Поле Миллса. Phys. Lett. В 25, 29 (1967)

406

Стр. Решебника 407

А.2. Теория редуцированных векторных бозонов

407

[7] Фаддеев, Л.Д.: Интеграл Фейнмана для сингулярных лагранжианов. Теор.

И математика. Phys. 1, 3 (1969)

[8] Павел, Л.П., Первушин, В.Н.: Приведенное квантование фазового пространства

Теория массивных векторов. Int. J. Mod. Phys. А 14, 2885 (1999).

[arXiv: hep-th / 9706220]

Стр. Решебника 408

Приложение B

Квантовая теория поля для

Связанные состояния

В.1 Лестничное приближение

Производящий функционал квантовой теории поля для связанных состояний может

Быть представлены с помощью релятивистского обобщения Хаббарда.

- преобразование Стратоновича (HS) [1, 2]. Хаббард - Стратонович

преобразование - это точное математическое преобразование

ехр [ − ax

2

/ 2] = [2 π a] − 1/2 ∫ + ∞

−∞

dy exp [ −ı xy - y

2

/ (2а)].

(В.1)

Основная идея трансформации ГС - переформулировать систему

Частицы, взаимодействующие через двухчастичные потенциалы (10.18) в теории

(10.19) в систему независимых частиц, взаимодействующих с билокальным

вспомогательное поле M ab (x, y). Преобразование HS было изобретено

Русский физик Руслан Л. Стратонович и популяризирован британцами.

408

Стр. Решебника 409

Б. Квантовая теория поля для связанных состояний

409

Физик Джон Хаббард.

Z ψ = ∫ d ψ d ψ e

ı W момент [ ψψ ] + ı S [J ∗, η ∗, η ∗ ]

Знак равно

(БИ 2)

= ∫ d ψ d ψ e

- ı

2 (ψψ, K ψψ) - (ψψ, G − 1

0) + ı S [J ∗, η ∗ ]

Знак равно

(В.3)

= ∫





∏

Х, у, а, б

dM ab (x, y) exp { ı W eff [M] + ı (ηη, G M)}. (В.4)

Эффективное действие в уравнении. (Б. 4) можно разложить в виде

W эфф [M] = -

1

2

N c (M, K

− 1 M) + ı N c Tr ln (1 + Φ), (Б.5)

Tr ln (1 + Φ) =

∞

∑

п = 1

1

п

Ф п.

(В.6)

Здесь Φ ≡ G 0 M, Φ 2, Φ 3 и т. Д. Означают следующие выражения

Φ (x, y) ≡ G 0 M = ∫ d 4 zG 0 (x, z) M (z, y),

Φ 2 = ∫ d 4 xd 4 y Φ (x, y) Φ (y, x),

(В.7)

Φ 3 = ∫ d 4 xd 4 yd 4 z Φ (x, y) Φ (y, z) Φ (z, x) и т. Д.

Первый шаг к полуклассическому квантованию этой конструкции

[1 ] - определение минимума его эффективного действия.

N − 1

c

δ W эфф (М)

δ M

≡ − K − 1 M +

я

G − 1

М

= 0.

(В.8)

Это уравнение известно как уравнение Швингера-Дайсона. Обозначим

соответствующее классическое решение для билокального поля через Σ (x - y). Это

зависит только от разности x - y при A ∗ = 0 из-за трансляции

инвариантность вакуумных решений.

Стр. Решебника 410

B. Приложение 410

Следующий шаг - расширение эффективного действия вокруг точки

минимума M = Σ + M ′,

W эфф (Σ + M

′) = W

(2)

Эфф

+ W int;

(В.9)

W

(2)

Эфф (М

′) = W Q (Σ) + N c [ − 12M ′ K − 1 M ′ +

я

2

(G Σ M ′)

2 ], (В.10)

W int =

∞

∑

п = 3

W

(п)

= ı N c

∞

∑

п = 3

1

п

(G Σ M ′)

п

,

(В.11)

G Σ = (G − 1

0 - Σ) − 1.

(В.12)

Билокальная функция M ′ (x, y) в переменных типа Якоби

г = х - у,

X =

х + у

2

Можно разложить по полному набору ортонормированных решений

Γ классического уравнения

δ 2 W эфф (Σ + M ′)

δ M ′ 2

· Γ = 0.

(В.13)

Эта серия имеет вид:

M ′

(х, у) = М

′

(z | X) =

(В.14)

= ∑ H ∫

D 3 P

(2 π) 3 √ 2 ω H ∫ d 4 qe ı q · z

(2 π) 4 ×

× [e ı P · X Γ H (q ⊥ | P) a +

ЧАС

(y) + e −ı P · X ¯ Γ H (q ⊥ | P) a -

H (y)],

С набором квантовых чисел (H), включая массы

M H = √ P 2

µ

Стр. Решебника 411

Б. Квантовая теория поля для связанных состояний

411

И энергии

ω H = √ y

2

+ M 2

ЧАС

.

Операторы создания и уничтожения связанных состояний подчиняются коммутационным правилам.

Национальные отношения

[а -

H ′ (y ′), а

+

H (y)] = δ H ′ H δ

3

(у ' - у).

(В.15)

Соответствующая функция Грина принимает вид

G (q ⊥, p ⊥ | P) =

(В.16)

= ∑ H (Γ H (q ⊥ | P) ¯ Γ H (p ⊥ | − P)

(P 0 - ω H - ıε) 2 ω H

-

¯ Γ H (p ⊥ | P)) Γ H (p ⊥ | − P)

(P 0 - ω H - ıε) 2 ω H

).

Для нормализации вершинных функций Γ мы можем использовать «свободную» часть

эффективное действие (B.10) квантового билокального мезона M ′ с ком-

Мутационные отношения (В.15). Подмена офф-шелла

√

P 2 = M H

Разложение (9. 13) на «свободную» часть эффективного действия определяет

Обратная функция Грина билокального поля G (P 0)

W

(0)

эфф [M] = 2 πδ (P 0 - P ′ 0

) ∑ H ∫ d 3 P

√ 2 ω H

а +

ЧАС

(у) а -

H (у) G

− 1

H (P 0) (B.17)

Где G

− 1

H (P 0) - обратная функция Грина, которую можно представить

Как разница двух терминов

G − 1

H (P 0) = I (

√

П 2) - Я (М

ab

H (ω))

(В.18)

Стр. Решебника 412

B. Приложение 412

Где M ab

ЧАС

(ω) - собственное значение уравнения малых флуктуаций (B.11)

А также

Я(

√

P 2) = ı N c ∫ d 4 q

(2 π) 4 ×

tr [G Σ b (q - P2) ¯ Γ H

ab (q ⊥ | − P) G Σ a (q + P2) Γ H

ab (q ⊥ | P)],

Где

G Σ (q) =

1

д - Σ (Q ⊥)

,

Σ (q) = ∫ d

4

х Σ (х) е

ı qx

(В.19)

- фермионная функция Грина. Условие нормировки определяется

По формуле

2 ω = ∂ G

− 1 (P 0)

∂ P 0

| P 0 = ω (P 1) = dM (P

0)

DP 0

DI (М)

dM | P 0 = ω.

(В.20)

Наконец, мы получаем, что решения уравнения (B.13) удовлетворяют нормировке

состояние [ 3]

ı N c

d

dP 0 ∫ d 4 q

(2 π) 4 tr [G Σ (q - P2) ¯ Γ H (q ⊥ | − P) G Σ (q + P2) Γ H (q ⊥ | P)]

= 2 ω Н.

(В.21)

Достижение релятивистского ковариантного квантования оболочки с ограничениями.

Использование калибровочных теорий является описанием как спектра связанных

Состояния и их S-матричные элементы.

Релятивистско-инвариантные матричные элементы удобно записать для

Действие (B.9) в терминах полевого оператора

Φ ′

(x, y) знак равно ∫ d 4 x 1 G Σ (x - x 1) M

′ (X 1, y) = Φ ′

(z | X).

Стр. Решебника 413

Б. Квантовая теория поля для связанных состояний

413