Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных формСодержание книги
Поиск на нашем сайте
В математике рассматривают не только конъюнкцию и дизъюнкцию высказываний, но и выполняют соответствующие операции над высказывательными формами. Конъюнкцию одноместных высказывательных форм А(х) и В(х), заданных на множестве Х, обозначают А(х) Ù В(х). С появлением этого предложения возникает вопрос, как найти его множество истинности, зная множества истинности высказывательных форм А(х) и В (х). Другими словами, при каких значениях х из области определения Х высказывательная форма А(х)ÙВ(х) обращается в истинное высказывание? Очевидно, что это возможно при тех и только тех значениях х, при которых обращаются в истинное высказывание обе высказывательные формы А(х) и В(х). Если обозначить ТА – множество истинности предложения А(х), ТВ – множество истинности предложения В(х), а множество истинности их конъюнкции ТАÙВ, то, по всей видимости, ТАÙВ = ТА Ç В. Докажем это равенство. 1. Пусть а - произвольный элемент множества Х и известно, что аÎТАÙВ. По определению множества истинности это означает, что высказывательная форма А(х)ÙВ(х) обращается в истинное высказывание при х = а, т.е. высказывание А(х)ÙВ(х) истинно. Так как данное высказывание конъюнкция, то, по определению конъюнкции, получаем, что каждое из высказываний А(а) и В(а) также истинно. Это означает, что аÎТА и аÎТВ. Следовательно, по определению пересечения множеств, аÎТАÇ ТВ. Таким образом, мы показали, что ТАÙВ Ì ТАÇ ТВ. 2. Докажем обратное утверждение. Пусть а – произвольный элемент множества Х и известно, что а ÎТА Ç ТВ. По определению пересечения множеств это означает, что аÎТА и аÎТВ, откуда получаем, что А(х) и В(х) – истинные высказывания, поэтому конъюнкция высказываний А(х)ÙВ(х) также будет истинна. А это означает, что элемент а принадлежит множеству истинности высказывательной формы А(х)ÙВ(х), т.е. аÎ ТАÙВ. Таким образом, мы доказали, что ТА Ç ТВ Ì ТАÙВ. Из 1 и 2 в силу определения равных множеств вытекает справедливость равенства ТАÙВ = ТА Ç ТВ, что и требовалось доказать. Заметим, что полученное правило справедливо и для высказывательных форм, содержащих более одной переменной. Приведем примериспользования этого правила. Найдем множество истинности конъюнкции двух неравенств 2х > 10 и 4+х<12, т.е. множество истинности предложения 2х >10 Ù 4+х<12. Пусть Т1 – множество решений неравенства 2х > 10, а Т2 – множество решений неравенства 4+х<12. Тогда Т1= (5,+¥), Т2 = (-¥, 8). Чтобы найти те значения х, при которых истинны оба неравенства, надо найти пересечение их множеств решений: Т1ÇТ2 = (5,8). Видим, что выполнение этого задания свелось к решению системы неравенств. Замечание. Вообще с точки зрения логики любая система неравенств есть конъюнкция неравенств, так же как и система уравнений есть конъюнкция уравнений. Дизъюнкцию одноместных высказывательных форм А(х) и В(х), заданных на множестве Х, обозначают А(х)Ú В(х). Это предложение будет обращаться в истинное высказывание при тех и только тех значениях х из области определения Х, при которых обращается в истинное высказывание хотя бы одна из высказывательных форм, т.е. ТАÚВ = ТАÈТВ. Доказательство этого равенства проводится аналогично рассмотренному выше. Приведем пример использования этого правила. Решим, например, уравнение (х-2)×(х+5) = 0. Известно, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это означает, что данное уравнение равносильно дизъюнкции: х-2=0 Ú х+5=0 и поэтому множество его решений может быть найдено как объединение множеств решений первого и второго уравнений, т.е. {2}È{5}={-5; 2}. Заметим, что дизъюнкцию уравнений (неравенств) называют также совокупностью.Решить совокупность уравнений (неравенств) – это значит найти те значения переменных, при которых истинно хотя бы одно из уравнений (неравенств), входящих в нее. Рассматривая конъюнкцию и дизъюнкцию высказывательных форм, мы установили их тесную связь с пересечением и объединением множеств. С другой стороны, характеристические свойства элементов пересечения и объединения множеств А и В представляют собой соответственно конъюнкцию и дизъюнкцию характеристических свойств данных множеств: А Ç B = {х½хÎA Ù хÎB}, А È B = {х½хÎA Ú хÎB}, причем каждое свойство представляет собой высказывательную форму.
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-28; просмотров: 1272; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.118.19.89 (0.008 с.) |