Отношение делимости и его свойства

Определение. Пусть даны натуральные числа а и b. Говорят, что число а делится на число b, если существует такое натуральное число q, что а = bq.

В этом случае число b называют делителем числа а, а число а - кратным числа b.

Например, 24 делится на 8, так как существует такое q = 3, что 24 = 8×3. Можно сказать иначе: 8 - это делитель числа 24, а 24 есть кратное числа 8.

В том случае, когда а делится на b, пишут: а M b. Эту запись часто читают и так: «а кратно b».

Заметим, что понятие «делитель данного числа» следует отличать от понятия «делитель», обозначающего то число, на которое делят. Например, если 18 делят на 5, то число 5 - делитель, но 5 не является делителем числа 18. Если 18 делят на 6, то в этом случае понятия «делитель» и «делитель данного числа» совпадают.

Из определения отношения делимости и равенства a = 1 × а, справедливого для любого натурального а, вытекает, что 1 является делителем любого натурального числа.

Выясним, сколько вообще делителей может быть у натурального числа а. Сначала рассмотрим следующую теорему.

Теорема 1. Делитель b данного числа а не превышает этого числа, т. е. если а M b, то b £ а.

Доказательство. Так как а M b, то существует такое qÎ N, что а = bq и, значит, а - b = bq - b = b ×(q - 1). Поскольку qÎ N, то q ³ 1.. Тогда b ×(q - 1) ³ 0 и, следовательно, и b £ а.

Из данной теоремы следует, что множество делителей данного числа конечно. Назовем, например, все делители числа 36. Они образуют конечное множество {1,2,3,4,6,9,12,18,36}.

В зависимости от числа делителей среди натуральных чисел различают простые и составные числа.

Определение. Простым числом называется такое натуральное число, большее 1, которое имеет только два делителя - единицу и само это число.

Например, 13 – простое, поскольку у него только два делителя: 1 и 13.

Определение. Составным числом называется такое натуральное число, которое имеет более двух делителей.

Так число 4 составное, у него три делителя: 1, 2 и 4. Число 1 не является ни простым, ни составным числом в связи с тем, что оно имеет только один делитель.

Чисел, кратных данному числу, можно назвать как угодно много, - их бесконечное множество. Так, числа, кратные 4, образуют бесконечный ряд: 4, 8, 12, 16, 20, 24,.... и все они могут быть получены по формуле а=4q, где q принимает значения 1, 2, 3,....

Нам известно, что отношение делимости на множестве N обладает рядом свойств, в частности, оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Теперь, имея определение отношения делимости, мы можем доказать эти и другие его свойства.

Теорема 2. Отношение делимости рефлексивно, т.е. любое натуральное число делится само на себя.

Доказательство. Для любого натурального а справедливо ра­венство а=а× 1. Так как 1 Î N то, по определению отношения дели­мости, аMа.

Теорема 3. Отношение делимости антисимметрично, т.е. если а M b и а ¹ b, то .

Доказательство. Предположим противное, т. е. что bMа. Но тогда а£b, согласно теореме, рассмотренной выше.

По условию а M b и а ¹ b. Тогда, по той же теореме, b £ а.

Неравенства а £ b и b £ а.будут справедливы лишь тогда, когда а = b, что противоречит условию теоремы. Следовательно, наше предпо­ложение неверное и теорема доказана.

Теорема 4. Отношение делимости транзитивно, т.е. если а M b и b M с, то а M с.

Доказательство. Так как а M b, то существует такое натуральное число q, что а = b q, а так как bM с, то существует такое натуральное число р, что b = ср. Но тогда имеем: а = b q = (ср)q = с(рq). Число рq - натуральное. Значит, по определению отношения делимости, а. M с.

Теорема 5 (признак делимости суммы). Если каждое из натуральных чисел а_1,а₂,…а_п делится на натуральное число b, то и их сумма а_{1 +} а_{2 +}… + а_п делится на это число.

Например, не производя вычислений, можно сказать, что сумма 175 + 360 +915 делится на 5, так как на 5 делится каждое слагаемое этой суммы.

Теорема 6 (признак делимости разности). Если числа а₁ и а₂ де­лятся на b и а₁ ³ а₂ , то их разность а₁ - а₂ делится на b.

Теорема 7 (признак делимости произведения). Если число а делится на b, то произведение вида ах, где х е N. делится на b.

Из теоремы следует, что если один из множителей произведения делится на натуральное число b, то и все произведение делится на b.

Например, произведение 24×976×305 делится на 12, так как на 12 делится множитель 24.

Рассмотрим еще три теоремы, связанные с делимостью суммы и произведения, которые часто используются при решении задач на делимость.

Теорема 8. Если в сумме одно слагаемое не делится на число b, а все остальные слагаемые делятся на число b, то вся сумма на число b не делится.

Например, сумма 34 + 125 + 376 + 1024 на 2 не делится, так как 34:2,376^:2,124^:2,но 125 не делится на 2.

Теорема 9. Если в произведении аb множитель а делится на натуральное число т, а множитель b делится на натуральное число п то а b делится на тп.

Справедливость этого утверждения вытекает из теоремы о делимости произведения.

Теорема 10. Если произведение ас делится на произведение bс, причем с - натуральное число, то и а делится на b.

Признаки делимости

Рассмотренные в свойства отношения делимости позволяют доказать известные признаки делимости чисел, записанных в десятичной системе счисления, на 2, 3, 4, 5, 9.

Признаки делимости позволяют установить по записи числа делится ли оно на другое, не выполняя деления.

Теорема 11 (признак делимости на 2). Для того чтобы число х делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8.

Доказательство. Пусть число х записано в десятичной системе счисления, т.е. х=а_п 10^п+а_п-1×10^п–1+…+а₁×10+а_0, где а_п,а_п-1, …, а₁ принимают значения 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а_п ¹0 и а₀ принимает значе­ния 0,2,4,6,8. Докажем, что тогда х M 2.

Так как 10M2, то 10²M2, 10³M2,..., 10^пM2 и, значит, а_п×10^п+а_п-1×10^п–1+…+а₁×10M2. По условию а₀ тоже делится на 2, и поэтому число х можно рассматривать как сумму двух слагаемых, каждое из которых делится на 2. Следовательно, согласно признаку делимости суммы, число х делится на 2.

Докажем обратное: если число х делится на 2, то его десятичная запись оканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8.

Запишем равенство х=а_п×10^п+а_п-1×10^п–1+…+а₁×10+а₀ в таком виде: а₀=х-(а_п×10^п+а_п-1×10^п–1+…+а₁×10). Но тогда, по теореме о делимости разности, а₀M2, поскольку хM2 и (а_п×10^п+а_п-1×10^п–1+…+а₁×10)M2. Чтобы однозначное число а₀ делилось на 2, оно должно принимать значения 0, 2, 4, 6, 8.

Теорема 12 (признак делимости на 5). Для того чтобы число х делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась цифрой 0 или 5.

Доказательство этого признака аналогично доказательству признака делимости на 2.

Теорема 13 (признак делимости на 4). Для того чтобы число х делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы на 4 делилось двузначное число, образованное последними двумя цифрами десятичной записи числа х.

Доказательство. Пусть число х записано в десятичной системе счисления, т.е. х=а_п×10^п+а_п-1×10^п–1+…+а₁×10+а₀ и две последние цифры в этой записи образуют число, которое делится на 4. Докажем, что тогда хM4.

Так как 100M4, то (а_п×10^п+а _п-1×10^п–1+…+а₂×10²)M4. По условию, а₁×10+а₀ (это и есть запись двузначного числа) также делится на 4. Поэтому число х можно рассматривать как сумму двух слагаемых, каждое из которых делится на 4. Следовательно, согласно признаку делимости суммы, и само число х делится на 4.

Докажем обратное, т.е. если число х делится на 4, то двузначное число, образованное последними цифрами его десятичной записи, тоже делится на 4.

Запишем равенство х=а_п×10^п+а _п-1×10^п–1+…+а₁×10+а₀ в таком виде: а₁×10+а₀=х-(а_п×10^п+а_п-1×10^п–1+…+а₂×10²). Так как хM4 и (а_п×10^п+а_п-1×10^п–1+…+а₂×10²), то по теореме о делимости разности (а₁×10+а₀)M4. Но выражение а₁×10+а₀ есть запись двузначного числа, образованного последними цифрами записи числа х.

Например, число 157872 делится на 4, так как последние две цифры в его записи образуют число 72, которое делится на 4. Число 987641 не делится на 4, так как последние две цифры в его записи образуют число 41, которое не делится на 4.

Теорема 14 (признак делимости на 9). Для того чтобы число х делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр его десятичной записи делилась на 9.

Доказательство.

Докажем сначала, что числа вида 10^п-1 делятся на 9. Действительно,

10^п-1=(9×10^п-1+10^п–1)-1=(9×10^п-1+9×10^п-2+10^п–2)-1=(9×10^п-1+9×10^п-2+...+10)-1=

=9×10^п-1+9×10^п-2+...+9. Каждое слагаемое полученной суммы делится на 9, значит, и число 10^п-1 делится на 9.

Пусть число х=а_п×10^п+а_п-1×10^п–1+…+а₁×10+а₀ и (а_п+а_п-1+…+а₁+а₀)M 9. Докажем, что тогда хM9.

Преобразуем сумму а_п×10^п+а_п-1×10^п–1+…+а₁×10+а₀, прибавив и вычтя из нее выражение а_п+а _п-1 +…+а₁ +а₀ и записав результат в таком виде:

х=(а_п×10^п-а_п)+(а_п-1×10^п–1-а_п-1)+...+(а₁×10-а₁)+(а₀-а₀)+(а_п+а_п-1+…+а₁+а₀)= =а_п(10^п-1-1)+а_п-1(10^п-1-1)+...+а₁× (10^п-1-1)+(а_п+а _п-1+…+а₁ +а₀).

В последней сумме каждое слагаемое делится на 9:

а_п (10^п-1- 1)M9, так как (10^п-1-1)M9,

а _п-1 (10^п-1-1)M9, так как (10^п-1- 1)M9 и т.д.

(а_п+а _п-1+…+а₁ +а₀)M 9 по условию.

Следовательно, хM9.

Докажем обратное, т.е. если хM9, то сумма цифр его десятичной записи делится на 9.

Равенство х=а_п×10^п+а_п-1×10^п–1+…+а₁×10+а₀ запишем в таком виде:

а_п+а_п-1+…+а₁+а₀=х-(а_п(10^п-1)+а_п-1(10^п–1-1)+...+а₁(10-1)).

Так как в правой части этого равенства и уменьшаемое, и вычитаемое кратны 9, то по теореме о делимости разности (а_п + а_п-1 + …+ а₁ + а₀)M9, т.е. сумма цифр десятичной записи числа х делится на 9, что и требовалось доказать.

Например, число 34578 делится на 9, так как сумма его цифр, равная 27 делится на 9. Число 130542 не делится 9, так как сумма его цифр, равная 15, не делится на 9.

Теорема 15 (признак делимости на 3). Для того чтобы число х делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр его десятичной записи делилось на 3.

Доказательство этого утверждения аналогично доказательству признака делимости на 9.

Мы рассмотрели признаки делимости чисел на 2, 3, 4, 5, 9. Из школьного курса математики известен еще ряд других, например, на 10 и 25. Конечно, этого недостаточно, чтобы решать вопросы делимости. Существует общий признак делимости для чисел, записанных в любой позиционной системе счисления, открытый в XVII веке французским математиком Паскалем. Мы рассмотрим его для случая, когда осно­ванием системы счисления является число 10.

Теорема 16 (признак делимости Паскаля). Число х = а_п × 10^п + а _п-1 × 10^{п –1}+ …+ а₁ × 10 + а₀ делится на число b тогда и только тогда, когда на b делится сумма а_п × r_п + а _п-1 × r_{п –1}+ …+ а₁ × r₁ + а₀, где r₁, r₂,…,r_n - остатки от деле­ния на b разрядных единиц 10, 10²,..., 10ⁿ_.

Используя этот признак, выведем, например, известный признак делимости на 3 в десятичной системе счисления.

Найдем остатки от деления разрядных единиц на 3:

10 =3×3+1(r₁=1);

10²= 3×33 + 1 (r₂ = 1);

10³= 10²•10= (3×33 + 1) × (3×3 + 1) =3q₃ + 1 (r₃ = 1).

На основании рассмотренных случаев можно предположить, что ("n Î N) 10ⁿ=3q_n+1. Убедиться в истинности этого утверждения можно, если воспользоваться методом математической индукции.

Таким образом, доказано, что число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр его десятичной записи делится на 3.

Используя признак делимости Паскаля, можно доказать следующий признак делимости чисел на 11: для того чтобы число делилось на 11, необходимо и достаточно, чтобы разность между суммой его цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, делилась на 11. Обычно при нахождении разности из большего числа вычитают меньшее.

Например, число 540309 делится на 11, так как (4 + 3 + 9) - (5 + 0 + 0) = 11, а 11: 11. Число 236 не делится на 11, поскольку (2 + 6) - 3 = 5, но 5 не кратно 11.