Умозаключения, построенные по схеме

Все S есть Р, А есть S

А есть Р

являются очень важными при изучении математики, методики ее преподавания и вообще дидактики. Этот вид умозаключений называется дедуктивной формой умозаключения, а рассуждения по этой форме - дедуктивным умозаключением, или дедукцией. В дедуктивных умозаключениях мысль движется от общего к частному. Эти умозаключения позволяют строить частные суждения из общих.

Дедуктивные умозаключения широко применяются уже на начальном этапе обучения математике. Например, в начальной школе можно объяснить, почему 3<5, следующим образом. «При счете число 3 «идет» раньше числа 5».

Сформулируем полностью рассуждение, которое скрыто в этом высказывании:

Натуральное число а меньше натурального числа в, если число а идет при счете раньше числа в. (Общая посылка)

Число 3 идет при счете раньше числа 5.(частная посылка)

Следовательно, число 3 меньше числа 5 (вывод)

Схема этого умозаключения есть в точности схема (1).

На практике, в школе, общие посылки типа «все 5 есть Р» только подразумеваются, но учениками не произносятся. Учителю же необходимо эти общие посылки иметь в виду.

Индуктивные умозаключения. Полная индукция

Индукция (от лат - наведение) – форма мышления, с помощью которой мысль направляется на какое-нибудь общее утверждение, что касается отдельных предметов определенного множества.

Рассмотрим высказывание. При умножении любого натурального числа на 5 последняя цифра в записи произведения 0 или 5.

Как можно прийти к такому выводу? Предположим, что число оканчивается на 0. Тогда произведение оканчивается нулем. Предположим, что число оканчивается единицей, тогда произведение оканчивается на 5 и т.д. до 9. Поскольку других возможностей оканчиваться на какую-либо цифру, кроме 0 и 5, у числа нет, то утверждение доказано.

Такое рассуждение относится к индуктивным умозаключениям. В школьном курсе математики выделяют три вида индукции (индуктивных умозаключений).

Определение. Индуктивное умозаключение - это такое, в результате которого на основании знания об отдельных предметах данного множества (или об отдельных подмножествах данного множества) получается общий вывод, содержащий какое-либо знание обо всех предметах данного множества.

В данном примере в роли этих подмножеств выступают множества чисел, оканчивающихся на одну и ту же цифру. Таких подмножеств всего 10. Все множество - это множество N.

Приведенный пример является примером умозаключения вида полной индукции. Его схема выглядит следующим образом:

S₁ есть Р, S₂ есть Р,..., Sп есть Р.

Все S_1, S_2,..., Sп исчерпывают весь класс S (4)

Все S есть Р

Здесь S₁ - это множество чисел, оканчивающихся 0, S₂ - множество чисел, оканчивающихся 1, и т.д., S₁₀ - множество чисел, оканчивающихся 9. Роль Р играет свойство чисел: «после умножения на 5 оканчивается 0 или 5». Множество всех натуральных чисел N является объединением классов Sо, S₁, S_{2, …}, S₁₀.

Определение. Полная индукция – умозаключение, в правильности которого убеждаются, рассматривая все отдельные случаи (объекты, фигуры, числа), которые составляют конечное множество.

Например, доказывая теорему об измерении вписанного в круг угла, рассматривают все три отдельных случая: центр угла принадлежит одной из сторон угла, лежит между сторонами, находится вне круга.

Утверждения, которые делаются на основе использования полной индукции, всегда правильные, так как полная индукция является методом доказательства.

Неполная индукция

Кроме полной индукции, в математике и в методике ее преподавания встречаются рассуждения по неполной индукции.

Иногда математические задачи сформулированы в таком виде, что прежде чем их решать, нужно сначала выделить условие «что дано» и заключение «что требуется установить». К таким задачам относятся суждения вида «все S есть Р». Если требуется установить истинность такого рода суждения, то для этого необходимо проверить, что любой объект вида S является объектом вида Р. Для этого достаточно взять произвольный объект вида S и убедиться в том, что он является объектом вида Р.

Например. Предположим, что вы даете ученику коробку со 100 красными палочками и просите ученика, не глядя в эту коробку, достать, допустим, 10 палочек. Все 10 палочек, естественно, оказались красного цвета. Вы спрашиваете, можно ли утверждать, что все палочки в коробке красного цвета? Правильный ответ на этот вопрос - нет, нельзя. Действительно, пока не проверены все палочки, утверждать о принадлежностиих к типу Р (Р - предметы красного цвета) нельзя.

Не всегда, однако, для того чтобы убедиться в справедливости суждения «все S есть Р», нужно перебирать все объекты типа S. Иногда бывает так, что можно воспользоваться лишь его принадлежностью к объектам вида S, и из этого уже будет следовать принадлежность его к типу Р.

Например. Доказать, что любое число, делящееся на 3, имеет в десятичной записи цифры, сумма которых делится на 3. Нужно ли (да и возможно ли) проверять все числа, делящиеся на 3? Разумеется, нет.

Можно взять произвольное число, делящееся на 3 (объект S), и, не опираясь на конкретный вид этого числа, а используя только его кратностью 3, доказать, что его сумма кратна 3 (является объектом типа Р).

Теперь предположим, что вы предложили рассмотреть ученикам несколько двузначных чисел, делящихся на 3, и подметить какую-нибудь общую особенность у этих чисел. Кто-то допустим, написал 5 таких чисел и заметил, что сумма цифр у каждого из этих чисел делится на 3. После этого естественно выдвинуть общую гипотезу: если число делится на 3, то сумма его цифр тоже делится на 3. Какого рода умозаключение здесь использовалось? Вот его схема.

Некоторые S есть Р

Все S есть Р (5)

Является ли это умозаключение логически строгим? Конечно, нет. Верно ли, что такого типа умозаключениями где нельзя пользоваться? Нет, так как такого типа исключения часто являются источником правильных гипотез, укрепляют веру в истинность утверждений, которые на определенном этапе обучения нельзя обосновать строго.

Умозаключения вида (5) называются рассуждениями по неполной индукции.

Определение. Неполная индукция – рассуждение от отдельного к общему, то есть вывод, который делается на основе изучения свойств отдельных объектов определенной совокупности и распространяется на все ее объекты.

Например, построив по точкам графики нескольких линейных функций, учащиеся убеждаются, что графиком их есть прямая линия. После этого по индукции делается вывод, что графиком какой–либо функции есть прямая линия. Этот вывод правильный, хоть и имеет характер гипотезы, пока в аналитической геометрии не будет доказанный.

Рассуждения по неполной индукции часто встречаются в начальном курсе обучения математике. Они являются как бы источником веры в правильность действий учителя и ученика.

Например. Как ученик второго класса убеждается в справедливости переместительного закона умножения? Сначала ему демонстрируют несколько примеров типа 3×2=3+3=6, 2×3=2+2+2=6. Затем показывают конструкцию более общего характера, основанную на нахождении площади одного и того же прямоугольника двумя способами. После этого ему предлагают «поверить» в коммутативность и запомнить математическое утверждение о справедливости переместительного закона умножения а×в = в×а.

Очевидно, что ни один из приведенных аргументов не является логически достаточным для того, чтобы сделать вывод о справедливости переместительного закона умножения. Демонстрация конечного (и даже большого) количества числовых примеров не является достаточным аргументом для того, чтобы утверждать, что свойство справедливо для всех пар чисел. Схема умозаключения, которое здесь используется, есть схема типа (5), где S - пары натуральных чисел; Р - пары натуральных чисел, обладающих свойством коммутативности умножения. Умозаключение, которое используется в начальной школе, записывается так: «для некоторых пар натуральных чисел справедливо свойство переместительности умножения. Следовательно, для всех пар натуральных чисел справедливо свойство переместительности умножения».

Это также пример неполной индукции. Часто рассуждения по неполной индукции приводят к неправильным выводам. Однако в методике преподавания начального курса математики они с необходимостью используются в тех случаях, когда вывод не вызывает сомнений и когда нет возможности обосновать правило или закон в полной мере. Таких случаев довольно много.

Есть гипотезы в математике, которые, естественно, возникают как обобщения конкретных наблюдений, но истинность которых до сих пор не подтверждена доказательством (но и не опровергнута). Один из примеров - это классическая проблема Гольдбаха в теории чисел. Рассмотрим четные числа, начиная с 4, иих разложения в суммы простых (простое число - это натуральное число, не имеющее делителей, кроме 1 и самого себя).

4=2+2 10=5+5

6=3+3 12=7+5

8=5+3 14=11+3

Мы видим, что все эти числа можно представить в виде суммы двух простых. Оказывается, что это утверждение верно для многих других четных чисел. Однако неизвестно, верно ли оно для всех четных чисел.

Математическая индукция

Один из важных методом математического доказательства, который охватывает бесконечное множество случаев, основывается на принципе (аксиоме) индукции.

Теорема о принципе математической индукции. Если некоторое предложение А(п) верно при п = 1 и из предложения, что оно верно при некотором значении п = k, следует, что это предложение верно и при следующем значении п = k+1, то предложение А(п) верно при всех пÎN

Например. Докажем, что для любого натурального числа истинно равенство 1+3+5+…+(2п-1)=п².

Доказательство. Равенство 1+3+5+…+ (2п-1)=п² представляет собой формулу, по которой можно находить сумму п первых последовательных нечетных натуральных чисел. Например, 1+3+5+7=4²=16; если сумма содержит 20 слагаемых указанного вида, то она равна 20²=400 и т.д.

1) Убедимся в истинности данного равенства п=1. При п=1 левая часть равенства состоит из одного члена, равного 1, правая часть равна 1². Так как 1² =1, то для п = 1 данное равенство истинно.

2) Предположим, что данное равенство истинно для п =k, т.е. что 1+3+5+…+(2 k -1) = k². Исходя из этого предположения, докажем, что оно истинно и для п = k+1, т.е. 1+3+5+…+ (2п-1) + (2п+1) = k²+ 2k+1. Выражение k²+ 2k+1 тождественно равно выражению (k+1)². Следовательно, истинность данного равенства для п = k+1 доказана.

Вывод: данное равенство истинно для п =1 и из истинности его для п = k следует истинность для п = k +1. Тем самым доказано, что данное равенство истинно для любого натурального числа.

Аналогия

Еще одним важным видом умозаключений, используемых в математике, является аналогия.

Определение. Аналогия умозаключение о принадлежности предмет ту определенного признака (т.е. свойства или отношения) на основе сходства в существенных признаках с другими предметами.

Например, мы утверждаем, что формула числа элементов декартова произведения конечных множеств аналогична формуле числа элементов декартова произведения двух множеств.

Точно так же при объяснении правил умножения многозначного числа на однозначное и двухзначное можно пользоваться аналогией при умножении многозначного числа на число единиц и на число десятков, подчеркнув лишь различия в записи.

Аналогия – достаточно эффектный механизм познания, умственный прием, используемый как в научных исследования, так и в обучении. Рассуждения по аналогии имеют следующую общую схему:

А обладает свойствами a, b, g, d;

В обладает свойствами a, b, g,

Возможно, В обладает свойством d.

В последнее время философы относят аналогию не только к категориям логики, но и к категориям психологии. Так, психолог А И. Уемов считает, что проблема аналогии является одной из разновидностей ассоциаций по подобию, но основе которой одна мысль порождает другую. В одних случаях такая ассоциация помогает получить истину, в других – препятствует, т.е. каким будет результат предположить нельзя. Аналогия очень часто большое убеждение, так как ассоциация, которая породили ту или иную мысль у человека, может привести и к возникновению ее в подобных условиях. Однако это убеждение не следует отождествлять с доказательством. Такою есть психологическая концепция аналогии.

Поэтому выводы по аналогии могут оказаться как правильными так и не правильными. Они требуют специального обоснования правильности или не правильности с помощью дедуктивных рассуждений.

Аналогия как логический метод научного познания широко используется в математике и других науках. Не менее важная роль аналогий в обучении математики в школе во время формирования понятий, обучению вычислительным навыкам и решению различных задач.

Использование аналогий во время формирования понятий повышает активизацию умственной деятельности учащихся, так как установив, что новое понятие аналогично изученному раньше, учащийся может предположить совпадение свойств этих понятий. Сравнение аналогичных понятий дает возможность устанавливать одинаковые свойства, а также выявлять свойства, которые совпадают (например, для понятий “числовое равенство” и “числовое неравенство”). Это дает возможность более глубоко усвоить свойства новых понятий, прочно их запомнить и предупредить возможные ошибки. Большие возможности использования аналогий во время формирования основных понятий курса геометрии. Если учитель умело руководить мышлением учащихся, то они самостоятельно устанавливают пары аналогичных понятий: окружность, круг, шар; квадрат и куб; параллелограмм и параллелепипед и т.д.

Формирование умения делать выводы по аналогии следует осуществлять поэтапно. Целесообразно, например, ориентироваться на такие этапы при использовании аналогии в учебном процессе: объяснение принципа действия по данному образцу; закрепление и развитие, полученных на первом этапе умений и навыков; применение данного способа действия к более сложным, но аналогичным заданиям.

Широко используется аналогия в обучении математике младших школьников. Это происходит при изучении свойств объектов, отношений между ними и действий с ними. Приведем несколько примеров:

· Аналогию можно использовать для «открытия» новых свойств изучаемых объектов.

Например, если при изучении классов установлено, что в классе единиц три разряда – единицы, десятки, сотни, а в классе тысяч также три разряда – единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч, то вывод о числе разрядов в классе миллионов и их названии дети могут сделать самостоятельно, по аналогии.

· Аналогия может быть использована для установления отношений между данными объектами.

Например, учащиеся установили, что 4´(3+7)>4´3+4´6, так как 4´(3+7)=4´3+4´7>4´6. Рассматривая затем выражения 3´(8+9) и 3´8+3´7, учащиеся могут по аналогии сделать вывод о том, что 3´(8+9)>3´8+3´7. Проверить его правильность можно либо путем рассуждений, аналогичных тем, что проводились при выполнении первого задания, либо при помощи вычислений.

· Аналогия может быть использована и для выводов о способе действия на основе изучения другого способа.

Например, после рассмотрения способа умножения двузначного числа на однозначное на примере умножения 27 на 3 (27´3=(20+7)´3=20´3+7´3=81) детям предлагается умножить 712 на 4. Действуя по аналогии, они устанавливают, что 712´4=(700+10+2)´4=2800+40+8=2848. Далее по аналогии устанавливают, как умножить 6288 на 3.

Следующим шагом может быть обобщение, т. е. получение правила умножения многозначного числа на однозначное.

Вообще аналогия столь часто используется в обучении, что иногда является препятствием к сознательному усвоению знаний и приводит часто к неправильным выводам. Например, решая неравенство х²+х+1>0 и убедившись, что корней соответствующего уравнения нет, ученик утверждает, что решений это неравенство не имеет по аналогии с уравнением х²+х+1=0. Это ошибка, так как решений – бесчисленное множество, а именно, все множество R.

Приведем еще несколько типичных примеров ошибок, совершаемых учениками из-за неправильного применения рассуждений по аналогии.

В начальной школе известно, что действия сложения и умножения переместительны и сочетательны. Некоторые ошибки могут возникнуть из-за переноса этих свойств по аналогии на действия вычитания и деления. Например, 158-18-10=158-(18-10)=158-8=150. Здесь «незаконно» использовалось свойство сочетательности вычитания, которого у вычитания нет.

Если в математике ошибки по аналогии достаточно «безобидны», то в жизни это не так. Съев ягоду, похожую на хорошую, ребенок может отравиться.