Моделирование в процессе решения текстовых задач

Текстовая задача – это словесная модель некоторого явления (ситуации, процесса). Чтобы решить такую задачу, надо перевести ее на язык математических действий, т.е. построить математическую модель.

Вообще, математическая модель – это описание какого-либо реального процесса на математическом языке.

Математической моделью текстовой задачи является выражение (либо запись по действиям), если задача решается арифметическим методом, и уравнение (либо система уравнений), если задача решается алгебраическим методом.

В процессе решения задачи четко выделяются три этапа математического моделирования:

1 этап – это перевод условий задачи на математический язык; при этом выделяются необходимые для решения данные и искомые и математическими способами описываются связи между ними;

2 этап – внутримодельное решение (т.е. нахождение значения выражения, выполнение действий, решение уравнения);

3 этап – интерпретация, т.е. перевод полученного решения на тот язык, на котором была сформулирована задача.

Проиллюстрируем сказанное на примере решения алгебраическим методом следующей задачи: «В одном вагоне электропоезда было пассажиров в 2 раза больше, чем в другом. Когда из первого вагона вышли 3 человека, а во второй вагон вошли 7 человек, то в обоих вагонах пассажиров стало поровну. Сколько пассажиров было в каждом вагоне первоначально?»

Обозначим через х первоначальное число пассажиров во втором вагоне. Тогда число пассажиров в первом вагоне – 2х. Когда из первого вагона вышли 3 человека, в нем осталось 2х – 3 пассажира. Во второй вагон вошли 7 человек, значит, в нем стало х + 7 пассажиров. Так как в обоих вагонах пассажиров стало поровну, то можно записать, что 2х – 3 = х + 7. Получили уравнение – это математическая модель данной задачи.

Следующий этап – решение полученного уравнения вне зависимости от того, что в нем обозначает переменная х: переносим в левую часть члены уравнения, содержащие х, а в правую – не содержащие х, причем у переносимых членов знаки меняем на противоположные: 2х – х = 7 + 3. Приводим подобные члены и получаем, что х = 10.

Последний, третий этап – используем полученное решение, чтобы ответить на вопрос задачи: во втором вагоне было первоначально 10 человек, а в первом – 20 (10·2=20).

Наибольшую сложность в процессе решения текстовой задачи представляет перевод текста с естественного языка на математический, т.е. 1 этап математического моделирования. Чтобы облегчить эту процедуру, строят вспомогательные модели – схемы, таблицы и др. Тогда процесс решения задачи можно рассматривать как переход от одной модели к другой: от словесной модели реальной ситуации, представленной в задаче, к вспомогательной (схемы, таблицы, рисунки и т.д.); от нее – к математической, на которой и происходит решение задачи. Такой подход к процессу решения задачи разделяют и психологи. Они считают, что процесс решения задачи есть сложный процесс поиска системы моделей и определенной последовательности перехода от одного уровня моделирования к другому, более обобщенному, что решение задачи человеком есть процесс ее переформулирования. При этом используется такая операция мышления, как анализ через синтез, когда объект в процессе мышления включается во все новые связи и в силу этого выступает во все новых качествах. Главным средством переформулирования является моделирование.

Прием моделирования заключается в том, что для исследования какого-либо объекта (в нашем случае текстовой задачи) выбирают (или строят) другой объект, в каком-то отношении подобный тому, который исследуют. Построенный новый объект изучают, с его помощью решают исследовательские задачи, а затем результат переносят на первоначальный объект. Модели бывают разные, и поскольку в литературе нет единообразия в их названиях, уточним терминологию, которую будем использовать в дальнейшем.

Все модели можно разделить на схематизированные и знаковые по видам средств, используемых для построения.

Схематизированные модели, в свою очередь, делятся на вещественные и графические в зависимости от того, какое действие они обеспечивают.

Вещественные (или предметные) модели текстовых задач обеспечивают физическое действие с предметами. Они могут строиться из каких – либо предметов (пуговиц, спичек, бумажных полосок и т. д.), они могут быть представлены разного рада инсценировками сюжета задач. К этому виду моделей причисляют и мысленное воссоздание реальной ситуации, описанной в задаче, в виде представлений.

Графические модели используются, как правило, для обобщенного, схематического воссоздания ситуации задачи. К графическим следует отнести следующие виды моделей:

1. рисунок;

2. условный рисунок;

3. чертеж;

4. схематичный чертеж (или просто схема).

Разъясним суть этих моделей на примере задачи: «Лида нарисовала 4 домика, а Вова на 3 домика больше. Сколько домиков нарисовал Вова?»

Рисунок в качестве графической модели этой задачи имеет вид:

Л.

 

В.

 

?

Условный рисунок может быть таким, как на рисунке:

Л.

 

В.

 

?

Чертеж как графическая модель выполняется при помощи чертежных инструментов с соблюдением заданных отношений.

Л. 1д.

 

 

В.

?

 

Схематический чертеж (схема) может выполнятся от руки, на нем указываются все данные и искомые.

4 д.

Л.

3 д.

В.

 

?

Знаковые модели могут быть выполнены как на естественном, так и на математическом языке. К знаковым моделям, выполненным на естественном языке, можно отнести краткую запись задачи, таблицы. Например, краткая запись задачи о домиках Лиды и Вовы может быть такой:

Л. – 4 д.

В. -?, на 3 д. больше, чем

Таблица как вид знаковой модели используется главным образом тогда, когда в задаче имеется несколько взаимосвязанных величин, каждая из которых задана одним или несколькими значениями. Пример такой таблицы мы уже рассматривали.

Знаковыми моделями текстовых задач, выполненных на математическом языке, являются: выражение, уравнение, система уравнений, запись решения по действиям. Поскольку на этих моделях происходит решение задачи, их называют решающими моделями. Остальные модели, все схематизированные и знаковые, выполненные на естественном языке, - это вспомогательные модели, которые обеспечивают переход от текста задачи к математической модели.

Не следует думать, что всякая краткая запись или чертеж, выполненные для данной задачи, являются ее моделями. Так как модель – это своеобразная копия задачи, то на ней должны быть представлены все ее объекты, все отношения между ними, указаны требования. Для большинства текстовых задач приходится строить различные вспомогательные модели. С одной стороны, эти модели представляют собой результат анализа задачи, но с другой – построение таких моделей организует и направляет детальный и глубокий анализ задачи.

Рассмотрим процесс решения арифметическим методом текстовой задачи о пассажирах в двух вагонах.

Предварительный анализ задачи позволяет выделить ее объекты – это пассажиры в двух вагонах поезда. О них известно, что: 1) В первом вагоне в 2 раза больше пассажиров, чем во втором. 2) Из первого вагона вышли 3 пассажира. 3) Во второй вошли 7 пассажиров. 4) В первом и втором вагонах пассажиров стало поровну.

В задаче два требования: 1) Сколько пассажиров было первоначально в первом вагоне? 2) Сколько пассажиров было первоначально во втором вагоне?

Построим графическую модель данной задачи в виде схематического чертежа:

3 ч.

I

? 7 ч.

II

?

По схеме сразу видно, что математическая модель данной задачи имеет вид:

7+ 3 – это число пассажиров во втором вагоне, а (7 + 3) · 2 – это число пассажиров в первом вагоне.

Произведя вычисления, получаем ответ на вопрос задачи: во втором вагоне было 10 пассажиров, а в первом – 20 пассажиров.