Наряду с уравнениями движения, полученными варьированием гамильтониана

на переменные u (t, x), γ (t, x) существуют два дифференциальных ограничения:

(п - 1) (

2

П п) 1 / (п - 1)

γπ n / (n − 1)

ты

- u π γ + (

π

′

ты

γ)

′

= 0,

Ты (

π

′

ты

γ)

+ π

′

γ = 0.

Система может быть интегрирована один раз и тогда примет вид

1

Н - 1 (

2

п)

П / (п - 1)

π (2n − 1) / (n − 1)

ты

+ (

π

′

ты

γ)

2

+ π 2

γ = c (t),

u π

′

u + γπ

′

γ = 0,

Где c (t) - произвольная функция времени.

Стр. Решебника 432

D. Приложение 432

Гамильтонова формулировка определяется пуассоновой структурой

ˆ

J

на функциональном фазовом пространстве. Его ненулевые скобки:

{ γ (t, x), π γ (t ′, x ′

)} = δ (t - t

′

) δ (x - x

′),

{u (t, x), π u (t ′, x ′

)} = δ (t - t

′

) δ (x - x

′).

В геометродинамике U можно рассматривать как фазовое пространство

Пространство Уиллера Де Витта.

Затем строим на основе ограничений функционалы

Φ [ φ ] =

= ∫ t, x (1

Н - 1 (

2

п)

П / (п - 1)

π (2n − 1) / (n − 1)

ты

+ (

π

′

ты

γ)

2

+ π

2

γ - c (t)) φ (t, x),

Ξ [ ξ ] = ∫ t, x

(u π

′

u + γπ

′

γ) χ (t, x)

И вычислить их скобку Пуассона

{ Φ, Ξ } = ∫ t, x; t ′, x ′

δΦ

δ z

ˆ

J

δΦ

δ z

.

(D.7)

Результат расчета:

{ Φ [ φ ], Ξ [ ξ ]} = Φ [(φχ)

′

] + ∫ c (t) φ (t, x).

Таким образом, дифференциальные связи образуют замкнутую алгебру (нет

Другие ограничения теории), и они не аннулируют пуассоновский

скобка. Переменные π γ и u из ограничений можно выразить как

π 2

γ = c (t) -

1

Н - 1 (

2

п)

П / (п - 1)

π (2n − 1) / (n − 1)

ты

- (

π

′

ты

γ)

2

,

u = −γ (

π

′

γ

π ′

U).

Стр. Решебника 433

D. Функциональные формы Картана

433

D.2 Вариационный комплекс Де Рама

Для исследования ковариантных теорий математический аппарат теории-

теория вариационных комплексов [8 ], являющихся обобщением теории Де Рама

Комплексы дифференциальных форм оказываются полезными. Вариационное сравнение

Сплетения раскладываются на две составляющие. Первая часть получается

Путем переформулировки комплекса Де Рама на пространства множества различных

множество функций на V ⊂ X × D, где X - пространство независимых

Переменных, а U - пространство зависимых переменных. Дифференциальная r-форма

Дан кем-то

ω r = ∑ J

P J [u] dx j,

(D.8)

Где P J - дифференциальные функции, а

dx

J

= dx

j 1 ∧... ∧ dx j r, 1 ≤ j 1 <... <j r ≤ p

составляют базис пространства дифференциальных r − форм ∧ r T ∗ X.

Поскольку для релятивистских теорий следствие ковариантности де-

Описание состоит в том, что гамильтониан равен нулю, нас здесь будет интересовать

Только во второй части вариационного комплекса. Предположим, что

Гамильтонова связь требует разрешения. Дифференциальные формы активны на

«Горизонтальные» переменные X из M, а вертикальные формы строятся

Аналогично они активны для «вертикальных» переменных u и их производных

Тивы. Вертикальная k-форма - это конечная сумма

ˆ Ω

k

= ∑ P

α

Дж [у] дю

α 1

J 1 ∧... ∧ du

α k

J k

,

(D.9)

где P α

J

Являются дифференциальными функциями. Здесь независимые переменные похожи на

Параметры.

Стр. Решебника 434

D. Приложение 434

Поскольку вертикальная форма ˆ ω построена на пространстве конечных струй M (n), a

Вертикальный дифференциал обладает свойствами билинейности, антидифференциации и

Закрытие как у обыкновенного дифференциала. Здесь мы используем функциональные формы со-

Связанных с введенными вертикальными формами, как функционалы, связанные с

Дифференциальные функции.

Пусть ω k = ∫ x

ˆ Ω k - функциональная k-форма, соответствующая вертикальной

k − форма ˆ ω k. Вариационный дифференциал формы ω k - это функционал (k + 1) -

форма, соответствующая вертикальному дифференциалу вида ˆ ω k. Основа

Свойства выводятся из свойств вертикального дифференциала, поэтому

Получаем вариационный комплекс. Вариационный дифференциал определяет точное

Сложный

0

δ

- → Λ 0

*

δ

- → Λ 1

*

δ

- → Λ 2

*

δ

- → Λ 3

*

δ

- → ···

(D.10)

На пространствах функциональных форм на М.

Особый интерес в теоретической физике представляют задачи функционального

формы: ω 0, ω 1, ω 2. В данной задаче после того, как ограничения используются,

Таким образом, мы получаем функциональную 1 – форму как обобщение дифференциала

Форма Картана для динамических систем:

ω 1 = ∫ t, x [ π γ (t, π u, (

π

′

ты

γ))

d γ - u (t, π u, (

π

′

ты

γ), (

π

′

ты

γ)

′) D π u ]

(D.11)

Уравнения движения получены как условие замкнутости

1-форма: δω 1 = 0. Но, как мы покажем ниже, существует 0-форма ω 0:

ω 0 = ∫ t, х

ˆ Ω 0 (t, γ, π u)

(D.12)

так что δω 0 = ω 1, т. е. ω 1 не только замкнутая форма, но и точная.

Стр. Решебника 435

D. Функциональные формы Картана

435

Действуя оператором вариационного дифференциала δ на форму

(D.12), получаем

δω 0 = ∫ t, x [ δω 0

δγ

d γ +

δω 0

δπ u

d π u ].

(D.13)

Отсюда находим условия на ˆ ω 0 (t, γ, π u):

∂ ˆ ω 0

∂γ

= π γ (t, π u, (

π

′

ты

γ))

,

(D.14)

∂ ˆ ω 0

∂π u

Знак равно

∂

∂ x (

∂ ˆ ω 0

∂π ′

u) = − u

(t, π u, (

π

′

ты

γ), (

π

′

ты

γ)

′).

(D.15)

Систему дифференциальных уравнений (D.14), (D.15) можно решить

аналитически:

ˆ Ω

0

= ∫ t, x γ [c (t) -

1

Н - 1 (

2

п)

П / (п - 1)

π (2n − 1) / (n − 1)

ты

- (

π

′

ты

γ)

2 ] 1/2

+

+ ∫ t, x

π

′

u arcsin π

′

ты

γ (

C (t) -

1

Н - 1 (

2

п)

П / (п - 1)

π (2n − 1) / (n − 1)

ты

) − 1/2 

,

где π u (α, ˙α, α

′

, α

′ ′

; β, β

′

,

˙

β

′

, β

′ ′

; γ, ˙γ, ¨ γ, ˙γ

′

) в исходных переменных равно

π u =

1

αγ 

(β ′

- ˙γ

α)

.

+ (

2 β ˙γ - (α 2 + β 2)

′

2 αγ

) ′ 

.

(D.16)

Получаем обобщенный вариационный комплекс Де Рама:

0

δ

- → Λ 0

*

δ

- → Λ 1

*

δ

- → 0

(D.17)

поскольку оператор вариационного дифференциала δ нильпотентен: δ 2 = 0.