Логическая структура математической задачи

Любая математическая задача имеет следующую логическую структуру. Есть условие задачи - набор суждений, которые называются данными задачи. Обозначим их А₁ А₂,..., Ап. Из этих данных необходимо вывести некоторые другие суждения (одно или несколько). В постановке задачи обычно указывается, какого типа суждения необходимо получить, исходя из данных задачи. Если это «задача на доказательство», то такое суждение прямо формулируется.

Например, «доказать, что если 10 предметов лежат в 9 коробках, то найдется хотя бы одна коробка, в которой лежат по крайней мере два предмета». Здесь исходное суждение - условие задачи - заключается в суждении: «В 9 коробках лежат 10 предметов». Из этого суждения по правилам логики и математики необходимо получить суждение: «Найдется коробка, в которой лежит по крайней мере 2 предмета».

Иногда суждение, которое необходимо получить, формулируется не явно, а дается в виде вопроса типа: «Сколько», «Чему равно?». Эти вопросы требуют найти какие-то свойства тех объектов, которые описываются в условии задачи. Как правило, в математической задаче эти свойства носят характер количественных соотношений, геометрических и т.п.

Рассмотрим, например, задачу начальной школы. У одного мальчика 3 марки, у другого на 2 марки больше. Сколько марок у двух мальчиков? Здесь условие задачи - это суждение А₁: «У одного мальчика 4 марки» и суждение А₂: «У другого мальчика на 2 марки больше». Суждение В, которое нужно получить, выглядит так: «У двух мальчиков вместе такое-то количество марок». Итак, из условий А₁ и А₂ нужно получить суждение В определенного вида. Вообще говоря, из данных А₁ и А₂ можно получать логически и математически разные суждения.

Например, в данной задаче можно получить вывод о том, что у первого мальчика на 3 марки меньше, у второго мальчика на 67 % марок больше, что вместе у них марок больше, чем у каждого в отдельности, и т.п. Все это задачей не требуется, а требуется суждение вполне определенного вида. В этом, может быть, и состоит трудность решения любой математической задачи. Из большого количества различных выводов необходимо выбрать несколько нужных для получения дальнейших выводов, которые затем приводят к ответу на вопрос.

Отметим, что возможность делать различные выводы из данных задачи является источником разнообразных задач типа: «Что можно узнать, если известно нечто». Например: «из двух пунктов, расстояние между которыми 360 км, вышли навстречу друг другу одновременно два автомобиля со скоростью 60 км/ч. Что можно узнать по этим данным?»

Логическая схема решения математической задачи такова:

(А₁, А₂,..., А_п) Þ (В₁, В₂,..., В_к,)Þ (С₁, С₂,..., С_т),

где знак Þ указывает на следование, получаемое по правилам логики и математики. В нашей конкретной задаче из суждений А₁, А₂ следует суждение А₃; «У второго мальчика 5 марок», а затем из суждений А₁, А₃ следует суждение В:«У двух мальчиков вместе 8 марок». Эти два логических перехода обозначим с помощью знака следования 1) (А_{1 и} А₂) Þ А₃, 2) (А₃ и А₁Þ В. Окончательно можно сделать такой логический вывод: (А₁ и А₂) Þ В. Задача решена.

Первые два шага соответствуют действиям, которые выполняют ученики: 1) 3+2 = 5; 2) 5+3 = 8. Третий, заключительный, вывод есть итог, он соответствует действию написания ответа учеником.

Схему умозаключения, которая здесь используется, можно записать в виде

(А₁ и А₂) Þ А₃, 2) (А₃ и А₁) Þ В.

(А₁ и А₂) Þ В

Правильность этой логической схемы проверяется простым рассуждением. Допустим, что А₁ и А₂ - истинные суждения. Тогда, в силу (А₁ и А₂) Þ А₃, А₃ - истинное суждение. Поскольку А₁ - истинное суждение и А₃ - истинное суждение, то В - истинное суждение в силу второго логического следования. Это и требовалось доказать.

Вопрос о справедливости следования (А₁ и А₂) Þ А₃ уже является сугубо математическим вопросом, связанным с математическим значением терминов «больше на».

Если не все данные используются для получения решения задачи, то чаше всего это означает, что школьник неправильно решает задачу, поскольку во всех школьных учебниках все данные в условии задачи должны использоваться. В практической деятельности и в науках, где используется математика, постановка задач может содержать избыточные данные, и тогда задачей исследователя является выделение тех данных, которые использовались при решении задачи.

Отметим, что такого рода упражнения вполне можно использовать и в начальной школе с целью развития логического мышления учащихся. Например, можно поставить перед учениками проблему нахождения лишних данных в следующей задаче. Сторона участка равна 32м, другая составляет 3/4 этой длины. Площадь участка равна 878 м². Найти вторую сторону.