Практическая работа. Высказывания с кванторами. Отрицание высказываний и высказывательных форм

Цель. Рассмотреть правила определения значения истинности составного высказывания и высказывательных форм с кванторами.

Теоретическая часть

Вопросы к изучению

1. Высказывания с кванторами.

2. Истинность высказываний с кванторами.

3. Отрицание высказываний и высказывательных форм.

Основные понятия темы

Ø квантор общности;

Ø квантор существования;

Ø отрицание высказываний и высказывательных форм.

Правила

Ø нахождения множества истинности составных высказывательных форм:

Т _{А Ù В} = Т_А Ç Т _В, Т _{А Ú В} = Т_А È Т _В, построения отрицания предложений различной структуры, в частности,

и Ú Û Ù .

Û ($ х) ; Û (" х) .

Обозначения

" х – «для всякого х», квантор общности;

$ х - «существует х такое, что …», квантор существования;

- «не А», «неверно, что А», отрицание данного предложения

Практическая часть

Обязательные задания

1. В высказывании «всякий прямоугольник является четырехугольником» выделите квантор и высказывательную форму. Переформулируйте данное высказывание, заменив слово «всякий» его синонимом.

2. В высказывании «хотя бы одно из чисел первого десятка составное» выделите квантор и высказывательную форму. Переформулируйте данное высказывание, заменив квантор «хотя бы одно» его синонимом.

3. Прочитайте следующие записи, заменив символические обозначения кванторов общности и существования их словесными выражениями: а) ("х ÎR) х² – 1 = (х+1) (х-1); б) ($ у Î R) 5 + у =5; в) ("у ÎR) у + 3 > 0; г) ($ х Î N) х +3 < 0.

4. Запишите следующие предложения, используя символические обозначения кванторов: а) Существует такое натуральное число х, что х + 5 = 9; б) Каково бы ни было число х, х + 0 = х; в) Уравнение ах² + вх +с = 0 имеет хотя бы один корень.

5. Запишите, используя символы, следующие высказывания и определите их значение истинности: а) Всякое число, умноженное на нуль, есть нуль; б) Произведение любого числа и единицы равно этому числу; в) При делении нуля на любое другое число получается нуль; г) Квадрат любого числа неотрицателен.

6. Установите, какие из нижеприведенных высказываний истинны, а какие ложны: а) Во всяком четырехугольнике диагонали равны; б) Существуют числовые выражения, значения которых нельзя найти; в) При делении на 5 некоторых натуральных чисел в остатке получается 7; г) Любое однозначное число является решением неравенства х + 2 > 1.

7. Докажите или опровергните следующие высказывания: а) Существуют уравнения, множество решений которых пусто; б) Всякое целое число является натуральным; в) Сумма любых двух четных чисел есть число четное; г) Хотя бы одно натуральное число является решением уравнения 7: х =2.

8. Данные ниже высказывания взяты из учебников математики для начальных классов. Выясните, какие из них содержат (в явном или неявном виде) квантор и как следует устанавливать их значение истинности (указать только способ и обосновать его выбор): а) От перестановки слагаемых сумма не изменяется; б) Два соседних слагаемых можно заменять их суммой; в) Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину; г) Существуют четные числа; д) Некоторые числа делятся на 4; е) Среди многоугольников есть треугольники.

9. Сформулируйте отрицания следующих предложений: а) Число 123 делится на 9; б) При делении числа 32 на 5 в остатке получится 7; в) 3+2< 4; г) Треугольник АВС – прямоугольный.

10. Сформулируйте, используя законы де Моргана, отрицания следующих утверждений: а) Четырехугольник АВСД – прямоугольник или параллелограмм; б) Число 12 – четное и делится на 3.

11. Определите, являются данные предложения отрицаниями друг друга, или нет; объясните – почему: а) Число 12 – четное. Число 12 – нечетное; б) Все простые числа нечетны. Все простые числа четны; в) Все простые числа нечетны. Существуют четные простые числа; г) Некоторые углы острые. Некоторые углы тупые.

12. Переформулируйте данные предложения так, чтобы они не содержали слов «неверно, что», но имели тот же смысл: а) Неверно, что число 9 – четное или простое; б) Неверно, что треугольник АВС – равнобедренный и прямоугольный; в) Неверно, что каждый четырехугольник является прямоугольником; г) Неверно, что хотя бы в одном прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.

13. Сформулируйте предложения, которые начинаются словами «неверно, что» и имеют тот же смысл, что и данные: а) Прямые АВ и СД не параллельны и не пересекаются; б) Стороны четырехугольника АВСД не параллельны или не равны; в) Существуют уравнения, не имеющие действительных корней; г) Все прямоугольники не имеют равных смежных сторон.

14. Постройте отрицания следующих высказываний и выясните, что истинно – данное высказывание или его отрицание: а) Произведение чисел 4070 и 8 меньше, чем сумма чисел 18396 и 14174; б) Частное чисел 25842 и 6 меньше разности чисел 14150 и 9833; в) Среди различных прямоугольников есть такие, площади которых равны; г) Среди чисел есть такие, которые делятся на 5 и на 7; д) Существуют числовые выражения, значения которых нельзя найти.

Творческие задания

1. Какие из нижеприведенных предложений являются отрицанием высказывания «Все натуральные числа кратны 5»; свой выбор обоснуйте: а) Все натуральные числа не кратны 5; б) Существуют натуральные числа, не кратные 5; в) Существуют натуральные числа, кратные 5; г) Неверно, что все натуральные числа кратны 5; д) Не все натуральные числа кратны 5.

2. Постройте двумя способами отрицание высказывания: а) Всякое свойство квадрата присуще прямоугольнику; б) Некоторые простые числа являются четными.

3. Известно, что объект Х обладает свойствами a, b, d. Что означает отрицание этого высказывания?

4. Постройте отрицания следующих высказываний: а) существует натуральное число, не делящиеся на 2; б) для любого натурального числа а найдется такое натуральное число, на которое не делится а; в) для любых двух натуральных чисел а, в справедливо одно и только одно из отношений а >в, в > а; г) существуют две непараллельные прямые; д) у всех прямоугольников все углы прямые; е) ни для какого натурального числа а не найдется натуральное число в такое, что а + в < а.