Конъюнкция (логическое умножение)

Операция конъюнкции соответствует союзу "и", обозначается символами " " или "&". По определению истинно тогда и только тогда, когда и x ₁ и x ₂ являются истинными. По своему смыслу операция конъюнкции близка к умножению, что хорошо видно в таблице соответствия (табл.3.2). Поэтому конъюнкцию для краткости часто обозначают так же, как и обычное произведение: х ₁ х ₂.

 

Таблица 3.2
x1	x2	х 1 х 2

Пример

Высказывание х ₁ – "В течение 10 минут на остановку подъедет автобус 1-го маршрута". Высказывание х ₂ – "В течение 10 минут на остановку подъедет автобус 2-го маршрута". Для того, чтобы сложное высказывание х ₁ х ₂ было истинным, должно быть истинным каждое из простых высказываний х ₁ и х ₂. Таким образом, конъюнкция двух исходных высказываний : "В течение 10 минут на остановку подъедут автобусы и 1-го и 2-го маршрутов".

Вопросы и задания

3.4. Представьте высказывание "3 и 5 – простые числа" в виде конъюнкции двух высказываний.

3.5. В экзаменационном билете пять вопросов. Правильный ответ на каждый вопрос дает один балл. Сформулируйте простые высказывания, описывающие правильность ответа на вопрос. Составьте из них сложное высказывание, описывающее условие получения оценки пять.

3.6. Приведите пример теоремы, в условии которой содержится конъюнкция.

Дизъюнкция (логическое сложение)

Операция дизъюнкции соответствует союзу "или", обозначается символами " " или "+". По определению истинно, когда хотя бы один из аргументов x ₁ и x ₂ является истинным (табл.3.3).

 

Таблица 3.3
х1	х2

Пример

Высказывание х ₁: "В течение 10 минут на остановку подъедет автобус 1-го маршрута". Высказывание х ₂: "В течение 10 минут на остановку подъедет автобус 2-го маршрута". Дизъюнкция этих двух высказываний : "В течение 10 минут на остановку подъедет автобус 1-го или 2-го маршрута".

 

Вопросы и задания

3.7. Составьте схему электрической цепи, состоящей из идеального источника напряжения Е и сопротивления R. Сформулируйте несколько способов образования новой электрической цепи (путем добавления сопротивлений R и/или источников напряжения E), в которой проходящий через источник ток в два раза больше, чем в исходной. Сформулируйте сложное высказывание, описывающее все предложенные способы.

3.8. По условиям задачи 3.5 составьте сложные высказывания, описывающие условия получения оценок 4 и 1.

3.9. Приведите пример теоремы, в условии которой содержится дизъюнкция.

 

Импликация (логическое следование)

Операция импликации соответствует построению "если …, то …", "из … следует …" и обозначается символом "=>". Нетрудно заметить, что данное построение очень часто используется при формулировке различных теорем. Теорема содержит условие (х ₁) и заключение (х ₂). Формулировка теоремы обычно выглядит следующим образом: если х ₁ истинно, то х ₂ тоже истинно.

Рассмотрим построчно таблицу соответствия для операции импликации (табл.3.4).

 

Таблица 3.4
х 1	х 2

 

Первая строка: "Из ложного х ₁ следует ложное х ₂ – это логично (истинно)". Т.е. из ложных предпосылок сделан ложный вывод.

Вторая строка: "Из ложного х ₁ следует истинное х ₂ – это истинно". На первый взгляд это вызывает некоторое недоумение. Однако, эта строка утверждает только то, что правильный вывод может быть сделан и на основе ложных предпосылок (в том числе и случайно). Поясним это примером.

 

Пример

1. "5=2·2 и 5·2=8" – ложное высказывание х₁. Подставим во вторую часть этого ложного высказывания "5·2=8" значение "5" из первой части "(5=2·2)·2=8" и получим вывод х₂: "(2·2)·2=8", который является истинным высказыванием.

2. "На Луне есть атмосфера" – ложное высказывание х₁. Если речь идет о присутствии (или отсутствии) на Луне атмосферы, то вполне логично предположить, что речь идет о планете. Отсюда можно сделать вывод, что Луна является планетой. "Луна является планетой" – истинный вывод х₂, полученный из ложной предпосылки х₁.

 

Третья строка: "Из истинного х ₁ следует ложное х ₂ – это ложь". Из истинных предпосылок корректными методами нельзя получить ложное заключение.

Четвертая строка: "Из истинного х ₁ следует истинное х ₂ – это истина". Смысл этой строки очевиден.

Операция импликации описывает достаточные, но не необходимые условия теоремы.

Вспомним, что математическая логика не занимается исследованием содержания высказываний, а рассматривает их только с точки зрения истинности и ложности. Поэтому с формальной точки зрения одно истинное высказывание может быть заменено другим истинным независимо от их содержания. При этом могут образовываться совершенно не связанные между собой высказывания с точки зрения смыслового содержания.

 

Пример

Высказывание х₁: "Сила тока обратно пропорциональна сопротивлению" – истинное.

Высказывание х₂: "На экзамене есть четыре варианта отметок – отлично, хорошо, удовлетворительно и неудовлетворительно" – также истинное.

Эти высказывания не связаны между собой по содержанию причинно-следственной связью. Однако, с точки зрения математической логики импликация ("Если сила тока обратно пропорциональна сопротивлению, то на экзамене есть четыре варианта отметок – отлично, хорошо, удовлетворительно и неудовлетворительно") является истинным высказыванием.

 

При аппаратной реализации логических схем замена одного истинного высказывания другим истинным (или ложного другим ложным) уже не выглядит чем-то необычным. Вспомним, что при аппаратной реализации истинность и ложность характеризуются какой-либо физической величиной, имеющей два возможных состояния (высокое и низкое напряжения в электрических схемах, высокое и низкое давления в пневматических и гидравлических устройствах). Очевидно, что высокое напряжение, соответствующее одному истинному высказыванию, ничем не отличается от высокого напряжения, соответствующего другому истинному высказыванию. Следовательно, такая замена вполне допустима.

Вопросы и задания

3.10. Из простых высказываний "В автомобиле есть топливо" и "Двигатель автомобиля удалось завести" составьте сложное высказывание с использованием операции импликации. Проверьте результат по таблице соответствия.

3.11. Составьте сложное высказывание с использованием операций импликации и конъюнкции из следующих простых высказываний: "Цены на нефть растут", "Добыча нефти постоянна", "Выручка нефтяной компании увеличивается". Проверьте полученный ответ при помощи таблиц соответствия.

3.12. Импликация описывает достаточные, но не необходимые условия теоремы. Запишите таблицу соответствия для операции, описывающей необходимые, но не достаточные условия.

3.13. Приведите пример теоремы, при формулировке которой используется операция импликации.