Отношения равносильности между предложениями
Содержание книги
- Практическая работа. Разбиение множества на классы
- Свойства операции нахождения декартова произведения
- Понятие соответствия между множествами
- Взаимно однозначные соответствия
- Практическая работа. Соответствия между двумя множествами
- Числовые функции можно представлять наглядно на координатной плоскости.
- Прямая и обратная пропорциональности
- Тема 5. Отношения на множестве
- Чаще отношение R на множестве Х задают, указав характеристическое свойство всех пар элементов, находящихся в отношении R. Это свойство задается при помощи предложения с двумя переменными.
- Если отношение порядка обладает еще свойством связности, то говорят, что оно является отношением линейного порядка.
- Тема 6. Выражение. Уравнение. Неравенство
- Уравнения с одной переменной
- Неравенства с одной переменной
- Практическая работа. Уравнения и неравенства с одной переменной.
- Контрольная (зачетная) работа
- Отношение рода и вида между понятиями
- Практическая работа. Математические понятия
- Тема 8. Высказывания и высказывательные формы
- Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм
- Практическая работа. Высказывания и высказывательные формы
- Тема 8. 1. Высказывания с квантором. Отрицание высказываний и высказывательных форм
- Истинность высказываний с кванторами
- Отрицание высказываний и высказывательных форм
- Практическая работа. Высказывания с кванторами. Отрицание высказываний и высказывательных форм
- Отношения следования между предложениями
- Отношения равносильности между предложениями
- Практическая работа. Отношения следования и равносильности между предложениями
- Тема 8. 3. Структура теоремы. Виды теорем
- Практическая работа. Структура теоремы. Виды теорем
- Тема 9. Математическое доказательство
- Умозаключения, построенные по схеме
- Логическая структура математической задачи
- Закон достаточного основания и аксиоматический метод в математике
- Структура процесса решения текстовой задачи
- Методы и способы решения текстовых задач
- Моделирование в процессе решения текстовых задач
- Практическая работа. Текстовая задача и процесс ее решения
- Тема 11. Комбинаторные задачи и их решение
- Практическая работа. Комбинаторные задачи и их решение
- Из истории возникновения понятия натурального числа
- Об аксиоматическом способе построения теории
- Количественные натуральные числа. Счет
- Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше»
- Теоретико-множественный смысл разности
- Теоретико-множественный смысл произведения
- B — число подмножеств, то частное а : b - это число элементов в каждом подмножестве.
- Практическая работа. Теоретико–множественный смысл суммы, разности, произведения, частного и отношения «меньше»
- Язык для наименования, записи чисел и выполнения действий над ними называют системой счисления.
- Запись числа в десятичной системе счисления
- Практическая работа. Запись целых неотрицательных чисел
Рассмотрим две высказывательные формы А(х) - «число делится на 3» и В(х) - «сумма цифр в записи числа делится на 3». Из школьного курса математики известно, что если число делится на 3, то сумма цифр в записи этого числа разделится на 3, и наоборот. В этом случае говорят, что предложения А(х) и В(х) равносильны.
Определение. Предложения А(х) и В(х) равносильны, если из предложения А(х) следует предложение В(х), а из предложения В(х) следует предложение А (х).
Для обозначения отношения равносильности используется знак Û. Соединяя две высказывательные формы А(х) и В(х) таким знаком, мы получаем высказывание А(х) Û В(х), прочитать которое можно по-разному:
1) А(х) равносильно В(х).
2) А(х) тогда и только тогда, когда В(х).
3) А(х) - необходимое и достаточное условие для В(х).
4) В(х) - необходимое и достаточное условие для А(х).
Например, утверждение о том, что предложение «число делится на 3» и «сумма цифр в записи числа делится на 3» равносильны, можно сформулировать еще так:
- Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр вегозаписи делится на 3.
- Для того чтобы число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр в его записи делилась на 3.
Замечание. С теоретико-множественной точки зрения высказывание А(х) Û В(х) означает, что если ТА - множество истинности высказывательной формы А(х), а ТВ - множество истинности высказывательной формы В(х), то ТА = ТВ.
Задача 4. Доказать, что уравнения 3х (х - 2) = 0 и 3х(х - 2)(х + 3) = 0 равносильны на множестве целых неотрицательных чисел.
Решение. Множество решений первого уравнения –Т1= {0, 2}, множество решений второго, заданного на множестве целых неотрицательных чисел, Т2 = {0, 2}. Число -3 (см. задачу 3) множеству Т2, не принадлежит, потому что оно не является целым неотрицательным. Имеем, что Т1 = Т2, следовательно, данные уравнения на множестве целых неотрицательных чисел равносильны.
Заметим, что мы рассматриваем понятия логического следования и равносильности для одноместных высказывательных форм. Для предложений, содержащих две и более переменных, эти понятия определяются аналогично.
Отметим также, что знак Û использовался раньше, в частности, при рассмотрении логической структуру явных определений понятий. Было установлено, что ее можно представить в виде а Û в. Употребление знака Û здесь не случайно. Дело в том, что определение, как говорят в математике, порождает два равносильных предложения, которые затем используются наряду с другими в доказательствах. Например, определение «квадратом называется прямоугольник, имеющий равные соседние стороны» порождает равносильные предложения: «если прямоугольник является квадратом, то в нем соседние стороны равны» и «если в прямоугольнике соседние стороны равны, то прямоугольник является квадратом». Использовать в доказательствах можно любое из этих двух.
Знак Û также использовался в записи правил построения отрицания высказываний. Например,  Û  Ú  ;. В этом случае речь идет о равносильности высказываний определенной формы. При этом считают, что предложения равносильны, если они одновременно истинны, либо одновременно ложны. Другими словами, если их значения истинности совпадают при одинаковых наборах значений высказываний А и В.
|
