Начнем процедуру квантования с канонического квантования формулой

Используя следующие равновременные канонические коммутационные соотношения (ETC-

CRs):

[ˆ Π V T

k

,

ˆ

V

Т

k ] = ıδ T

ij δ

3

(х - у),

(П.36)

[ˆ Π V

R ||

k

,

ˆ

V R ||

k ] = ıδ ||

ij

δ 3 (х - у).

(П.37)

Стр. Решебника 401

А.2. Теория редуцированных векторных бозонов

401

Фоковское пространство теории построено ETCCR.

[а -

(λ) (± k), a +

(λ ′) (± k

′

)] = δ 3 (k - k

′) Δ (λ) (λ ′);

(П.38)

{b − α

(± k), b

+

α ′ (± k

′

)} = δ

3

(к - к

′) Δ αα ′;

(A.39)

{c − α

(± k), c +

α ′ (± k

′

)} = δ 3 (k - k

′) Δ αα ′.

(A.40)

с вакуумным состоянием | 0 〉, определяемым соотношениями

А -

(λ) | 0 〉 = b −α | 0 〉 = c −α | 0 〉 = 0.

(П.41)

Полевые операторы имеют разложения Фурье в плоской волне

Основа

V j (x) = ∫ [dk] v ǫ

(λ)

j [а +

(λ)

(ω, k) e −ı ω t + ı kx + a -

(λ) (ω, − k) e ıω t − ı kx ]

ψ (x) = √ 2m s ∫ [dk] s [b +

α (k) u α e −ıω t + ı kx + c −α

(− k) ν α e ıω t − ı kx ]

ψ + (x) = √ 2m s ∫ [dk] s [b - α (k) u +

α e ıω t − ı kx + c +

α (− k) ν +

α e −ıω t + ı kx ]

С интегральной мерой

[dk] v, s =

1

(2 π)

3/2

D 3

k

√ 2 ω v, s (к)

И частота колебаний

ω v, s (k) = √ k 2 + m 2

V, с.

Можно определить значения вакуумного ожидания мгновенной продукции.

Действия полевых операторов

V i (t, x) V j (t, y) =: V i (t, x) V j (t, y): + 〈 V i (t, x) V j (t, y) 〉,

(A.42)

Стр. Решебника 402

А. Редуцированная абелева теория поля 402

ψ α (t, x) ψ β (t, y) =: ψ α (t, x) ψ β (t, y): + 〈 ψ α (t, x) ψ β (t, y),

(A.43)

Где

〈 V i (t, x) V j (t, y) 〉 =

1

(2 π) 3 ∫

D 3

k

2 ω v (k) ∑

(λ)

ǫ

(λ)

я

ǫ

(λ)

j

е −ı k (x − y),

(П.44)

〈 Ψ α (t, x) ψ β (t, y) 〉 =

1

(2 π) 3 ∫

D 3 k

2 ω s (к)

(k γ + m) αβ e −ı k (x − y)

(П.45)

- функции Паули - Жордана.

А.2.4 Распространители и конденсаты

Векторное поле в лагранжиане (.34) задается формулой

V R

i = [ δ T

ij + ˆZ − 1 δ ||

ij ] V j = V T

i + ˆZ − 1 V ||

я

.

(П.46)

Следовательно, пропагатор массивного векторного поля в радиационных переменных

Является

D

р

ij (x - y) = 〈 0 | TV

р

Я (х) V

р

j (y) | 0 〉 =

(П.47)

= −ı∫

Г 4 кв

(2 π) 4

e −ı q · (x − y)

q 2 - M 2 + ıǫ (

δ ij -

Q я q j

q 2 + M 2).

Вместе с мгновенным взаимодействием, описываемым током -

Текущий член в лагранжиане (.34) этот пропагатор приводит к

Склонность

Т R = D R

µ ν (q) ˜j µ ˜j ν =

(П.48)

˜j 2

0

q 2 + M 2 + (δ ij -

Q я q j

q 2 + M 2)

˜j i ˜j j

q 2 - M 2 + ıǫ

Стр. Решебника 403

А.2. Теория редуцированных векторных бозонов

403

Ток-токового взаимодействия, отличного от допустимого

Т

L

= ˜j

µ

D

L

µ ν (q) ˜j

ν

= − ˜ j

µ

g µ ν -

q µ q ν

M 2

q 2 - M 2 + ıǫ ˜

j

ν

.

(А.49)

Амплитуда, заданная формулой. (П. 48) является обобщением излучения

амплитуда в КЭД. Как показано в [8 ], преобразования Лоренца

Классических радиационных переменных совпадают с квантовыми и они

Оба (квантовый и классический) соответствуют переходу к другому

Система отсчета Лоренца, отличающаяся другой временной осью, где

релятивистский ковариантный пропагатор принимает вид

D R

µ ν (q | n) =

(A.50)

Знак равно

− g µ ν

q 2 - M 2 + ıǫ

+

n µ n ν (qn) 2 - [q µ - n µ (qn)] [q ν - n ν (qn)]

(q 2 - M 2 + ıǫ) (M 2 + | q µ - n µ (qn) | 2)

,

где n µ определяется внешними состояниями. Помните, что кон-

Стандартный массивный векторный пропагатор локального поля имеет вид (П.49)

D

L

µ ν (q) = -

g µ ν -

q µ q ν

M 2

q 2 - M 2 + ıǫ

.

(A.51)

В отличие от этого обычного массивного векторного пропагатора излучение

пропагатор типа (A.50) регулярен в пределе M → 0 и хорошо себя ведет.

Для больших импульсов, тогда как пропагатор (П. 51) сингулярен. Радио-

Амплитуду действия (.4.48) можно переписать в альтернативном виде

Т R = -

1

q 2 - M 2 + ıǫ [ ˜

J 2

ν + (˜

j i q i) 2 - (˜j 0 q 0) 2

д 2 + М 2

],

(A.52)

Для сравнения с обычной амплитудой, определяемой соотношением

Аллигатор (А.51). Можно найти, что для массивного векторного поля, связанного с

Стр. Решебника 404

А. Редуцированная абелева теория поля 404

сохраняющийся ток (q µ ˜j µ = 0) коллективные ток-токовые взаимодействия

Опосредовано пропагатором излучения (А.50) и обычным

Пропагатор (A.51) совпадают

˜j µ

D

р

μν ~j ν

= ˜j

µ

D

L

μν ~j ν

= T

L

.

(A.53)

Если ток не сохраняется

˜j 0 q 0 = ˜j k q k,

Переменные коллективного поля излучения с пропагатором (П.50) равны

Не эквивалентны исходным локальным переменным с пропагатором (П.51) и

Амплитуду (A.48). Амплитуда (.53) в калибровке Фейнмана равна

Т

L

= -

J 2

q 2 - M 2 + ıε

,

(A.54)

И соответствует лагранжиану

L F =

1

2

(∂ µ V µ)

2 - j µ V µ +

1

2

M

2

V

2

µ

(П.55)

В этой теории временная составляющая имеет отрицательный вклад в

Энергия. Согласно этому, правильно определенное состояние вакуума не могло

Существовать. Тем не менее, математическое ожидание вакуума

〈 V µ (x) V µ (x) 〉

Совпадает со значениями для двух пропагаторов (П.50) и (П.51), поскольку

В обоих пропагаторах продольная часть не дает вклада.

деления, если рассматривать их как производные от константы, например

〈 ∂ V µ (x) V µ (x) 〉 = ∂ 〈 V µ (x) V µ (x) 〉 = 0.

Стр. Решебника 405

А.2. Теория редуцированных векторных бозонов

405

В этом случае мы имеем

〈 V µ (x) V µ (x) 〉 = -

2

(2 π) 3 ∫ d 3 к

ω v (k)

,

(П.56)

〈 Ψ α (x) ψ α (x) 〉 = -

М с

(2 π) 3 ∫ d 3 к

ω s (k)

,

(П.57)

Где m s, M v - массы спинорного и векторного полей.

Стр. Решебника 406

Библиография

[1] Дирак, PAM: Квантовая теория излучения и поглощения.

Излучения. Proc. Рой. Soc. Лондон. А 114, 243 (1927).

Дирак, ПАМ: Калибровочно-инвариантная формулировка квантовой электроди-

Намика. Может. J. Phys. 33, 650 (1955)

[2] Гейзенберг, В., Паули, В.: Zur quantendynamik der Wellenfelder.

Z. Phys. 56, 1 (1929).

Гейзенберг, В., Паули, В.: Zur quantentheorie der Wellenfelder. II.

Z. Phys. 59, 168 (1930)

[3] Полубаринов И.В. Уравнения квантовой электродинамики. Phys.

Часть. & Ядра. 34, 741 (2003).

[4] Швингер Дж.: Неабелевы калибровочные поля. Релятивистская инвариантность.

Phys. Ред. 127, 324 (1962).

[5] Первушин В.Н. Переменные Дирака в калибровочных теориях. Phys. Часть. &

Ядра. 34, 679 (2003)

[6] Фаддеев, Л.Д., Попов, В.Н.: Диаграммы Фейнмана для Янга -