовательно, вакуум можно определить как

Состояние с минимальной энергией, полученное как значение гамильтониана

для уравнений движения. Релятивистские ковариантные преобразования

калибровочно-инвариантные поля доказываются на уровне фундаментальных

операторное квантование в виде генераторов алгебры Пуанкаре [ 4].

Статус теоремы об эквивалентности излучения Дирака

переменные и формулировка калибровки Лоренца рассмотрены в [5, 6, 7, 8].

А.1.5 Сравнение радиационных переменных с

Калибровочные Лоренца

Статическое взаимодействие и соответствующие связанные состояния теряются в

Любая безрамочная формулировка, в том числе калибровочная Лоренца. Действие

(П.8) преобразуется в

S = ∫ d 4 x (-

1

2

(∂ µ A L

ν) 2 + ¯ ψ L [ ı / ∂ - m] ψ L + A L

µ j Lµ),

(П.16)

Стр. Решебника 395

А.1. Квантовая электродинамика

395

Где

А

L

µ = A µ + ∂ µ Λ

L

, ψ

L

= e

ie Λ L

ψ,

Λ

L

= -

1

D

∂

µ

А

L

µ

(A.17)

- явные калибровочно-инвариантные функционалы, удовлетворяющие уравнениям

Движение

DA

L

µ = − j L

µ,

(П.18)

С нынешним

j

L

µ = − e

¯

ψ

L

γ µ ψ

L

И калибровочные ограничения

∂ µ A Lµ ≡ 0.

(П.19)

Действительно, вместо потенциала, удовлетворяющего ограничениям Гаусса

△ A R

0 = j R

0,

И две поперечные переменные в КЭД через радиационные переменные

(П.11) мы имеем здесь три независимых динамических переменных, одна из которых

A L

Удовлетворяет уравнению

DA

L

0 = − j 0,

(A.20)

И дает отрицательный вклад в энергию.

Мы видим, что существует два отличия «калибровки Лоренца для

Муляция»от радиационных переменных. Первый - это потеря Кулона.

Полюса (т.е. статические взаимодействия). Второй - лечение

Составляющая времени A 0 как независимая переменная с отрицательным кон-

Дань энергии; поэтому в данном случае вакуум как состояние

С минимальной энергией отсутствует. Другими словами, можно сказать, что

Стр. Решебника 396

А. Редуцированная абелева теория поля 396

Статическое взаимодействие также является следствием постулата вакуума. В

Неэквивалентность между радиационными переменными и переменными Лоренца делает

не означает нарушение калибровочной инвариантности, поскольку обе переменные

можно определить как калибровочно-инвариантные функционалы исходной калибровки

Поля (A.11) и (A.17).

Чтобы продемонстрировать неэквивалентность вариаций излучения

И лоренцевы рассмотрим электрон-позитронное рассеяние

Амплитуда

Т

р

= 〈 E

+

, e - | ˆS | e +

, e - 〉.

Видно, что правила Фейнмана в датчике излучения дают

амплитуда по току j ν = ¯e γ ν e

T R =

J 2

0

q 2 + (δ ik -

Q я q к

Q 2) j i j k

q 2 + ıε

(A.21)

≡

− j 2

q 2 + ıε

+

(q 0 j 0) 2 - (q · j) 2

q 2 [q 2 + ıε ]

.