Предел действия (14.46 ) принимает вид

S A =

η 0

∫ η I

d η [P r

Доктор

d η

+ P θ

d θ

d η -

P 2

г + П 2

θ

/ г 2

2м

-

α

р ]

,

(14,48)

Стр. Решебника 369

Проблема Кеплера в обобщенном поле Шварцшильда 369

Рисунок 14.3: Решение уравнений движения для действия (14.46) при

c I = 1, v I = 1 и w 2

I = 0, 25. На обоих рисунках показана траектория движения

Один и тот же объект из начальной точки (1, 0) за разные промежутки времени в

Обобщенное поле Шварцшильда (14.44).

Рисунок 14.4: Решение

Уравнения движения для (14.46) при

c I = 0, 25, v I = 0, 25 и w 2

Я =

Эти значения параметров

Этеры соответствуют релятивистским

Пределу уравнений для (14.46) в

Что классический эллипс начинает

Поверните против часовой стрелки.

Рисунок 14.5: Решение

Уравнения движения для (14.46) при

c I = 0, 01, v I = 0, 01 и w 2

Я =

2, 5 · 10 − 5. Эти значения параметра

Соответствуют классическому пределу

И классический эллипс на относительно

Большие времена с начала

Движение. Как и в оригинальном корпусе

c I = 1 (обобщенный Шварцшильд

Поле) частица на малых временах

«Захвачен» эллипсом.

Стр. Решебника 370

Космологическая модификация ньютоновской динамики 370

Где

α = M O m I G

- постоянная Ньютона взаимодействия галактики с массой m I в

Центральное гравитационное поле с центральной массой М O.

Рассмотрим три скорости:

w I = √

Г г

R I

, v I =

P θ

М я г I

, c I = H I r I

(14,49)

Ньютоновская, орбитальная и космическая соответственно. Предел малых скоростей

w I, v I, c I - → 0 соответствует классическому приближению (см.

Рис. 14.5) классическая задача Кеплера с разложением Вселенной.

Стих. В этом пределе мы получаем действие (14.46), где вместо

Гамильтониан Шварцшильда (14,47) его ньютоновский предел равен:

E Schw ∼ E classic =

P 2

р

Часа ночи я

+

P 2

θ

AM я г 2 -

Г г м я

2r

.

(14,50)

Решение задачи удобно изучать в терминах

Безразмерные величины

х = H I (η - η I),

г = г я у,

P r = m I p,

(14,51)

В терминах которого эффективное действие радиального движения принимает вид

S эфф = r I m I

Х 0

∫ x I

Dx (p

dy

Dx -

1

C я

E эфф),

(14,52)

Где

E эфф =

E Schw

М я

Знак равно

= √ 1 - 2w 2

I / (ay) √ a 2 + (1 - 2w 2

я

/ (ау)) p 2 + v 2

я

/ у 2 - а ≃

Стр. Решебника 371

Проблема Кеплера в обобщенном поле Шварцшильда 371

≃

п 2 + в 2

я

/ год 2

2а

-

W 2

я

y

,

(14,53)

а = √ 1 + 2 х. Приближенное равенство здесь выполняется для малых скоростей:

тогда как если мы положим a = 1, мы получим классическое орбитальное движение y =

1, р = 0, где ньютонов скорость ш I совпадает с орбитальным V I.

Это равенство, а точнее его нарушение, лежит в основе теоретического анализа

данные наблюдений за темной материей во Вселенной [7, 13, 14, 16].

На рис. 14.3 показано численное решение в безразмерной

Величины (14,51) уравнений движения Шварцшильда, которые

Джины в состоянии нулевой энергии (14.47) и нулевой радиальной скорости P I = 0. Это

Видно, что частица захвачена в связанном состоянии, и это

верно для всех пространственных скоростей. На рис. 14. 3, 14.4 и 14.5 показаны

Решения уравнений (14.46), следующих при начальных условиях

у (0) = 1,

dy

dx

(0) = 0

И параметры

v I = c I,

ш

2

I = 0,25c

2

Я,

(c I = 1, 0,25, 0,01).

На всех рисунках траектория начинается из точки (1, 0). Это может быть

Видно, что траектория тестового объекта удалена на некотором расстоянии от

отправной точкой, а затем становится периодической («захват» объекта)

как во времени, так и в пространстве (рис. 14.5). При уменьшении скорости частиц

Их траектории постепенно переходят в классические эллипсы Кеплера.

Проблема. Таким образом, точное решение модифицированной задачи Кеплера с

Гамильтониан (14,50) и численные решения в случае гамильтониана

(14.47) показывают, что космическая эволюция массы уменьшает энергию

Стр. Решебника 372

Космологическая модификация ньютоновской динамики 372

Пробная частица (звезды и галактики). Космическая эволюция уменьшает энергию

Свободных звезд и галактик, заставляя их образовывать связанные состояния, такие как

Галактики или их скопления соответственно.

Квантовая механика частицы

В конформной космологии

Рассмотрим квантовую механику частицы в конформной кос-

Мология, где массы элементарных частиц также становятся динамическими.

[ 4 ]

m (η) = m 0 · ˜a (η).

(14,54)

Эти массы определяют спектр излучения атомов в момент времени

η; их изменение m ′ / m = a ′ / a ∼ 10 − 42 ГэВ значительно меньше, чем

энергетические уровни атома при ˜a (η 0) = 1 с квантовым числом k

E 0

k = -

m α 2

2k 2 ∼ 10 − 8 ГэВ,

(14,55)