Понятие высказывания. Понятие операции

Основным объектом, изучаемым математической логикой является высказывание.

Высказывание – любое предложение, относительно которого известно, является оно истинным (И) или ложным (Л).

 

Примеры

1. "Наталья – мужское имя" – ложное высказывание.

2. "Сопротивление и ёмкость – параметры электрических цепей" – истинное высказывание.

3. "Среднее расстояние от Земли до Солнца составляет 150 000 000 км." – можно рассматривать как истинное или ложное высказывание в зависимости от величины допустимых погрешностей.

4. "Соблюдайте технику безопасности" – не является высказыванием.

 

Математическая логика не изучает содержание высказываний. Для нее существенна лишь их истинность или ложность.

В данном курсе рассматривается двузначная логика, которая имеет дело с объектами, принимающими одно из двух возможных состояний – истина или ложь, высокое или низкое напряжение, наличие или отсутствие некоторого признака у объекта и т.д.

Объекты, которые могут принимать значения из конечного множества, содержащего более двух элементов, называются многозначными. Такие объекты либо сводятся некоторым образом к двузначным, либо обслуживаются аппаратом многозначной логики. В данном курсе рассматривается двузначная логика, которая широко применяется при разработке компьютеров, контроллеров и других технических устройств.

Объекты с двумя возможными состояниями (в том числе и высказывания) характеризуются булевыми переменными, которые способны принимать лишь два различных значения. Для обозначения этих значений используют цифры 0 и 1 или буквы Л (ложь) и И (истина).

Отношения между булевыми переменными представляются булевыми функциями, которые (подобно числовым функциям) могут зависеть от одного, двух и более аргументов. Далее будем обозначать аргументы буквами x_i (i =1,2,…), а булевы функции буквами y_j (j =1,2,…). Булевы функции можно рассматривать как логические операции.

Исходные, первоначальные высказывания, относительно которых заранее известна их истинность или ложность, называются простыми высказываниями.

Выполняя над простыми высказываниями те или иные действия (в терминах математической логики – операции), можно образовывать сложные высказывания. Их истинность или ложность можно установить, опираясь на сведения о простых высказываниях. В разговорном языке операциям над высказываниями соответствуют логические связки "если …, то …", "… и …", "… или …", "не …" и др.

 

Примеры

1. " a < b ", " b < c ", " a < c " – простые высказывания; " Если a < b и b < c, то a < c " – сложное высказывание (подчеркнуты логические связки).

2. "Напряжение в сети 220 В", "частота 50 Гц" – простые высказывания; "напряжение в сети 220 В и частота 50 Гц" – сложное высказывание.

3. " Если начальная скорость равна нулю и ускорение а – постоянная величина, то пройденный за время t путь S вычисляется по формуле S = at ²/2" – сложное высказывание. Выделим простые высказывания, составляющие данное сложное высказывание: "начальная скорость равна нулю", "ускорение а – постоянная величина", "пройденный за время t путь S вычисляется по формуле S = at ²/2".

 

Вопросы и задания

2.1. Как определить, является ли предложение высказыванием?

2.2. Сформулируйте самостоятельно примеры истинных и ложных высказываний, а также предложений, не являющихся высказываниями.

2.3. Приведите примеры сложных высказываний. Выделите в каждом из них простые высказывания.

Основные логические операции

Инверсия (отрицание)

Простейшей логической операцией является инверсия. Операция инверсии соответствует частице "не", обозначается символами "¯" или "". Отрицанием истинного высказывания является ложное высказывание, а отрицанием ложного – истинное.

Отрицание определяется таблицей соответствия (табл.3.1).

 

Таблица 3.1
х

 

Пример

Высказывание х: "Все насекомые имеют крылья". Инверсией высказывания х является следующее высказывание : "Некоторые насекомые не имеют крыльев". Если высказывание х истинно, то высказывание ложно. Если х ложно, то истинно.

 

Очевидное свойство отрицания:

 

Вопросы и задания

3.1. Какое из следующих высказываний является отрицанием для высказывания "Некоторые люди были в космосе":

а) "Некоторые люди не были в космосе";

б) "Все люди были в космосе";

в) "Ни один человек не был в космосе".

Проверьте правильность ответа по таблице соответствия, принимая исходное высказывание:

1) за истинное

2) за ложное.

3.2. Сформулируйте отрицание для высказывания "Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов".

3.3. Сформулируйте отрицание для высказывания "Вратарь отбивает один из трех одиннадцатиметровых штрафных ударов".