Свойства операций над отношениями

Приведем здесь список основных свойств операций над отношениями и докажем некоторые из них.

1) 2)

3) (R₁ o R₂) ^–1 = R₁ ^–1o R₂ ^–1. 4) (R₁ o R₂ ) o R₃ = R₁ o (R₂ o R₃).

5) (R₁ È R₂ ) o R₃ = (R₁ o R₃ ) È (R₂ o R₃ ).

6) (R₁ Ç R₂ ) o R₃ Í (R₁ o R₃ ) Ç (R₂ o R₃ ).

7) а) если R₁ Í R₂ то R₁ o R₃ Í R₂ o R₃;

б) если R₁ Í R₂ то R₃ o R₁ Í R₃ o R₂;

в) если R₁ Í R₂ то R₁^–1Í R₂^–1.

8) a) (R₁È R₂)^d = R₁^d Ç R₂^d; б) (R₁Ç R₂)^d = R₁^d È R₂^d; в) (R^d)^d = R.

Доказательства

Свойство 2.

Пусть пара (x, y)Î(È R_k) ^–1. Тогда (y, x)ÎÈ R_k. Это означает, что найдется отношение R_j, что (y, x)Î R_j. Отсюда, по определению обратного отношения, (x, y)ÎR_j^–1, а значит, (x, y)ÎÈR_k^–1и (ÈR_k)^–1 Í È R_k^–1.

Докажем обратное включение. Пусть (x,y)Î R_k^–1 Это означает, что найдется такое множество R_j, что (x,y)ÎR_j^–1. Следовательно, (y, x)ÎR_j и (y, x)Î ÈR_k, поэтому (x, y)Î(È R_k)^–1. Значит, È R_k^–1 Í (ÈR_k)^–1.

Одновременное выполнение обоих включений означает равенство множеств, что и требовалось доказать.

Свойство 6.

Пусть (x, y)Î(R₁ Ç R₂) o R₃. По определению композиции это означает, что найдется такое zÎA, что (x, z)Î(R₁ Ç R₂) и (z, y)ÎR₃. Первое включение возможно только тогда, когда одновременно выполнено (x, z)ÎR₁ и (x, z)ÎR₂. Это, в свою очередь, означает, с учетом (z, y)ÎR₃, что одновременно (x, y)Î R₁ o R₃ и (x, y)ÎR₂ o R₃, а, следовательно, (x, y)Î(R₁ o R₃) Ç (R₂ o R₃), что и доказывает требуемое соотношение.

Замечание. Покажем, почему неверно обратное включение. Пусть (x, y) Î(R₁ o R₃) Ç (R₂ o R₃), тогда (x, y) Î(R₁ o R₃) и (x, y) Î(R₂ o R₃). Первое включение означает существование такого элемента z₁ из A, что (x, z₁)ÎR₁ и (z₁, y) ÎR₃; второе – существование такого z₂ÎA, что (x, z₂)ÎR₂ и (z₂, y)ÎR₃, причем необязательно z₁ = z₂. Значит, не всегда существует такой элемент z, что (x, z)ÎR₁ и (x, z)ÎR₂, а, следовательно, не будет принадлежности пересечению R₁ и R₂.

Свойство 7в.

Возьмём любую пару (x, y)ÎR₁, что эквивалентно (y, х)ÎR₁^–1. Пусть теперь R₁ Í R₂, т.е. из (x, y)ÎR₁ следует (x, y)ÎR₂. Перейдя к обратным отношениям, получим, что из (y, х)ÎR₁^–1 вытекает (y, х)ÎR₂^–1, что и означает требуемое свойство.

Свойство 8а).

Докажем предварительно равенство = .

Пусть (x, y)Î . Следовательно, (y, x) Î`R или, другими словами, (y, x)ÏR. Отсюда, (x, y)Ï R<sup>–1</sup>, что означает (x, y)Î . Если же (x, y) Î , то (x, y) ÏR<sup>–1</sup> и (y, x)ÏR. Тогда (y, x)Î`R или, что то же самое, (x,y)Î(`R)^–1.

Для доказательства свойства 8а) воспользуемся доказанным равенством и известными свойствами операций над множествами и отношениями.

 

(R₁ È R₂)^d = = =

= (`R<sub>1</sub> Ç`R₂)^–1 =`R₁^–1 Ç R₂^–1 = R₁^d Ç R₂^d.

3. Способы задания отношений

Традиционное задание отношений аналогично тому, как это принято в теории множеств, что не всегда удобно. Поэтому, наряду с таким заданием, применяются другие способы.

1. Матричное задание. Оно используется когда А – конечное или счетное множество А = {x_i}. Тогда бинарное отношение R можно задавать с помощью матрицы R = {x_ij}, элементы которой определяются соотношением:

2. Табличное задание. Этим способом можно задавать произвольное n-арное отношение. Он используется, когда А_i – конечные или счетные множества А_i = {x_ij}. Строки таблицы соответствуют различным n-мерным элементам отношения, столбцы – наборам элементов из множеств А_i.

3. Задание с помощью графа. Для конечного или счетного множества А бинарное отношение можно задавать с помощью графа Г(R), который является геометрическим образом бинарного отношения. Граф – фигура состоящая из точек (вершин) соединенных линиями (дугами). Вершины графа соответствуют элементам множества А, то есть x_i, а наличие дуги, соединяющей вершины x_i и x_j, означает, что (x_i, x_j)ÎR. Чтобы подчеркнуть упорядоченность пары на дуге ставится стрелка.

Основные свойства графа.

1) Г(R^–1) получается из Г(R) изменением направления стрелок на противоположные.

2) Граф Г(А´А) содержит дуги, соединяющие любую пару (x_i, x_j). Такой граф называется полным.

4. Задание верхними и нижними срезами. Этот способ может быть использован для любых множеств и бинарных отношений. Пусть на множестве А задано отношение R. Верхний срез G_R(x) отношения R в точке x ÎА – это множество элементов yÎА таких, что (y, x)ÎR, т.е.

G_R(x) = { yÎA | (y, x)ÎR }.

Если рассматривать R как отношение предпочтения, то G_R (x) – это множество элементов, лучших, чем х.

Нижний срез H_R(x) отношения R в точке xÎА – это множество элементов yÎА, таких, что (x, y)ÎR, т.е.

H_R(x) = { yÎA | (x, y)ÎR }.

Свойства нижних и верхних срезов. Для любого хÎA и любого отношения R_i Í A´A выполняются соотношения.

1. а) G_RÇR(x) = G_R(x) Ç G_R(x); б) H_RÇR(x) = H_R(x) Ç H_R(x)

2. a) G_{`R</sub>(x) = A \ G<sub>R</sub>(x); б) H<sub>`R}(x) = A \ H_R(x).

3. a) G_R^–1(x) = H_R(x); б) H_R^–1(x) = H_R(x).

4. G_A´A(x) = H_A´A(x) = A.