И описывает релятивистский атом с нерелятивистским относительным импульсом

| k ⊥ | ≪ м 0

А, б

В рамках такого вывода теории Шредингера

уравнению достаточно определить полную координату как X = (x + y) / 2,

Независимо от величины масс двух частиц, образующих

Атом.

В частности, кулоновское взаимодействие приводит к покоящемуся позитронию.

Стр. Решебника 420

B. Приложение 420

С билокальной волновой функцией (В.43)

Ψ

αβ

P (z) = (

1 + γ 0

2

γ 5) αβ

ψ

Sch (z) √

М е

2

,

(В.46)

ψ

Sch (z) = ∫

Д 3 п

(2 π) 3

е (ı p · z) ψ Sch (z);

(В.47)

где ψ

Sch

(z) - нормируемая волновая функция Шредингера относительной

Активное движение

(- 1 м е

D 2

Dz 2 -

α

| z |)

ψ

Sch

(z) = ǫψ

Sch

(z)

(В.48)

С нормализацией

∫ d 3 z ψ Sch

(z)

2

= 1

где M P = (2m e - ǫ) - масса позитрония, (1 + γ 0) / 2 - масса позитрония.

Оператор проекции на состояние с положительными энергиями электрона и

Позитрон.

Стр. Решебника 421

Библиография

[1] Эберт, Д., Первушин, В.Н.: Динамическое нарушение киральной симметрии.

Попробуйте и аномальные расширения возмущений. Проблемы измерения

Ories. Барбашов Б.М., Нестеренко В.В. (Ред.) ОИЯИ Д-2-2004-66,

Дубна, 62 (2004).

[http://thsun1.jinr.ru/ pervush / doc / bnp-v5e.pdf]

[2] Первушин, В.Н., Рейнхардт, Х., Эберт, Д.: Континуальный интеграл в

коллективные переменные и их приложение к ядерной и адронной физике.

Часть. & Ядра. 10, 1114 (1979)

[3] Наканиши, Н.: Общий обзор теории Бете – Солпитера.

Уравнение. Дополнение Прог. Теор. Phys. 43, 1 (1969)

[4] Калиновский Ю.Л., Каллис В., Куранов Б.Н., Первушин В.Н.,

Сариков Н.А.: Билокальные мезонные лагранжианы и потенциальная модель. Phys.

Часть. & Ядра. 49, 1709 (1989)

[5] Солпитер, EE: Массовые поправки к тонкой структуре водородоподобного

Атомы. Phys. Ред. 87, 328 (1952).

[6] Солпитер, Э.Е., Бете, Х.А.: релятивистское уравнение для связанных состояний.

Проблема. Phys. Ред. 84, 1232 (1951).

421

Стр. Решебника 422

Приложение C

Формула Абеля - Планы

Только несколько математических рядов могут быть вычислены в точном виде.

Поэтому очень важно выражать суммы рядов через

Контурные интегралы. Один из популярных методов основан на следующем

теорема [ 1].

Пусть функция f (z) голоморфна в полосе a < ℜ z <b и

Удовлетворяют неравенству

| f (x + ı y) | ≤ Me a | y |,

а <2 π.

(C.1)

Тогда при k ≥ a + 1, n ≤ b - 1, n> k и для любого 0 < θ <1

п

∑

s = k

f (s) =

п + θ

∫

к + θ − 1

f (x) dx +

(C.2)

+

1

2 ı

θ + ı∞

∫ 0

[f (n + z) - f (k - 1 + z)] (cot π z + ı) dz +

+

1

2 ı

θ − ı∞

∫ 0

[f (k - 1 + z) - f (n + z)] (cot π z - ı) dz.

422

Стр. Решебника 423

Формула К. Абеля - Планы

423

Доказательство.

Обозначим через C h прямоугольник

k - 1 + θ < ℜ z <n + θ,

| ℑ z | < ч,

которая в силу условий на k и n находится в полосе a < ℜ z <b,

а через J - интеграл от f (z) cot π z вдоль C h. По остатку

По теореме для z = s имеем:

J = 2 πı

п

∑ к

resf (z) cot π z = 2 ı

п

∑ к

F (s).

Обозначим через C +

Час

Верхняя половина C h, а через C -

Час

Нижняя половина C h,

и направление C +

Час

И C -

Час

Мы принимаем направление на точку

z = k - 1 + θ в точку z = n + θ. Тогда у нас есть

J = ∫

С -

Час

f (z) cot π z dz - ∫

C +

Час

f (z) cot π z dz

А также

J = ∫

С -

Час

f (z) (cot π z - ı) dz + ı∫

С -

Час

F (z) dz -

- ∫

C +

Час

f (z) (cot π z + ı) dz + ı∫

C +

Час

F (z) dz.

Интеграл от f (z) зависит только от концов цикла, поэтому интегралы

функции f (z) вдоль C +

Час

И C -

Час

Можно заменить интегралом по интервалу

Стр. Решебника 424

C. Приложение 424

(к - 1 + θ, n + θ). Следовательно,

J = 2 ı

п + θ

∫

к − 1 + θ

f (x) dx +

+ ∫

С -

Час

f (z) (cot π z - ı) dz - ∫

C +

Час

f (z) (cot π z + ı) dz.

Способствовать,

∫

C +

Час

f (z) (cot π z + ı) dz =

Знак равно

θ + ı h

∫ 0

[f (k - 1 + z) - f (n + z)] (cot π z + ı) dz +

+

п + θ + ı h

∫

h − 1 + θ + ı h

f (z) (cot π z + ı) dz.

Поскольку для k - 1 + θ ≤ x ≤ n + θ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

п + θ + ı h

∫

k − 1 + θ + ı h f (z) (cot π z + ı) dz ∣∣∣∣

∣

∣

≤

≤ (n - k + 1) | f (x + ı h) || cot π (x + ı h) + ı |.

С

| cot π (x + ı h) + ı | <

2

е 2 π h - 1

при h> 0, то в силу (В.1) имеем при h → + ∞:

∣

∣

∣

∣

∣

∣

п + θ + ı h

∫

k − 1 + θ + ı h f (z) (cot π z + ı) dz ∣∣∣∣

∣

∣

≤ (n - k + 1) Me ах

2

е 2 π h - 1

→ 0

Стр. Решебника 425

Формула К. Абеля - Планы

425

А также

∫

C +

Час

(cot π z + ı) dz =

Знак равно

θ + ı∞

∫ θ

[f (k - 1 + z) - f (n + z)] (cot π z + ı) dz.

Аналогично для интеграла C -

Час

Сравнение двух полученных выражений

Для J приходим к формуле (C.2).

Следствие.

Пусть функция f (z) голоморфна в полуплоскости ℜ z> 0 и

Удовлетворяют неравенству

| f (x + ı y) | < ε (x) e a | y |,

0 <a <2 π,

где ε (x) → 0 при x → + ∞. Тогда для любого 0 < θ <1

Lim

п → ∞





п

∑ 1

F (s) -

п + θ

∫ θ

f (x) dx =

(C.3)

Знак равно

1

2 ı

θ − ı∞

∫ θ

f (z) (cot π z - ı) dz -

1

2 ı

θ + ı∞

∫ θ

f (z) (cot π z + ı) dz.

Эта формула называется формулой Абеля - Планы. Это следует из (C.2),

Чтобы

∣

∣

∣

∣

∣

∣

θ ± ı∞

∫ θ

f (n + z) (cot π z ∓ ı) dz ∣∣∣∣

∣

∣

≤ ε (п + θ)

∞

∫ 0

Me - (2 π − a) y

dy → 0

при n → ∞.

В квантовой теории поля бесконечное число степеней свободы

Приводит к нулевым флуктуациям вакуума, которые дают расходящийся вклад в

Стр. Решебника 426

C. Приложение 426

Физические ценности. Для вычисления квантовых значений энергии-

Тензор импульса формула Абеля - Планы (п. 3) сводится к виду

[ 2]:

∞

∑

п = 0

F (n) =

∞

∫ 0

F (x) dx +

1

2

F (0) + ı

∞

∫ 0

F (ı t) - F (−ı t)

ехр (2 π t) - 1

Dt.

(C.4)

Первый член в правой части - тензор энергии-импульса

Неограниченное пространство. Регуляризация сводится к ее вычитанию. Для

к регуляризованной сумме расходящегося ряда (C.4) получаем формулу [3]:

Рег

∞

∑

п = 0

F (n) =

1

2

F (0) + ı

∞

∫ 0

F (ı t) - F (−ı t)

ехр (2 π t) - 1

Dt.

(C.5)