Практическая работа. Соответствия между двумя множествами

Цель. Показать практическую значимость в начальной математике понятий соответствия, способов задания соответствий; познакомится с новыми понятиями: соответствие, обратное данному, взаимно однозначное соответствие, равномощные множества, счетное множество.

Теоретическая часть

Вопросы к изучению

1. Понятие соответствия между множествами.

2. Способы задания соответствий.

3. Соответствие обратное данному. Взаимно однозначное соответствие.

4. Равномощные множества. Счетные множества.

Основные понятия темы

Ø соответствие, обратное данному;

Ø взаимно однозначное соответствие;

Ø равномощные множества;

Ø счетное множество.

Определения, замечания, выводы

Ø Любое соответствие S между множествами Х и Y есть подмножество декартова произведения этих множеств, т.е. S Ì Х ´ Y.

Ø Задают соответствия так же, как и множества вообще.

Ø Графики взаимно обратных соответствий между числовыми множествами симметричны относительно биссектрисы 1– о и 3–го координатных углов.

Практическая часть

Обязательные задания

1. Вычислив длины заданных отрезков, учащийся записал: АВ = 7см, СD = 12 см, KL = 15cм, XY= 12см. Соответствие между какими множествами он установил? Задайте это соответствие при помощи предложения с двумя переменными и графа.

2. Даны множества: Х = {2,5}, Y = {3,6}. Перечислите элементы декартова произведения данных множеств и образуйте все подмножества полученного множества. Какое из подмножеств задает соответствие: а) «больше»; б) «меньше»; в) «меньше на 1»; г) «меньше в 3 раза»?

3. Соответствие «число х в два раза больше числа у» рассматривается между множествами Х и Y. Каким будет его график, если: а) Х = {2,4,6,8}, Y = N; б) Х = [2,8], Y = R; в) Х = Y = R.

4. Множества Х = {1,3,4,6} и Y = {0,1} находятся в соответствии S = {(1,1), (3,0), (3,1), (4,0), (4,1), (6,1)}. Задайте соответствие S^-1, обратное соответствию S, и постройте на одном чертеже их графики.

5. Между множествам Х – углов треугольника АВС и множеством Y – его сторон задано соответствие Т – «угол х лежит против стороны у». Задайте соответствие Т^-1, обратное соответствию Т, при помощи: а) предложения с двумя переменными; б) графа.

6. Задайте при помощи графа соответствия между множествами Х = {а, б, с} и Y = {2, 4, 6} так, чтобы одно из них было взаимно однозначным.

7. Даны множества: А= {1,2,5}, В = {3,7}. Найдите А´B и В´А. Верно ли, что найденные множества равномощны?

8. Докажите, что множество А счетно, если: а) А = {9, 10, 11, 12,…}; б) А = {а êа = 3п, п ÎN}; в) А = {а êа = п², п ÎN}.

10. Покажите, что выполняя нижеприведенные задания, учащиеся начальных классов используют понятие равночисленности множеств: а) У Димы было 28 марок, а у Коли на 7 марок больше. Сколько марок было у Коли? б) У Маши 9 игрушек, а у Риты на 2 меньше. Сколько игрушек у Риты? в) Для детского сада купили 4 зеленых мяча, а красных в 3 раза больше, чем зеленых. Сколько красных мячей купили детям? г) Для детского сада купили 15 красных мячей, а зеленых в 3 раза меньше. Сколько зеленых мячей купили детям? д) Нарисуй на другой фигуре столько же точек, сколько на первой (точки не пересчитывать).

е) Нарисуй, не считая, столько же квадратов и столько же отрезков, сколько на рисунке треугольников.

Творческие задания

1. Сколько взаиМно однозначных соответствий можно установить между двумя множествами. Состоящими из двух элементов? Из трех элементов?

2. Установите взаимно однозначное соответствие между множеством N и множеством N \ R; где Р – множество натуральных чисел от 1 до п.

3. Является ли множество всех целых чисел счетным?

ТЕМА 4. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ

Содержание

1. Понятие «функция». Способы задания функций.

2. Прямая и обратные пропорциональности.

Основная литература [1, 2, 7, 10, 11, 16, 23, 33, 34];

Дополнительная литература [10, 13, 14, 17, 18, 20, 50, 82, 86, 87]

1. Понятие функции. Способы задания функций

Выполним два задания для младших школьников.

1) Увеличь каждое нечетное однозначное число в 2 раза.

2) Заполни таблицу.

Уменьшаемое
Вычитаемое
Разность

С какими математическими понятиями мы имеем дело, выполняя эти задания?

Прежде всего, в каждом задании есть два числовых множества, между которыми устанавливается соответствие. В первом - это множества {1, 3, 5, 7} и {2, 6, 10, 14}, а во втором - это множество значений вычитаемого {0, 1, 2, 3, 4, 5} и множество значений разности {5, 4, 3, 2, 1,0}. В чем сходство устанавливаемых между этими множествами соответствий? И в первом, и во втором задании каждому числу из первого множества сопоставляется единственное число из второго. В математике такие соответствия называют функциями. В общем виде понятие числовой функции определяют так:

Определение. Числовой функцией называется такое соответствие между числовым множеством Х и множеством R действи­тельных чисел, при котором каждому числу из множества Х со­поставляется единственное число из множества R.

Множество Х называют областью определения функции.

Функции принято обозначать буквами f, g, h и др. Если f - функция, заданная на множестве X, то действительное число у, соответствующее числу х из множества X, часто обозначают f (х) и пишут у = f (х). Переменную х при этом называют аргументом (или независимой пе­ременной) функции f. Множество чисел вида f (х) для всех х из множе­ства Х называют областью значений функции f.

В рассмотренном выше первом примере функция задана на множестве Х = {1, 3, 5, 7} - это ее область определения. А область значений этой функции есть множество {2, 6, 10, 14}.

Из определения функции вытекает, что для задания функции необходимо указать, во-первых, числовое множество X, т.е. область определения функции, и, во-вторых, правило, по которому каждому числу из множества Х соответствует единственное действительное число.

Часто функции задают с помощью формул, указывающих, как по данному значению аргумента найти соответствующее значение функ­ции.

Например, формулы у = 2х - 3, у = х², у = 3х, где х - действительное число, задают функции, поскольку каждому действительному значению х можно, производя указанные в формуле действия, поста­вить в соответствие единственное значение у.

Заметим, что с помощью одной и той же формулы можно задать как угодно много функций, которые будут отличаться друг от друга областью определения.

Например, функция у = 2х - 3, где х Î R, отлична от функции у = 2х - 3, где х Î N. Действительно, при х = -5 значение первой функции равно -13, а значение второй при х = -5 не определено.

Часто при задании функции с помощью формулы ее область определения не указывается. В таких случаях считают, что областью опреде­ления функции является область определения выражения f (х).

Например, если функция задана формулой у = 2х - 3, то ее областью определения считают множество R действительных чисел.

Если функция задана формулой , то ее область определения - есть множество R действительных чисел, исключая число 2 (если х = 2, то знаменатель данной дроби обращается в нуль).