Понятие о верхней и нижней гранях множеств

 

При рассмотрении числовых множеств часто возникает необходимость установления их граничных значений. Если множество задано перечислением его элементов, то это делается без особого труда путем выделения его минимального и максимального значений. Например, для множества X = {0, 1, 2, 4, 8} min x = 0, max x = 8.

Если же множество задано в «форме от х», то указать минимальное и максимальное его значения не всегда оказывается просто, а иногда они и не существуют. Например, для множества N натуральных чисел минимальным числом является единица. А максимальное число не существует. Для множества Z целых чисел не существует ни минимума, ни максимума.

В подобных случаях используют понятия верхней и нижней граней множества (иногда говорят о верхней и нижней границах). Рассмотрим эти понятия более подробно. Пусть задано некоторое множество X действительных чисел. Число а называется его верхней гранью и обозначается sup X (от лат. supremum – наивысшее), если для любого числа х Х выполняется неравенство и, каково бы ни было число а ^ʹ < а, существует такое число х ^ʹ Х, что х ^ʹ > а ^ʹ. Число b называется нижней гранью множества Х и обозначается inf X (от лат. infimum – наинизшее), если для любого х Х выполняется неравенство и, каково бы ни было число b ^ʹ > b, существует такое х ^ʹ Х, что х ^ʹ ˂ b ^ʹ.

Для рассмотренного выше множества X ={0, 1, 2, 4, 8} очевидно, что

min X = inf X = 0, max X = sup X = 8. Однако для неограниченного сверху множества N натуральных чисел min N = inf N = 1, а max N не существует, но sup N = + . В этом и состоит различие между минимальным значением и инфимумом, а также между максимальным значением и супремумом некоторого множества Х. Если будем рассматривать множество Z, то ни минимального, ни максимального его значений не существует, но inf Z = – , а sup Z = + .

Приведенные примеры возможно не очень убедительны, так как использование символов – и + является искусственным приемом (за ними не скрывается никакого определенного числа). Если же рассматривать хорошо известные со школьной скамьи понятия отрезка и интервала (иногда употребляют термины закрытый и открытый интервалы соответственно), то обнаружим, что в этом случае наши представления о различиях между max и sup, min и inf обретут вполне реальную конкретизацию.

Например, для отрезка 1 ≤ х ≤ 3 при х R min x = inf x = 1, max x = = sup x = 3. Однако для интервала 1 ˂ х ˂ 3 при х R снова inf x = 1, а sup x = 3. Но при этом, ни min x, ни max x не существуют. Действительно в последнем примере, какие бы вещественные числа, близкие к единице или к трем, мы не задавали, всегда можно указать еще более близкие к единице или трем действительные числа. В то же врем в соответствии с приведенным выше определением верхней и нижней граней множества, числа 1 и 3 являются inf x и sup x соответственно. Таким образом, различие между экстремальными значениями (max x и min x), верхней и нижней гранями (sup x и inf x) проявляются однозначно.

Чисел, которые могут рассматриваться в качестве верхней или нижней граней множества, может быть бесконечно много. Для устранения такой неоднозначности введено понятие точной верхней и точной нижней граней множества. Под точной верхней гранью множества Х понимают такую верхнюю грань, которая не превосходит любую другую. Под точной нижней гранью множества Х, понимают такую нижнюю грань, которая не меньше любой другой грани.

Исходя из приведенных определений, символически точные верхние и нижние грани множества, если его представлять в виде последовательности действительных чисел, можно записать через верхний и нижний пределы: для конечных множеств и

для бесконечных множеств.

Однако чтобы не перегружать символикой понятия точной верхней и нижней граней пределы опускают и в качестве точной верхней и нижней граней принимают соответственно sup X и inf X.

Наконец, следует отметить, что всякое непустое множество действительных чисел имеет, и притом единственную, верхнюю и нижнюю конечную или бесконечную грани.

Операции над множествами.

 

Над множествами можно выполнять определенные операции, подобные в некотором отношении операциям над действительными числами в алгебре. Поэтому можно говорить об алгебре множеств.

Объединением (соединением) множеств А и В называется множество (символически оно обозначается через ), состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В. В форме от х объединение множеств записывается так

Запись читается: «объединение А и В» или «А, объединенное с В».

Операции над множествами наглядно изображают графически с помощью кругов Эйлера (иногда используют термин «диаграммы Венна-Эйлера»). Если все элементы множества А будут сосредоточены в пределах круга А, а элементы множества В – в пределах круга В, тооперацию объединения с помощью кругов Эйлера можно представить в следующем виде – рис. 2.1

 

Рис. 2.1. Объединение множеств А и В

 

Пример 1. Объединением множества А = {0, 2, 4, 6, 8} четных цифр и множества В = {1, 3, 5, 7, 9} нечетных цифр является множество = ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} всех цифр десятичной системы счисления.

Пример 2. Если A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}, то = {1, 2, 3, 4}.

Пример 3. Объединением множеств А = {1} и B = {0, 1} решений квадратных уравнений х ² + 2 х + 1 = 0 и х ² + х = 0 является множество = {0, 1}.

В общем случае в операции объединения может участвовать n множеств А ₁, А ₂, …, А _n. Тогда объединением этих множеств (обозначается через или ), будет множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А ₁, А ₂,..., А_n.

Пример 4. Пусть А ₁ = {3,6,9}, A ₂ = {0,1,5,7}, A ₃= {2,3,4,5,8}, тогда .

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество (обозначается через , иногда А × В или АВ), состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат каждому из множеств А и В.

В форме от х пересечение множеств записывается так

.

Запись читается «пересечение А и В» или «А, пересеченное с В». С помощью кругов Эйлера операцию пересечения двух множеств А и В можно представить так – рис. 2.2 а (затемненная часть кругов)

 

а б

Рис. 2.2. Пересечение множеств А и В

 

Если =Æ, то есть если множества А и В не имеют общих элементов, то такие множества называют непересекающимися – рис. 2.2 б.

Аналогично операции объединения в пересечении может участвовать n множеств А ₁, А ₂, …, А _n. Тогда пересечением этих множеств (обозначается через или ), будет множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат одновременно всем множествам А ₁, А ₂,..., А_n.

Пример 5. Пусть А ₁ = {1, 2, 3, 4, 8}, A ₂ = {2, 3, 4, 5, 8}, A ₃= {3, 6, 7,8, 9}, тогда

Разностью множеств А и В называется множество (обозначается А \ В или А – В), состоящее из всех тех элементов множества А, которые не являются элементами множества В. В «форме от х» разность множеств А и В можно записать так

.

Выражение А \ В читается: «разность А и В» или «А без В».

Разность множеств в отличие от предыдущих операций определяется только для двух множеств.

С помощью кругов Эйлера для множеств А и В разности А \ В и В\А в виде затемненных частей кругов приведены соответственно на рис. 2.3 а, и 2.3 б

а б

Рис. 2.3. Разности множеств А \ В и В\А

 

Пример 6. Пусть А = {0, 2, 4, 6, 8} – множество всех четных цифр, В = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – множество всех цифр десятичной системы счисления. Тогда В\А = {1, 3, 5, 7, 9} всех нечетных цифр является разностью множеств В и А.

Пример 7. Пусть A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 3, 5}, C = {5, 6, 7}. Тогда А \ В = = {2, 4}, А \ С = {1, 2, 3, 4} = A, C \ A = {5, 6, 7} = C, В\С = {1, 3}, C \ В = {6, 7}, В\А = {5}.

Для случая, когда определяют операцию дополнения множества А до множества В.

Дополнением множества А до множества В называется множество, всех тех элементов множества В, которые не принадлежат множеству А. С помощью кругов Эйлера множество-дополнение в затемненном виде представлено на рис. 2.4

Рис. 2.4. Подмножество В\A – дополнение множества А до множества В

Символически операция дополнения записывается также как и операция разности, поэтому в «форме от х»запись дополнения будет иметь вид

.

Если в процессе некоторого рассуждения все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого множества U, то это множество называют универсальным множеством (или для краткости – универсумом). Рассуждение может быть не только кратким, но и представлять научную теорию или целую книгу. Например, при проведении социологических исследований в качестве универсума могут рассматриваться все города России или все студенты некоторого вуза. В первом случае все рассуждения не могут выходить за рамки всех городов, а во втором – за рамки всех студентов этого вуза.

Для графической иллюстрации отношений между подмножествами какого-либо ограниченного универсального множества U круги Эйлера, отображающие подмножества множества U, ограничивают прямоугольником – рис. 2.5

Рис. 2.5. Универсальное множество U и его подмножества A и B

Ясно, что если в некотором рассуждении универсальное множество будет неограниченным, например множество N или Z,то ограничить его

прямоугольником не представляется возможным.

Если в рассуждениях участвуют универсальное множество U и некоторое подмножество A, то подмножество всех тех элементов множества U, которые не принадлежат подмножеству А, называется абсолютным дополнением подмножества А до множества U. Ясно, что

Тогда приведенное выше определение дополнения множества A до множества B называют относительным.

Кроме приведенных операций над множествами рассматривают еще две – операцию симметрической разности и операцию сложения множеств. Симметрической разностью (обозначается ) называется множество, определяемое следующим образом:

= .

С помощью кругов Эйлера симметрическая разность множества А (левый полный круг)и множества В (правый полный круг)на рис. 2.6 будет представлять затемненную часть

Рис. 2.6. Симметрическая разность множеств А и В

Суммой множеств А и В (обозначается А + В) называется множество, определяемое выражением

А + В = ()\ .

Исходя из приведенной записи для операции сложения, можно сказать, что сумма множеств равна их объединению без пересечения.

Симметрическая разность множеств А и В и их сумма представляют одно и то же множество. Покажем это, используя круги Эйлера.

По определению разность множеств А и В или относительное дополнение А \ В являются подмножеством, изображенным на рис. 2.7 а (на рис. 2.3 а это левая затемненная часть круга Эйлера). Разность множеств В и А или относительное дополнение В\A является подмножеством, изображенным на рис. 2.7 б (на рис. 2.3 б это правая затемненная часть круга Эйлера)

а б

Рис. 2.7. Подмножества А \ В и В\А

Объединяя эти подмножества, мы получаем фигуру, приведенную на рис. 2.6, которая представляет по определению симметрическую разность множеств А и В, т.е. .

С другой стороны, если мы объединим множества А и В, то получим правую фигуру, т.е. , представленную на рис. 2.1. Если из этой фигуры вычтем пересечение этих множеств, т.е. , представленное на рис. 2.2 а, то снова получим фигуру, изображенную на рис. 2.6. Но это и есть объединение множеств А и В без их пересечения, т.е. сумма А + В.

Таким образом, мы доказали с помощью кругов Эйлера, что

= А + В.

Рассмотрим примеры выполнения операций вычитания, дополнения, сложения и симметрической разности для различных случаев задания множеств.

Пример 8. Пусть заданы множества: А = {2, 3}; B = {1, 2, 3, 4, 5}; C = = {1, 2, 3}; D = {3, 4, 5}. Тогда

А \ В = Æ; А \ С = Æ; А \ D = {2}; A \ A = Æ;

B \ A = {1, 4, 5}; B \ C = {4, 5}; B \ D = {1, 2};

C \ A = {1}; C \ B = Æ; C \ D = {1, 2};

D \ A = {4, 5}; D \ B = Æ; D \ C = {4, 5}.

А + В ={1, 2, 3, 4, 5}\{2, 3}={1, 4, 5}; B + A ={1, 2, 3, 4, 5}\{2, 3}={1, 4, 5}.

= Æ {1, 4, 5}= {1, 4, 5}; = {1, 4, 5} Æ ={1, 4, 5}.

A + C = {1, 2, 3}\{2, 3} = {1}; C + A = {1, 2, 3}\{2, 3} = {1}.

= Æ {1}; = {1} Æ = {1}.

A + D = {2, 3, 4, 5}\{3} = {2, 4, 5}; D + A= {2, 3, 4, 5}\{3} = {2, 4, 5}.

= {2} {4, 5} = {2, 4, 5}; = {4, 5} {2} = {2, 4, 5}.

B + C = {1, 2, 3, 4, 5}\{1, 2, 3} = {4, 5}; C + B = {4, 5}.

= {4, 5} Æ = {4, 5}; = {4, 5}.

В + D = {1, 2, 3, 4, 5}\{3, 4, 5} = {1, 2}; D + B = {1, 2}.

= {1, 2} Æ = {1, 2}; = {1, 2}.

C + D = {1, 2, 3, 4, 5}\{3} = {1, 2, 4, 5}; D + C = {1, 2, 4, 5}.

= {1, 2} {4, 5} = {1, 2, 4, 5}; = {1, 2, 4, 5}.

Из приведенных примеров видно, что операции сложения и симметрической разности эквивалентны и обладают свойством коммутативности.