Понятие соответствия между множествами

В начальном курсе математики изучаются различные взаимосвязи между элементами одного, двух и более множеств. Поэтому учителю надо понимать их суть, что поможет ему обеспечить единство в методике этих взаимосвязей.

Рассмотрим примеры соответствий, изучаемых в начальном курсе математики.

Пример 1. а) (17 – 1): 4; б) (12 + 18): (6-6); в) 2´7 + 6. Пример 2. 1) 2+х =6; 2) х-7=4; 3) 2х=8.

В первом примере мы установили соответствие между заданными выражениями и их числовыми значениями. Во втором выяснили, какое число является решением уравнения.

Все эти соответствия имеют общее – во обоих случаях мы имеем два множества: в первом – это множество из трех числовых выражений и множество N натуральных чисел (ему принадлежат значения данных выражений); во втором – это множество из трех уравнений и множество Nнатуральных чисел.

Связь (соответствие) между этими множества можно представить наглядно, при помощи графов.

а· б· в·

·4   ·20

1· 2· 3·

·4   ·11

N 1 N2

 

 

Полученные множества показывают, что любое соответствие между двумя множествами Х и У можно рассматривать как множество упорядоченных пар, образованных из их элементов. А так как упорядоченные пары – это элементы декартова произведения, то приходим к следующему определению общего понятия соответствия.

Определение. Соответствием между множествами Х и У называется всякое подмножество декартова произведения этих множеств. Соответствия принято обозначать буквами R, P, F, T и др.

2. Способы задания соответствий

Поскольку соответствие – это подмножество, то его можно задать как любое множество, т.е. либо перечислив все пары элементов, находящихся в заданном соответствии, либо указав характеристическое свойство элементов этого подмножества.

Пример. Соответствие между множествами Х = {1, 2, 4, 6} и У = {3, 5} можно задать: 1) при помощи предложения с двумя переменными: а < в при условии, что а Î Х, в Î У; 2) перечислив пары чисел, принадлежащих подмножеству декартова произведения Х´У: {(1,3),(1,5),(2,3),(2,5),(4,5)}. К этому способу задания относят также задание соответствия при помощи графа и графика.

у

1·2·4·6··

·3     ·5

Х У

5 · · ·

 

3 · ·

 

1 2 4 х

Соответствие обратное данному

Пример. Пусть S – соответствие «больше на 2» между множествами Х = {4, 5, 8, 10} и У = {2, 3, 6}. Тогда S = {(4,2), (5,3), (8,6)} и его граф будет как на рисунке.

У

Х

4· 5· 8· 10·

·2 ·3 ·6

У

Х

4· 5· 8· 10·

·2 ·3 ·6

Соответствие обратное данному, - это соответствие «меньше на 2». Оно рассматривается между множествами У и Х, и чтобы его представить наглядно, достаточно на графе соответствия S направление стрелок поменять на противоположное (См. рисунок).

 

Условимся предложение «элемент х находится в соответствии S с элементом у» записывать кратко так: х S у.

Определение. Пусть S – соответствие между множествами Х и У. Соответствие S^-1 между множествами У и Х называется обратным данному, если у S^-1х тогда и только тогда, когда х S у. Соответствия S и S^-1 называют взаимно обратными.

Выясним особенности их графиков. Построим график соответствия S = {(4,2), (5,3), (8,6)}

у

 

6 ·

 

3 ·

2 ·

 

4 5 8 х

у

 

8 ·

 

 

5 ·

4 ·

 

2 3 6 х

При построении графика соответствия S^-1 = {(2,4), (3,5), (6,8)} мы должны первую компоненту выбирать из множества У = {2,3,6}, а вторую – из множества Х = {4, 5, 8, 10}. В результате график соответствия S^-1 совпадет с графиком соответствия S. Чтобы различать графики соответствий S и S^-1, условились первую компоненту пары соответствия S^-1 считать абсциссой, а вторую – ординатой. Например, если (5,3) Î S, то (3,5) Î S^-1. Точки с координатами (5,3) и (3,5), а в общем случае (х,у) и (у,х) симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов. Следовательно, графики взаимно обратных соответствий S и S^-1 симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

Чтобы построить график соответствия S^-1, достаточно изобразить на координатной плоскости точки, симметричные точкам графика S относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.