Количественные натуральные числа. Счет

Аксиоматическая теория описывает натуральное число как эле­мент бесконечного ряда, в котором числа располагаются в определенном порядке, существует первое число и т.д. Другими словами, в аксиоматике раскрывается порядковый смысл натурального числа. Но натуральные числа имеют и количественный смысл. Чтобы выяснить, как связаны между собой эти два смысла натурального числа, рас­смотрим такие понятия, как отрезок натурального ряда, конечное множество, счет, и другие.

Определение. Отрезком N_а натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а.

Используя запись множества, для элементов которого указано характеристическое свойство, можно записать, что N_а = {х | хÎN и х £ а}

Например, отрезок N₇ - это множество натуральных чисел, не пре­восходящих числа 7, т. е. N₇ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Отметим два важных свойства отрезков натурального ряда.

1) Любой отрезок N_а содержит единицу. Это свойство вытекает из определения отрезка N_а.

2) Если число х содержится в отрезке N_а и х¹а, то и непосредственно следующее за ним число х +1 также содержится в N_а.

Действительно, если х ÎN_а и х ¹ а, то х < а. Это означает, что существует такое натуральное число с, что а=х+с. Если с=1, то а=х+1, а значит, х+1 содержится в N_а. Если же с > 1, то с - 1 - натуральное число и, следовательно, а=х+с=(х+1)+(с-1). Но тогда х+1 <а, т.е. х+1 - натуральное число, принадлежащее отрезку N_а.

Определение. Множество А называется конечным, если оно равномощно некоторому отрезку N_а натурального ряда.

Например, множество А вершин треугольника - конечное множество, так как оно равномощно отрезку N₃ = {1, 2, 3}, т.е. А ~ N₃.

Теорема. Всякое непустое конечное множество равномощно одному и только одному отрезку натурального ряда.

Доказательство этой теоремы мы опускаем.

Определение. Если непустое конечное множество А равномощно отрезку N_а, то натуральное число а называют числом элементов множества А и пишут п(А) = а.

Например, если А - множество вершин треугольника, то n (А) = 3. Из данного определения и теоремы получаем, что для любого непустого конечного множества А число а = n(А) единственное.

Определение. Установление взаимно однозначного соответствия между элементами непустого конечного множества А и отрезком натурального ряда называется счетом элементов множества А.

Так как всякое непустое конечное множество равномощно только одному отрезку натурального ряда, то число элементов, т.е. результат счета не зависит от того, в каком порядке будут пересчитываться элементы множества. Поэтому можно какому-либо элементу множества А поставить в соответствие число 1 и больше этот элемент не рассматривать. Затем какому-либо из оставшихся элементов сопоставить число 2 и больше его не рассматривать. Продолжая это построение, последнему оставшемуся элементу мы поставим в соответствие число а.

В процессе счета мы не только найдем число элементов множества А, но и упорядочим его: элемент, которому соответствует число 1, - первый; элемент, которому сопоставлено число 2, - второй, и т.д.

Таким образом, всякое натуральное число а можно рассматривать как характеристику численности некоторого конечного множества А. Натуральное число а имеет при этом количественный смысл.

 

СЕМИНАРСКОЕ ЗАНЯТИЕ. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ПОНЯТИЯ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА

Вопросы к изучению

1. Содержание понятий «множество», «число», «цифра», «счет».

2. Развитие понятий числа и счета.

3. Раскрытие сущности счета и измерения.

4. Виды письменной нумерации и история их развития.

5. Порядковые и количественные натуральные числа. Счет.

6. Теоретико-множественный смысл количественного натурального числа и нуля

Вопросы для самоконтроля

1. Назовите виды множеств, дайте им характеристику. Какие можно производить операции над множествами?

2. Что такое «число», «цифра», «счет»?

3. В чем связь и различие счета и измерения?

4. Раскройте причины возникновения различных видов записи чисел, дайте им характеристику.

5. Какое значение имело возникновение понятия натурального числа на развитие математики?

6. Раскройте порядковый и количественный смысл натурального числа.

7. Дайте теоретико-множественную трактовку натурального числа.

Задания для самостоятельной работы

1. Подготовить короткое сообщение по истории возникновения письменной нумерации и возникновения понятия натурального числа.

2. рассматривается Рассмотрите материал учебников математики для начальной школы, где дочисловой период. Приведите примеры различных заданий по формированию у младших школьников счетной деятельности.

3. Можно ли назвать отрезком натурального ряда множество: а){1,2,3,4}; б){2,3,4, 5}; в){1,3,5,7}; г){1,2,4,5}?

4. Докажите, что множество В конечное, если: а) В - множество букв в слове «параллелограмм»; б) В - множество учащихся в классе; в) В - множество букв в учебнике математики.

5. Прочитайте записи: n (А) = 5; n (А) = 7. Приведите примеры множеств, содержащих указанное число элементов.

6. Что значит сосчитать элементы конечного множества? Сформулируйте правила, которые должны соблюдать учащиеся при счете предметов и которые вытекают из определения счета элементов конечного множества.

7. Рассмотрите иллюстрации и записи, приведенные на той странице учебника по математике, где учащиеся изучают число «три». Объясните, какие из них приведены с целью раскрыть учащимся порядковое и количественное значение числа «три». Какие бы Вы добавили иллюстрации с этой же целью?

8. Найдите в различных учебниках математики для 1 класса задания, которые можно использовать для формирования у учащихся представлений: а) о количественном и порядковом числе; в) о взаимосвязи между количественным и порядковым числами. Ответьте на вопрос: «Почему установление взаимно однозначного соответствия между элементами предметных множеств подготавливает ребенка к овладению счетом?».

9. Найдите в учебниках различные виды учебных заданий, которые можно предложить детям для усвоения отношений «больше», «меньше», «равно» между однозначными числами. Составьте сами различные задания, которые можно использовать с этой же целью.

10. Составьте учебные задания, в процессе выполнения которых у учащихся формируются навыки присчитывания и отсчитывания по единице.

 

ТЕМА 13. ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫЙ ПОДХОД К ПОСТРОЕНИЮ НАТУРАЛЬНОГО РЯДА ЧИСЕЛ. ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫЙ СМЫСЛ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ.

Содержание

1. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше».