Операции над нечеткими множествами

1.Включение. Пусть A и B – нечеткие множества на универсальном множестве E. Говорят, что A содержится в B, если "x ÎE m_A(x) > m_B(x). Обозначение: A Ì B.

2. Равенство. A и B равны, если "xÎE m_A(x) = m_B(x). Обозначение: A = B.

3. Дополнение. Пусть M = [0, 1], A и B – нечеткие множества, заданные на E. A и B дополняют друг друга, если "xÎE m_A(x) = 1 – m_B(x). Обозначение: B = или A = . Очевидно, что .

4.Пересечение. A Ç B – наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в A и B;

m _{A Ç B} (x) = min{m_A(x), m_B(x)}.

5.Объединение. А È В – наименьшее нечеткое подмножество, включающее как А, так и В, с функцией принадлежности

m _{AÈ B} (x) = max {(m_A(x), m_B(x)}.

6. Разность. А \ B= А Ç с функцией принадлежности:

m_A\B(x) = min { m_A(x), 1 – m_B(x)}.

Например, пусть: A = 0,4/ x₁ È 0,2/ x₂ È 0/ x₃ È 1/ x₄;

B = 0,7/ x₁ È 0,9/ x₂ È 0,1/ x₃ È1/ x₄;
C = 0,1/ x₁ È 1/ x₂ È 0,2/ x₃ È 0,9/ x₄.

Здесь:

1. A Ì B, т.е. A содержится в B, С несравнимо ни с A, ни с B.

2. A ¹ B ¹ C.

3. = 0,6/ x₁ È 0,8/ x₂ È 1/ x₃ È 0/ x₄;
= 0,3/ x₁ È 0,1/ x₂ È 0,9/ x₃ È 0/ x₄.

Для нечетких множеств можно строить визуальное представление. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются значения m_A(x), на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы E. Если E по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс. Такое представление делает наглядными простые операции над нечеткими множествами.

Рис. 1. Рис. 2

 

Рис. 3. Рис. 4.

На рис. 1 темная часть соответствует нечеткому множеству A. На Рис. 2 – 4 даны , A Ç , AÈ , соответственно.

Свойства операций. Пусть А, В, С – нечеткие множества, тогда выполняются следующие соотношения:

а) – коммутативность;

б) – ассоциативность;

в) – идемпотентность;

г) – дистрибутивность;

д) AÈÆ = A, где Æ – пустое множество, т.е. m_Æ(x) = 0"xÎE;

AÇÆ = Æ;

AÇE = A, где E – универсальное множество;

AÈE = E;

е) – теоремы де Моргана.

В отличие от четких множеств, для нечетких множеств в общем случае AÇ ≠ Æ, AÈ ¹ E, что, в частности, проиллюстрировано выше в примере наглядного представления нечетких множеств.

 

Тема 4. Бинарные отношения

Бинарные отношения и операции над ними

Def. Пусть А₁, А₂,..., А_n – некоторые множества. Их прямым или декартовым произведением называется множество упорядоченных наборов из n элементов, т.е.

А₁´А₂´... ´А_n = {(а₁, а₂,..., а_n) | a_iÎA_i }.

Если все множества A_i совпадают A = А₁ = А₂ =... = А_n, то прямое произведение А₁´А₂´... ´А_n = Aⁿ называют прямой n-ой степенью множества А.

Отношением (n-арным отношением) между элементами множеств А₁, А₂,..., А_n называется любое подмножество R Í А₁´А₂´... ´А_n.

Бинарным отношением между элементами множеств А и В называется любое подмножество R Í A´B. Если множества A и B совпадают А = В, то R называют бинарным отношением на множестве А.

Если (x, y)ÎR, то это обозначают еще xRy и говорят, что между элементами x и y установлено бинарное отношение R.

Примеры бинарных отношений

Пусть A = B = R, пара (x, y) является точкой вещественной плоскости. Тогда бинарное отношение

R_А = { (x, y) | x² + y² £ 1 }

определяет замкнутый круг единичного радиуса с центром в точке (0, 0) на плоскости, отношение

R_Б = { (x, y) | x ³ y }

полуплоскость, а отношение

R_В= { (x, y) | |x – y| £ 2 }

полосу.

Диагональ множества A´A, т.е. множество D={(x,x) | xÎA}, называется единичным бинарным отношением или отношением равенства в A.

Областью определения бинарного отношения R называется множество d_R = { xÎA | $ yÎB, (x, y) ÎR }– множество первых элементов пар (x, y).

Областью значений бинарного отношения R называется множество r_R = { yÎB | $ xÎA, (x, y)ÎR }– множество вторых элементов пар (x, y).

Как для любых множеств, для бинарных отношений можно определить понятия нестрогого и строгого включения и равенства. Так, например, R₁ содержится в R₂ (R₁ Í R₂), если любая пара (x, y), которая принадлежит отношению R₁ а также принадлежит и отношению R₂. Например, R_А Í R_В, т.к. все точки (x, y), принадлежащие кругу R_А принадлежат также полосе R_в.

Операции над бинарными отношениями определяются подобно операциям над соответствующими множествами. Пусть А – произвольное множество на котором введены бинарные отношения R, R₁, R₂,...

1) Объединение двух бинарных отношений R₁ и R₂ – это отношение

R₁ È R₂ = { (x, y) | (x, y)ÎR₁ или (x, y)ÎR₂ }.

2) Пересечение двух бинарных отношений R₁ и R₂ – это отношение

R₁ Ç R₂ = { (x, y) | (x, y)ÎR₁ и (x, y)ÎR₂ }.

3) Обратное отношение R ^–1 = { (x, y) | (y, x)ÎR}.

4) Дополнение к отношению ={ (x, y) | (x, y)Î(A´A) \ R}.

5) Двойственное отношение R^d = .

6) Композиция (суперпозиция) отношений R = R₁oR₂ содержит пару (x, y) тогда и только тогда, когда существует такое zÎA, что (x, z)ÎR₁ и (z, y)ÎR₂.