Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Законы пересечения и объединения множествСодержание книги
Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте
1. Переместительный (коммутативный) закон пересечения и объединения множеств. Из определений пересечения и объединения множеств вытекает: Определение. Для любых множеств А и В справедливо равенство: А Ç B = B Ç A и A È B = B È A. 2. Сочетательный (ассоциативный) закон пересечения и объединения множеств. Определение. Для любых множеств А, В и С выполняются равенства:
Свойство ассоциативности для пересечения и объединения множеств не столь очевидно, как свойство коммутативности, и поэтому нуждается в доказательстве. Но прежде всего можно эти свойства проиллюстрировать при помощи кругов Эйлера. Рассмотрим, например, ассоциативное свойство пересечения множеств. Изобразим множества А, В и С в виде трех попарно пересекающихся кругов. (См. рис.3) 3. Закон пересечения множеств: (А Ç B) Ç С = A Ç (ВÇ С) В выражении (А Ç B) Ç С скобки определяют следующий порядок действий: сначала выполняется пересечение множеств А и В – оно показано на рисунке вертикальной штриховкой, а затем находят пересечение полученного множества и множества С. Если выделить множество С горизонтальной штриховкой, то область, заштрихованная дважды, будет изображать множество (А Ç B) Ç С.
Аналогично можно проиллюстрировать свойство ассоциативности и для объединения множеств. Замечание. Важность ассоциативного свойства пересечения и объединения множеств состоит в следующем: 1) можно находить пересечение и объединение трех множеств, зная, как это делается для двух; 2) на основании этого свойства в выражениях (А Ç B) Ç С, A Ç (ВÇ С),(A È B) È С, A È (B È С) можно опускать скобки и писать А Ç B Ç С или A È B È С, что облегчает запись. Рассмотрим строгое доказательство свойства ассоциативности одной из операций над множествами, например объединения, т.е. докажем, что для любых множеств А, В и С справедливо равенство (A È B) È С = A È (B È С). Доказательство. Чтобы доказать равенство двух множеств, надо убедится в том, что каждый элемент множества (A È B) È С содержится в множестве A È (B È С), и наоборот. 1. Пусть х – любой элемент множества (A È B) È С. Тогда, по определению объединения, х Î A È B или хÎС. Если х Î A È B, то, по определению объединения, х Î А или х Î В. В том случае, когда х ÎА, то, также по определению объединения, х Î A È (B È С). Если х Î В, то имеем, что х Î B È С, а значит, х Î A È (B È С). Случай, когда х Î А и х Î В, сводится к рассмотренным. Таким образом, из того, что х Î A È B, следует, что х Î A È (B È С). Если х Î С, то, по определению объединения, х Î В È С, и следовательно, х Î A È (B È С). Случай, когда х Î A È B и х Î С, сводится к рассмотренным выше. Итак, мы показали, что каждый элемент множества (A È B) È С содержится и в множестве A È (B È С), т.е. (A È B) È С Ì A È (B È С). 2. Пусть у - любой элемент множества A È (B È С). Тогда, по определению объединения, уÎА или уÎ B È С. Если у Î А, то, по определению объединения, у ÎA È (B È С). Если у Î B È С, то у Î B или уÎ С. В том случае, когда у Î B, то уÎ AÈB и, значит, уÎ (A È B) È С. Когда же у Î С, то у Î (A È B) È С. Случай, когда у Î В и у Î С, сводится к уже рассмотренным. Итак, мы показали, что каждый элемент множества A È (B È С) содержится и в множестве (A È B) È С, т.е. A È (B È С) Ì (A È B) È С. Согласно определению равных множеств заключаем, что (A È B) È С = A È (B È С), что и требовалось доказать. Аналогично доказывается и ассоциативное свойство пересечения множеств. Замечание. Взаимосвязь пересечения и объединения множеств отражается в распределительных, или дистрибутивных, свойствах этих операций. Таких свойств два: 1. Пересечение дистрибутивно относительно объединения множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняется равенство (А È B) Ç С = (А Ç С) È (ВÇ С). 2. Объединение дистрибутивно относительно пересечения множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняется равенство (А Ç B) È С = (А È С) Ç (В È С). Замечание. Если в выражении есть знаки пересечения и объединения множеств и нет скобок, то сначала выполняют пересечение, так как считают, что пересечение более «сильная» операция, чем объединение.
|
|||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-28; просмотров: 787; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 52.15.113.71 (0.011 с.) |