Понятие о нижней и верхней цене игры. Решение игры в чистых стратегиях

Каждый из игроков стремится максимизировать свой выигрыш с учетом поведения противодействующего ему игрока. Поэтому для игрока 1 необходимо определить минимальные значения выигрышей в каждой из стратегий, а затем найти максимум из этих значений, то есть определить величину

V_н = max_i min_j a_ij

или найти минимальные значения по каждой из строк платежной матрицы, а затем определить максимальное из этих значений. Величина V_н называется максимином матрицы или нижней ценой игры. Та стратегия игрока, которая соответствует максимину V_н называется максиминной стратегией.

Очевидно, если мы будем придерживаться максиминной стратегии, то нам при любом поведении противника гарантирован выигрыш, не меньший V_н. Поэтому величина V_н — это тот гарантированный минимум, который мы можем себе обеспечить, придерживаясь своей наиболее осторожной стратегии.

Величина выигрыша игрока 1 равна, по определению матричной игры, величине проигрыша игрока Поэтому для игрока 2 необходимо определить значение

V_в = min_j max_i a_ij

Или найти максимальные значения по каждому из столбцов платежной матрицы, а затем определить минимальное из этих значений. Величина V_в называется минимаксом матрицы, верхней ценой игры или минимаксным выигрышем. Соответствующая выигрышу стратегия противника называется его минимаксной стратегией. Придерживаясь своей наиболее осторожной минимаксной стратегии, противник гарантирован, что в любом случае он проиграет не больше V_в.

В случае, если значения V_н и V_в не совпадают, при сохранении правил игры (коэффициентов a_ij) в длительной перспективе, выбор стратегий каждым из игроков оказывается неустойчивым. Устойчивость он приобретает лишь при равенстве V_н = V_в = V. В этом случае говорят, что игра имеет решение в чистых стратегиях, а стратегии, в которых достигается V — оптимальными чистыми стратегиями. Величина V называется чистой ценой игры [8].

Например, в матрице:

	B1	B2	B3	B4	Minj
A1
A2
A3
Maxi

Таблица — Платежная матрица, в которой существует решение в чистых стратегиях

существует решение в чистых стратегиях. При этом для игрока 1 оптимальной чистой стратегией будет стратегия A₁, а для игрока 2 — стратегия B₄.

В матрице решения в чистых стратегиях не существует, так как нижняя цена игры достигается в стратегии A₁ и ее значение равно 12, в то время как верхняя цена игры достигается в стратегии B₄ и ее значение равно 13.

	B1	B2	B3	B4	Minj
A1
A2
A3
Maxi

Таблица — Платежная матрица, в которой не существует решения в чистых стратегиях

Уменьшение порядка платежной матрицы

Порядок платежной матрицы (количество строк и столбцов) может быть уменьшен за счет исключения доминируемых и дублирующих стратегий.

Стратегия K* называется доминируемой стратегией K**, если при любом варианте поведения противодействующего игрока выполняется соотношение

A_k* < A_k**,

где A_k* и A_k** — значения выигрышей при выборе игроком, соответственно, стратегий K* и K**.

В случае, если выполняется соотношение

A_k* = A_k**,

стратегия K* называется дублирующей по отношению к стратегии K**.

Например, в матрице с доминируемыми и дублирующими стратегиями стратегия A₁ является доминируемой по отношению к стратегии A₂, стратегия B₆ является доминируемой по отношению к стратегиям B₃, B₄ и B₅, а стратегия B₅является дублирующей по отношению к стратегии B₄.

	B1	B2	B3	B4	B5	B6
A1
A2
A3
A4

Таблица — Платежная матрица с доминируемыми и дублирующими стратегиями

Данные стратегии не будут выбраны игроками, так как являются заведомо проигрышными и удаление этих стратегий из платежной матрицы не повлияет на определение нижней и верхней цены игры, описанной данной матрицей.

Множество недоминируемых стратегий, полученных после уменьшения размерности платежной матрицы, называется еще множеством Парето.

Примеры игр

Игра «Цыпленок»

Игра «Цыпленок» заключается в том, что игроки вступают во взаимодействие, которое ведет в нанесению серьезного вреда каждому из них, пока один из игроков не выйдет из игры. Пример использования этой игры — взаимодействие автотранспортный средств, например, ситуации, когда два автомобиля идут навстречу друг другу, и тот, который первым сворачивает в сторону, считается «слабаком» или «цыпленком». Смысл игры заключается в создании напряжения, которое бы привело к устранению игрока. Подобная ситуация часто встречается в среде подростков или агрессивно настроенных молодых людей, хотя иногда несет в себе меньший риск. Еще одно из применений этой игры — ситуация, в которой две политические партии вступают в контакт, при котором они не могут ничего выиграть, и только гордость заставляет их сохранять противостояние. Партии медлят с уступками до тех пор, пока не дойдут до финальной точки. Возникающее психологическое напряжение может привести одного из игроков к неправильной стратегии поведения: если никто из игроков не уступает, то столкновение и фатальная развязка неизбежны.

Платежная матрица игры выглядит следующей:

	Уступить	Не уступать
Уступить	0, 0	-1, +1
Не уступать	+1, -1	-100, -100

Игра «коршун и голубь»

Игра «коршун и голубь» является биологическим примером игры. В этой версии двое игроков, обладающих неограниченными ресурсами, выбирают одну из двух стратегий поведения. Первая («голубь») заключается в том, что игрок демонстрирует свою силу, запугивая противника, а вторая («коршун») — в том, что игрок физически атакует противника. Если оба из игроков выбирают стратегию «коршуна», они сражаются, наносф друг другу увечья. Если один из игроков выбирает стратегию «коршуна», а второй «голубя» — то первый побеждает второго. В случае, если оба игрока — «голуби», то соперники приходит к компромиссу, получая выигрыш, который оказывается меньше, чем выигрыш «коршуна», побеждающего «голубя», как это следует из платежной матрицы этой игры.

	Коршун	Голубь
Коршун	1/2*(V-C), 1/2*(V-C)	V, 0
Голубь	0, V	V/2, V/2

Здесь V — цена соглашения, C — цена конфликта, причем V<C.

В игре «коршун и голубь» есть три точки равновесия по Нэшу:

1. первый игрок выбирает «коршуна», а второй «голубя».

2. первый игрок выбирает «голубя», а второй «коршуна».

3. оба игрока выбирают смешанную стратегию, в которой «коршун» выбирается с вероятностью p, а «голубь» — с вероятностью 1-p.

Дилемма заключенного

«Дилемма заключенного» — одна из наиболее распространенных конфликтных ситуаций, рассматриваемая в теории игр.

Классическая «дилемма заключенного» звучит следующим образом: двое подозреваемых, A и B, находятся в разных камерах. Следователь, навещая их поодиночке, предлагает сделку следующего содержания: если один из них будет свидетельствовать против другого, а второй будет молчать, то первый заключенный будет освобожден, а второго осудят на 10 лет. Если оба будут молчать, то отсидят по 6 месяцев. Если оба предадут друг друга, то каждый получит по 2 года. Каждый из заключенных должен принять решение: предать подельника или молчать, не зная о том, какое решение принял другой. Дилемма: какое решение примут заключенные?

Платежная матрица игры:

—	Заключенный B молчит	Заключенный B предает
Заключенный A молчит	Оба осуждены на 6 месяцев	Заключенного А осуждают на 10 лет Заключенный В выходит на свободу
Заключенный A предает	Заключенный A выходит на свободу Заключенного B осуждают на 10 лет	Оба осуждены на 2 года

В данном случае, результат базируется на решении каждого из заключенных. Положение игроков осложняется тем, что они не знают о том, какое решение принял другой, и тем, что они не доверяют друг другу.

Наилучшей стратегией игроков будет кооперация, при которой оба молчат, и получают максимальный выигрыш (меньший срок), каждое другое решение будет менее выигрышным.

Проанализируем «дилемму заключенного», перейдя для наглядности к платежной матрице канонического вида:

—	Кооперация	Отказ от кооперации
Кооперация	3, 3	0, 5
Отказ от кооперации	5, 0	1, 1

Согласно этой матрице, цена взаимного отказа от кооперации (S) составляет по 1 баллу для каждого из игроков, цена за кооперацию (R) — по 3 балла, а цена соблазна предать другого (T) составляет 5 баллов. Можем записать следующее неравенство: T > R > S. При повторении игры несколько раз, выбор кооперации превосходит соблазн предать и получить максимальный выигрыш: 2 R > T + S.

Равновесие по Нэшу.

Равновесие по Нэшу — это ситуация, когда ни у одного игрока нет стимулов изменять свою стратегию при данной стратегии другого игрока (другой фирмы), позволяющая игрокам достичь компромиссного решения.

Определение равновесия по Нэшу и его существование определяется следующим образом.

Пусть (S, f) — это игра, в которой S — множество стратегий, f — множество выигрышей. Когда каждый из игроков i ∈ {1,..., n} выбирает стратегию x_i &isin S, где x = (x₁,..., x_n), тогда игрок i получает выигрыш f_i(x). Выигрыш зависит от стратегии, выбранной всеми игроками. Стратегия x* ∈ S является равновесием по Нэшу, если никакое отклонение от нее каким-то одним игроком не приносит ему прибыль, то есть, для всех i выполняется следующее неравенство:

f_i(x*) ≥ f_i(x_i, x*_-i)

Например, игра «дилемма заключенного» имеет одно равновесие по Нэшу — ситуацию, когда оба заключенных предают друг друга.

Проще всего определить равновесие по Нэшу можно по платежной матрице, особенно в случаях, когда в игре участвуют два игрока, имеющие в арсенале более двух стратегий. Так как в этом случае формальный анализ будет достаточно сложным, применяется мнемоническое правило, которое заключается в следующем: ячейка платежной матрицы представляет собой равновесие по Нэшу, если первое число, стоящее в ней, является максимальным среди всех значений, представленных в столбцах, а второе число, стоящее в ячейке — максимальное число среди всех строк.

Например, применим это правило для матрицы 3x3:

	A	B	C
A	0, 0	25, 40	5, 10
B	40, 25	0, 0	5, 15
C	10, 5	15, 5	10, 10

Точки равновесия по Нэшу: (B,A), (A,B) и (C,C). Indeed, for cell (B,A), так как 40 — максимальное значение в первом столбце, 25 максимальное значение во втором ряду. Для ячейки (A,B) 25 — это максимальное значение во втором столбце, 40 — максимальное значение во втором ряду. То же самое и для ячейки (C,C).

Рассмотрим пример игры в загрязнения (окружающей среды). Здесь объектом нашего внимания станет такой вид побочных эффектов производства, как загрязнение. Если бы фирмы никогда и никого не спрашивали о том, как им поступить, любая из них скорее предпочла бы создавать загрязнения, чем устанавливать дорогостоящие очистители. Если же какая-нибудь фирма решилась бы уменьшить вредные выбросы, то издержки, а, следовательно, и цены на ее продукцию, возросли бы, а спрос бы упал. Вполне возможно, эта фирма просто обанкротилась бы. Живущие в жестоком мире естественного отбора, фирмы скорее предпочтут оставаться в условиях равновесия по Нэшу (ячейка D), при котором не нужно расходовать средства на очистные сооружения и технологии. Ни одной фирме не удастся повысить прибыль, уменьшая загрязнение.

	Фирма 1
Фирма 2	Низкий уровень загрязнения	Высокий уровень загрязнения
Низкий уровень загрязнения	А 100,100	В -30,120
Высокий уровень загрязнения	С 120,-30	D 100,100

Таблица — Платежная матрица игры в загрязнение окружающей среды.

Вступив в экономическую игру, каждая неконтролируемая государством и максимизирующая прибыль сталелитейная фирма будет производить загрязнения воды и воздуха. Если какая-либо фирма попытается очищать свои выбросы, то тем самым она будет вынуждена повысить цены и потерпеть убытки. Некооперативное поведение установит равновесие по Нэшу в условиях высоких выбросов. Правительство может предпринять меры с тем, чтобы равновесие переместилось в ячейку А. В этом положении загрязнение будет незначительным, прибыли же останутся теми же.

Игры загрязнения — один из случаев того, как механизм действия «невидимой руки» не срабатывает. Это ситуация, когда равновесие по Нэшу неэффективно. Иногда подобные неконтролируемые игры становятся угрожающими, и здесь может вмешаться правительство. Установив систему штрафов и квот на выбросы, правительство может побудить фирмы выбрать исход А, соответствующий низкому уровню загрязнения. Фирмы зарабатывают ровно столько же, сколько и прежде, при больших выбросах, мир же становится несколько чище.

Пример решения матричной игры в чистых стратегиях

Рассмотрим пример решения матричной игры в чистых стратегиях, в условиях реальной экономики, в ситуации борьбы двух предприятий за рынок продукции региона.

Задача.

Два предприятия производят продукцию и поставляют ее на рынок региона. Они являются единственными поставщиками продукции в регион, поэтому полностью определяют рынок данной продукции в регионе.

Каждое из предприятий имеет возможность производить продукцию с применением одной из трех различных технологий. В зависимости от экологичности технологического процесса и качества продукции, произведенной по каждой технологии, предприятия могут установить цену единицы продукции на уровне 10, 6 и 2 денежных единиц соответственно. При этом предприятия имеют различные затраты на производство единицы продукции.

Технология	Цена реализации единицы продукции, д.е.	Полная себестоимость единицы продукции, д.е.
Предприятие 1	Предприятие 2
I
II
III

Таблица — Затраты на единицу продукции, произведенной на предприятиях региона (д.е.).

В результате маркетингового исследования рынка продукции региона была определена функция спроса на продукцию:

Y = 6 - 0.5⋅X,

где Y — количество продукции, которое приобретет население региона (тыс. ед.), а X — средняя цена продукции предприятий, д.е.

Данные о спросе на продукцию в зависимости от цен реализации приведены в таблице:

Цена реализации 1 ед. продукции, д.е.	Средняя цена реализации 1 ед. продукции, д.е.	Спрос на продукцию, тыс. ед.
Предприятие 1	Предприятие 2

Таблица — Спрос на продукцию в регионе, тыс. ед.

Значения Долей продукции предприятия 1, приобретенной населением, зависят от соотношения цен на продукцию предприятия 1 и предприятия В результате маркетингового исследования эта зависимость установлена и значения вычислены:

Цена реализации 1 ед. продукции, д.е.	Доля продукции предприятия 1, купленной населением
Предприятие 1	Предприятие 2
		0,31
		0,33
		0,18
		0,7
		0,3
		0,2
		0,92
		0,85
		0,72

Таблица — Доля продукции предприятия 1, приобретаемой населением в зависимости от соотношения цен на продукцию

По условию задачи на рынке региона действует только 2 предприятия. Поэтому долю продукции второго предприятия, приобретенной населением, в зависимости от соотношения цен на продукцию можно определить как единица минус доля первого предприятия.

Стратегиями предприятий в данной задаче являются их решения относительно технологий производства продукции. Эти решения определяют себестоимость и цену реализации единицы продукции. В задаче необходимо определить:

1. Существует ли в данной задаче ситуация равновесия при выборе технологий производства продукции обоими предприятиями?

2. Существуют ли технологии, которые предприятия заведомо не будут выбирать вследствие невыгодности?

3. Сколько продукции будет реализовано в ситуации равновесия? Какое предприятие окажется в выигрышном положении?

Решение задачи

1. Определим экономический смысл коэффициентов выигрышей в платежной матрице задачи. Каждое предприятие стремится к максимизации прибыли от производства продукции. Но кроме того, в данном случае предприятия ведут борьбу за рынок продукции в регионе. При этом выигрыш одного предприятия означает проигрыш другого. Такая задача может быть сведена к матричной игре с нулевой суммой. При этом коэффициентами выигрышей будут значения разницы прибыли предприятия 1 и предприятия 2 от производства продукции. В случае, если эта разница положительна, выигрывает предприятие 1, а в случае, если она отрицательна — предприятие 2.

2. Рассчитаем коэффициенты выигрышей платежной матрицы. Для этого необходимо определить значения прибыли предприятия 1 и предприятия 2 от производства продукции.

Прибыль предприятия в данной задаче зависит:

• от цены и себестоимости продукции;
• от количества продукции, приобретаемой населением региона;
• от доли продукции, приобретенной населением у предприятия.

Таким образом, значения разницы прибыли предприятий, соответствующие коэффициентам платежной матрицы, необходимо определить по формуле:

D = p⋅(S⋅R1 - S⋅C1) - (1 - p)⋅(S⋅R2 - S⋅C2),

где D — значение разницы прибыли от производства продукции предприятия 1 и предприятия

p — доля продукции предприятия 1, приобретаемой населением региона;

S — количество продукции, приобретаемой населением региона;

R1 и R2 — цены реализации единицы продукции предприятиями 1 и

C1 и C2 — полная себестоимость единицы продукции, произведенной на предприятиях 1 и

Вычислим один из коэффициентов платежной матрицы.

Пусть, например, предприятие 1 принимает решение о производстве продукции в соответствии с технологией III, а предприятие 2 — в соответствии с технологией II. Тогда цена реализации единицы. продукции для предприятия 1 составит 2 д.е. при себестоимости единицы. продукции 1,5 д.е. Для предприятия 2 цена реализации единицы. продукции составит 6 д.е. при себестоимости 4 д.е..

Количество продукции, которое население региона приобретет при средней цене 4 д.е., равно 4 тыс. ед. (таблица 1). Доля продукции, которую население приобретет у предприятия 1, составит 0,85, а у предприятия 2 — 0,15 (табл. 1.3). Вычислим коэффициент платежной матрицы a₃₂ по формуле:

a₃₂ = 0,85⋅(4⋅2 - 4×1,5) - 0,15⋅(4⋅6 - 4⋅4) = 0,5 тыс. ед.

где i=3 — номер технологии первого предприятия, а j=2 — номер технологии второго предприятия.

Аналогично вычислим все коэффициенты платежной матрицы. В платежной матрице стратегии A₁ — A₃– представляют собой решения о технологиях производства продукции предприятием 1, стратегии B₁– B₃ — решения о технологиях производства продукции предприятием 2, коэффициенты выигрышей — разницу прибыли предприятия 1 и предприятия

	B1	B2	B3	Minj
A1	0,17	0,62	0,24	0,17
A2	0,3	-1,5	-0,8	-1
A3	0,9	0,5	0,4	0,4
Maxi		0,62	0,4

Таблица — Платежная матрица в игре «Борьба двух предприятий».

В данной матрице нет ни доминируемых, ни дублирующих стратегий. Это значит, что для обоих предприятий нет заведомо невыгодных технологий производства продукции. Определим минимальные элементы строк матрицы. Для предприятия 1 каждый из этих элементов имеет значение минимально гарантированного выигрыша при выборе соответствующей стратегии. Минимальные элементы матрицы по строкам имеют значения: 0,17, -1,5, 0,4.

Определим максимальные элементы столбцов матрицы. Для предприятия 2 каждый из этих элементов также имеет значение минимально гарантированного выигрыша при выборе соответствующей стратегии. Максимальные элементы матрицы по столбцам имеют значения: 3, 0,62, 0,4.

Нижняя цена игры в матрице равна 0,4. Верхняя цена игры также равна 0,4. Таким образом, нижняя и верхняя цена игры в матрице совпадают. Это значит, что имеется технология производства продукции, которая является оптимальной для обоих предприятий в условиях данной задачи. Эта технология III, которая соответствует стратегиям A₃ предприятия 1 и B₃предприятия Стратегии A₃ и B₃ — чистые оптимальные стратегии в данной задаче.

Значение разницы прибыли предприятия 1 и предприятия 2 при выборе чистой оптимальной стратегии положительно. Это означает, что предприятие 1 выиграет в данной игре. Выигрыш предприятия 1 составит 0,4 тыс. д.е. При этом на рынке будет реализовано 5 тыс. ед. продукции (реализация равна спросу на продукцию, таблица 1).. Оба предприятия установят цену за единицу продукции в 2 д.е. При этом для первого предприятия полная себестоимость единицы продукции составит 1,5 д.е., а для второго — 1 д.е. Предприятие 1 окажется в выигрыше лишь за счет высокой доли продукции, которую приобретет у него население.

Критерии принятия решения

ЛПР определяет наиболее выгодную стратегию в зависимости от целевой установки, которую он реализует в процессе решения задачи. Результат решения задачи ЛПР определяет по одному из критериев принятия решения. Для того, чтобы прийти к однозначному и по возможности наиболее выгодному варианту решению, необходимо ввести оценочную (целевую) функцию. При этом каждой стратегии ЛПР (A_i) приписывается некоторый результат W_i, характеризующий все последствия этого решения. Из массива результатов принятия решений ЛПР выбирает элемент W, который наилучшим образом отражает мотивацию его поведения.

В зависимости от условий внешней среды и степени информативности ЛПР производится следующая классификация задач принятия решений: