В более общем случае для метрики ( 14.2 )

(ds 2) = a 2 (η) [d η 2 - (dx i) 2 ]

С уравнением состояния (2.69)

1

H 2

0 (папа) 2

= Ω (a),

где Ω (a) определено в (2.70), имеем

˙

H + H 2 = − H 2 (1 - a2 Ω d Ω

да)

,

Или, подставив его в (14.34), получим

¨

R + H 2 (1 - a2 Ω d Ω

да)

R -

(м 0 R 2 ˙

θ) 2

М 2

0

R 3

+

Г г

R 2

= 0.

В этом случае равенство v 2

я

= w 2

я

становится следующим соотношением:

V 2

I = w 2

I + (HR I) 2 (1 - a2 Ω d Ω

да)

.

Стр. Решебника 365

Проблема темной материи в сверхскоплениях

365

Ω (а) =

Ω жесткий a − 2

Ом рад

Ω M a

Ω Λ a 4

(1 - a2 Ω d Ω

да)

Знак равно

2

1

1/2

-1

Из таблицы видно, что наименьший дефицит темной материи из четырех

«Чистые» состояния связаны с жестким состоянием Ω жестким, которое соответствует

Рассматриваемый случай (14.36). Обратите внимание, что в Стандартной космологии

космическая эволюция увеличивает дефицит темной материи:

R I

˙

θ = √

Г г

R I -

(H I R I) 2

2

.

(14,38)

Из (14,38) следует, что условная ньютоновская характеристика:

Тики для описания поведения орбитальных скоростей не применимы к

Радиальные расстояния, когда двойной квадрат космической скорости сравним

По величине в квадрат ньютоновских скоростей 2: 2c 2

I ≥ w 2

я

.

Для оценки радиального расстояния в этом случае можно получить

Расстояние (назовем его критическим) R cr, при этом 2c 2

я

= w 2

я

, следовательно

R cr = (

Г г

H 2

I) 1/3

.

(14,39)

Текущее значение параметра Хаббла H − 1

0

≃ 10 28 см приводит к

Значение критического расстояния

R cr ≃ 10 20 (M

M ⊙) 1/3

См.

(14,40)

2 Этот факт был известен Эйнштейну и Штраусу [1] (см. Также [3, 4, 9, 10]).

Стр. Решебника 366

Космологическая модификация ньютоновской динамики 366

Критический радиус для кластера Coma (M ≃ 10 15 M ⊙

[7 ]) сопоставимо

с размером кластера:

Размер R ∼ 3 · 10 25 см> R cr ∼ 10 25 см,

(14,41)

и наши аргументы применимы. Для нашей галактики (M ≃ 10 12 M ⊙

)

Соответствующая оценка дает

Размер R ∼ 10 23 см <R cr ∼ 10 24 см,

(14,42)

То есть критический радиус нашей галактики, на порядок больше

Чем его размер.

Рисунок 14.2: Зависимость орбитальной скорости «частицы» v I от ее радиуса

т.е. расстояние от центра объекта, ξ = размер R / R, где размер R - радиус

объекта, γ = (R size / R cr) 3 и R cr = [r g / H 2 ] 1/3 = 10 20 M 1/3 см - это значение

Радиуса, для которого ньютоновская скорость совпадает с хаббловской, M - масса

объект в единицах солнечных масс. При γ = 0 кривая вращения совпадает с

Кривая, полученная в механике Ньютона.

Удобно рассматривать кривую вращения круговой скорости

v I = R I

˙

θ (14.36) в безразмерном выражении ξ = R / R размер и γ:

V я

v размер = √

1

ξ

+ 2 γξ 2,

(14,43)

Стр. Решебника 367

Проблема Кеплера в обобщенном поле Шварцшильда 367

Где

v размер = √

Г г

R размер

,

γ = (

Размер R

R кр) 3

,

Размер R - это размер объекта и

R cr = (

Г г

H 2) 1/3

= 10

20

M

1/3

см

- значение радиуса в см, для которого ньютоновская скорость совпадает

С хаббловским, M - масса объекта в единицах масс Солнца.

(Рис. 14.2). Зависимость (14.43) при γ = 0 соответс твует Ново-

тоновский случай, а кривая при γ = 0 отклоняется от ньютоновской кривой.

Это отклонение нельзя объяснить введением ореола

темная материя [ 13, 14, 15, 16], а скорее космологическая модификация

Ньютоновская динамика, описанная в этой монографии. Следовательно

нарушение теоремы вириала при R ≥ R cr, обнаруженное в скоплениях галактик

И интерпретируется как доказательство существования темной материи, в Con-

Формальная космология рассматривается как результат эволюции Вселенной

[ 3, 4, 9, 10], как было предсказано Эйнштейном и Штраусом в [1].

Проблема Кеплера в обобщенном

Поле Шварцшильда

Рассмотрим общий случай движения пробного тела или частицы

В сферически-симметричном гравитационном поле тяжелой массы. Мы

Обобщить метрику Шварцшильда в синхронной системе отсчета

заменой обычной массы m 0 ее конформным аналогом m 0 a (η) =

Стр. Решебника 368

Космологическая модификация ньютоновской динамики 368

m (η):

ds 2 = (1 -

2 α

Мистер)

Dt 2 -

Доктор 2

1 - 2 α / (мр)

- r 2 sin (θ) 2 d θ 2,

(14,44)

Где

т = м (η),

r = √ x i x i,

a (η) = √ 1 + 2H I (η - η I),

И рассмотрим движение в цилиндрических координатах

Икс

1

= Rcos Θ, X

2

= Rsin Θ, R = ar.

(14,45)

Здесь H I - начальное значение хаббловской скорости в пространстве с

уравнение твердого состояния вещества [ 2], когда плотность энергии и давления

равны. В терминах конформного времени d η = dt / a и конформных значений

r = R / a запишем действие для частицы в виде

S Schw =

η 0

∫ η I

d η [P r

Доктор

d η

+ P θ

d θ

d η -

E Schw ],

(14,46)

Где

Q Schw = (1 -

Г г

р

М я

м)

1/2

,

г г = M O G,

P r, P θ - сопряженные импульсы соответствующих координат, а

E Schw - энергия системы

E Schw = Q Schw √ P 2

R Q 2

Schw

+ P 2

θ

/ г 2 + м 2 - м.

(14,47)

Траектория пробной частицы показана на рис. 14. 3, а траектория Ньютона.