Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Прямая и обратная пропорциональностиСодержание книги
Поиск на нашем сайте
Если t - время движения пешехода (в часах), s - пройденный путь (километрах), и он движется равномерно со скоростью 4 км/ч, то зависимость между этими величинами можно выразить формулой s = 4t Так как каждому значению t соответствует единственное значение, то можно говорить о том, что с помощью формулы s = 4t задан функция. Ее называют прямой пропорциональностью и определяю следующим образом. Определение. Прямой пропорциональностью называется функции которая может быть задана при помощи формулы у = kx, где k не равное нулю действительное число. Название функции у = k х связано с тем, что в формуле у = k х есть переменные х и у, которые могут быть значениями величин. А если отношение двух величин равно некоторому числу, отличному от нуля, их называют прямо пропорциональными. В нашем случае . Это число называют коэффициентом пропорциональности. Функция у = k х является математической моделью многих реальных ситуаций, рассматриваемых уже в начальном курсе математики. Одна из них описана выше. Другой пример: если в одном пакете муки 2 кг, а куплено х таких пакетов, то всю массу купленной муки (обозначим ее через у) можно представить в виде формулы у = 2х, т. е. зависимость между количеством пакетов и всей массой купленной муки является прямой пропорциональностью с коэффициентом k = 2. Напомним некоторые свойства прямой пропорциональности, которые изучаются в школьном курсе математики. 1. Областью определения функции у = k х и областью ее значений является множество действительных чисел. 2. Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат. Поэтому для построения графика прямой пропорциональности достаточно найти лишь одну точку, принадлежащую ему и не совпадающую с началом координат, а затем через эту точку и начало координат провести прямую. Например, чтобы построить график функции у = k х, достаточно иметь точку с координатами (1,2), а затем через нее и начало координат провести прямую (рис. 7). 3. При k > 0 функция у = kх возрастает на всей области определения, при k < 0 — убывает на всей области определения.
Действительно, если функция f - прямая пропорциональность, то она может быть задана формулой у = kх, и тогда у1 = kх1, у2 = kх2. Так как х2 ¹ 0 и k¹0, то у2¹0. Поэтому и значит Замечание. Если значениями переменных х и у служат положительные действительные целые числа, то доказанное свойство прямой пропорциональности можно сформулировать так: с увеличением (уменьшением) значения переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у увеличивается (уменьшается) во столько же раз. Это свойство присуще только прямой пропорциональности, и им можно пользоваться при решении текстовых задач, в которых рассматриваются прямо пропорциональные величины. Задача 1. За 8 ч токарь изготовил 16 деталей. Сколько часов потребуется токарю на изготовление 48 деталей, если он будет работать с той же производительностью? Решение. В задаче рассматриваются величины - время работы токаря, количество сделанных им деталей и производительность (т.е. количество деталей, изготавливаемых токарем за 1 ч), причем последняя величина постоянна, а две другие принимают различные значения. Кроме того, количество сделанных деталей и время работы - величины прямо пропорциональные, так как их отношение равно некоторому числу, не равному нулю, а именно - числу деталей, изготавливаемых токарем за 1 ч. Если количество сделанных деталей обозначит буквой у, время работы х, а производительность – k, то получим, что или у = k х, т.е. математической моделью ситуации, представленной в задаче, является прямая пропорциональность. Решить задачу можно двумя арифметическими способами: 1 способ: 2 способ: 1) 16:8 =2 (дет.) 1) 48:16 = 3 (раза) 2) 48:2=24(ч) 2) 8×3=24(ч) Решая задачу первым способом, мы сначала нашли коэффициент пропорциональности k, он равен 2, а затем, зная, что у = 2х, нашли значение х при условии, что у = 48. При решении задачи вторым способом мы воспользовались свойством прямой пропорциональности: во сколько раз увеличивается количество деталей, сделанных токарем, во столько же раз увеличивается и количество времени на их изготовление. Перейдем теперь к рассмотрению функции, называемой обратной пропорциональностью. Если t - время движения пешехода (в часах), v - его скорость (в км/ч) и он прошел 12 км, то зависимость между этими величинами можно выразить формулой v × t = 20 или v = . Так как каждому значению t (t¹0) соответствует единственное значение скорости v, то можно говорить о том, что с помощью формулы v = . задана функция. Ее называют обратной пропорциональностью и определяют следующим образом. Определение. Обратной пропорциональностью называется функция, которая может быть задана при помощи формулы где k - не равное нулю действительное число. Название данной функции связано с тем, что в есть переменные х и у, которые могут быть значениями величин. А если произведение двух величин равно некоторому числу, отличному от нуля, то их называют обратно пропорциональными. В нашем случае ху = k (k ¹ 0). Это число k называют коэффициентом пропорциональности. Функция является математической моделью многих реальных ситуации, рассматриваемых уже в начальном курсе математики. Одна из них описана перед определением обратной пропорциональности. Другой пример: если купили 12 кг муки и разложили ее в х пакетов по у кг в каждую, то зависимость между данными величинами можно представить в виде х×у = 12, т.е. она является обратной пропорциональностью с коэффициентом k = 12. Напомним некоторые свойства обратной пропорциональности, известные из школьного курса математики. 1. Областью определения функции областью ее значений х является множество действительных чисел, отличных от нуля. 2. Графиком обратной пропорциональности является гипербола. 3. При k > 0 ветви гиперболы расположены в 1-й и 3-й четвертях и функция является убывающей на всей области определения х (рис.8). При k < 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четверти функция является возрастающей на всей области определения х (рис. 9). у у k > 0 k < 0 х х
Рис. 8 Рис. 9 4. Если функция f – обратная пропорциональность и (х1, у1), (х2, у2) – пары соответствующих значений переменных х и у, то Действительно, если функция f - обратная пропорциональность, она может быть задана формулой и тогда , . Так как х1¹0, х2¹0, то . Замечание. Если значениями переменных х и у служат положительные действительные числа, то это свойство обратной пропорциональности можно сформулировать так: с увеличением (уменьшением) значения переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у уменьшается (увеличивается) во столько же раз. Это свойство присуще только обратной пропорциональности, и им можно пользоваться при решении текстовых задач, в которых рассматриваются обратно пропорциональные величины. Задача 2. Велосипедист, двигаясь со скоростью 10 км/ч, проехал расстояние от А до В за 6 ч. Сколько времени потратит велосипедист на обратный путь, если будет ехать со скоростью 20 км/ч? Решение. В задаче рассматриваются величины: скорость движения велосипедиста, время движения и расстояние от А до В, причем последняя величина постоянна, а две другие принимают различные значения. Кроме того, скорость и время движения - величины обратно пропорциональные, так как их произведение равно некоторому числу, а именно пройденному расстоянию. Если время движения велосипедиста обозначить буквой у, скорость - х, а расстояние АВ - k, то получим, что ху = k или , т. е. математической моделью ситуации, представленной в задаче, является обратная пропорциональность. Решить задачу можно двумя способами: 1 способ: 2 способ: 1) 10×6 =60 (км) 1) 20:10=2 (раза) 2) 60:20=3(ч) 2) 6:2=3(ч) Решая задачу первым способом, мы сначала нашли коэффициент пропорциональности k, он равен 60, а затем, зная, что нашли значение у при условии, что х = 20. При решении задачи вторым способом мы воспользовались свойством обратной пропорциональности: во сколько раз увеличивается скорость движения, во столько же раз уменьшается время на прохождение одного и того же расстояния. Замечание. При решении конкретных задач с обратно пропорциональными или прямо пропорциональными величинами накладываются некоторые ограничения на х и у, в частности, они могут рассматриваться не на всем множестве действительных чисел, а на его подмножествах. Задача 3. Лена купила х карандашей, а Катя в 2 раза больше. Обозначьте число карандашей, купленных Катей, через у, выразите у через х и постройте график установленного соответствия при условии, что х£5. Является ли это соответствие функцией? Какова ее область определения и область значений? Решение. Катя купила у=2х карандашей. При построении графика функции у=2х необходимо учесть, что переменная х - обозначает количество карандашей и х£5, значит, она может принимать только значения 0, 1, 2, 3, 4, 5. Это и будет область определения данной функции. Чтобы получить область значений данной функции, надо каждое значение х из области определения умножить на 2, т.е. это будет множество {0, 2, 4, 6, 8, 10}. ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. ФУНКЦИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА Цель. Раскрыть теоретические основы формирования функциональной зависимости в курсе начальной математики. Теоретическая часть 1. Исторические сведения о возникновении понятия функции. 2. Понятие функции. Способы задания функции. 3. Прямая пропорциональность. 4. Обратная пропорциональность. Основные понятия темы Ø числовая функция; Ø область определения функции; Ø область значений функции; Ø график функции; Ø прямая пропорциональность; Ø обратная пропорциональность. Основные выводы, замечания Ø Числовую функцию можно задать с помощью формулы (она представляет собой уравнение с двумя переменными), графика на координатной плоскости, таблицы. Ø Функции могут обладать свойством монотонности, т.е. возрастать или убывать на некотором промежутке. Ø Свойства, присущие только прямой и обратной пропорциональности можно использовать при обучении младших школьников решению задач с пропорциональными величинами. Практическая часть Обязательные задания 1. Понятие функции является фундаментальным математическим понятием. В процессе эволюции математики оно определенным образом изменилось. Раскройте основные этапы возникновения определения функции в историческом аспекте. Приведите примеры пропедевтических учений Н. Орема (1323-1382), Г.В. Лейбница (1646-1716), И. Бернулли (1718г.), Л.Эйлера (1707-1783) о функции. Дайте определение функции М.И. Лобачевским (19 в.) и определения функции в современных учебниках алгебры и математики. 2. Каждому целому неотрицательному числу поставлен в соответствие его остаток от деления на 5. Изобразите схематично это соответствие, взяв в качестве множества X первые 20 натуральных чисел. Будет ли это соответствие функцией? Каким числам соответствует нуль? 3. Соответствие f задано следующим образом: «Каждому двузначному числу соответствует сумма его цифр». Убедитесь, что это соответствие является функцией. Укажите область определения и множество значений функции. Вычислите значения функции f (41); f (56); f (83). При каких значениях аргумента значение функции равно 2? 4. Представьте различными способами число 5 как сумму двух натуральных чисел. Запишите аналитически связь между слагаемыми. Сколькими способами можно представить 5 как сумму двух натуральных чисел? 5. Какие из следующих формул задают на множестве R действительных чисел функцию: а) у = 4х; б) у =; в) х2 + у2 = 4? 6. Связь между переменными х и у задана формулой х2 + у2 = 25. Задайте эту связь словесно и геометрически. Выразите каждую из переменных через другую. Являются ли эти зависимости функциями? Если нет, то измените соответствующие формулы так, чтобы они задавали функции. 7. Постройте график функции у = 5 - х, если ее область определения такова: а) Х = {0,1, 2, 3,4, 5}; б) Х = [0;5]; в) Х = R. 8. Постройте графики следующих функций при условии, что они заданы на множестве R действительных чисел: а) у = х; б) у = 3; в) х = 5; г) у = 0. 9. Функция f задана при помощи таблицы:
а) Укажите ее область определения и область значений. б) Задайте функцию f при помощи формулы. в) Постройте график функции f на координатной плоскости. г) Докажите, что функция f возрастает на всей области определения. 10. Докажите, что соответствие между значениями переменных х и у, рассматриваемое в задаче, является функцией; укажите область ее значений при условии, что х < 5; постройте график данной функции: а) Катя купила 3 тетради, а Лена на х тетрадей больше. Сколько тетрадей (у) купили Лена и Катя вместе? б) Из пунктов А и В навстречу друг другу вышли два туриста. При встрече оказалось, что один прошел 3 км, а второй на х км больше. Каково расстояние (у км) между пунктами А и В? 11. Сравните функции, о которых идет речь в предыдущем упражнении. Чем они похожи? В чем их различие? Какими будут графики данных функций? 12. У одного ученика было 2 тетради. В течение 6 дней он каждый день покупал по 3 новых тетради. Сколько тетрадей (у) у него будет через х дней? Выразите у через х и покажите, что установленное соответствие - функция. Укажите ее область определения и область значений. Постройте график. 13. Известно, что функция f является прямой пропорциональностью, задана на множестве Х = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и при х, равном 3, значение функции равно 12. а) Задайте функцию f при помощи формулы и таблицы; постройте ее график. б) Какие свойства функции f можно проиллюстрировать при помощи таблицы и графика? в) Какие из названных свойств вы будете использовать, решая задачу: «В 3 пакета разложили поровну 12 кг муки. Сколько килограммов муки можно разложить в 6 таких пакетов?» 14. Известно, что функция f является обратной пропорциональностью, задана на множестве Х = {1,2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} и при х, равном 5, значение функции f равно 6. а) Задайте функцию f при помощи формулы и таблицы; постройте ее график. б) Какие свойства функции f можно проиллюстрировать при помощи таблицы и графика? в) Какие из названных свойств вы будете использовать, решая задачу: «Муку разложили в 10 пакетов по 3 кг в каждый. Сколько получилось бы пакетов, если бы в каждый положили по 6 кг муки?» 15. Покажите, что зависимость между величинами, о которых идет речь в нижеприведенной задаче, может быть выражена формулой у = kх. Из 24 м ткани сшили 8 одинаковых платьев. Сколько потребуется ткани на 16 таких же платьев? 16. Учитель, проводя с детьми анализ задачи (см. пред. упр.), спрашивает: «Если на 8 платьев израсходовали 24 м ткани, то на 16 платьев израсходуют больше или меньше ткани?» Дети отвечают, что больше, так как 16 больше 8. О каком свойстве и какой функции в этом случае идет речь? 17. Задайте при помощи формулы соответствие, которое рассматривается в задании: а) Запиши несколько примеров на деление с результатом 10. б) Составь все возможные примеры на сложение однозначных чисел с ответом 10. Установите, являются ли эти соответствия функциями. 18. Одна сторона прямоугольника 3 см, а другая - х см. Какова площадь (у см2) этого прямоугольника? Постройте график полученного соответствия при условии, что х £ 6. Докажите, что это соответствие - функция. 19. Площадь прямоугольника с основанием х см равна 12 см2. Какова высота (у см) этого прямоугольника? Покажите, что соответствие между значениями переменных х и у является функцией и постройте ее график при условии, что 1 £ х £ 12. 20. Какие из нижеприведенных задач можно решить в начальной школе двумя способами: а) Велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч и был в пути 2 ч. Сколько времени потребуется пешеходу, чтобы пройти это расстояние со скоростью 4 км/ч? б) Из 100 кг свеклы при переработке получается 16 кг сахара. Сколько килограммов сахара получится из 3 т свеклы? в) Два опытных участка имеют одинаковую площадь. Ширина первого участка 30 м, ширина второго - 40 м. Найдите длину первого участка, если известно, что длина второго участка равна 75 м. Творческие задания 1. Составьте текстовую задачу, которую можно было бы решить в начальном курсе математики, на зависимость вида: у = 4х. Является ли данное уравнение моделью этой задачи? 2. Составьте текстовую задачу, которую можно было бы решить в начальном курсе математики, на зависимость вида: у = 60х. 3. Найдите учебника математики для начальной школы текстовые задачи на зависимость вида у = кх. 4. Составьте текстовую задачу, которую можно было бы решить в начальном курсе математики, на зависимость вида: у = 4х + 2. 5. Составьте текстовую задачу, которую можно было бы решить в начальном курсе математики, на зависимость вида: у = 15х + 20. 6. Составьте текстовую задачу на зависимость вида у = х/6. 7. Составьте текстовую задачу на зависимость вида у = х/4. 8. Приведите примеры текстовых задач начального курса математики, между величинами которых прямая пропорциональная зависимость.
|
||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-28; просмотров: 2174; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.117.78.215 (0.011 с.) |