Т о соотношении между нижней и верхней ценами игры в смеш. и чистых стр-ях

Теорема:

Нижняя цена игры α и верхняя цена игры β в чистых стратегия нижняя цена игры V и верхняя цена игры в смешанных стратегиях удовлетворяют следующим неравенствам:

Доказательство:

Начнем доказательство с левого неравенства.

По определению нижней цены в смешанных стратегиях V

Здесь правая часть V не зависит от Р и потому это неравенство остается верным и для Р=A _i, i=1,..,m:

Так как полученное неравенство справедливо для всех i=1,…,m, то оно будет справедливым в частности для того номера I, который максимизирует показатель эффективности α_i:

Итак, первое из неравенств доказано.

Докажем второе: . Для любых по и имеем:

(1)

Соотношение (1) означает, что в любой ситуации в смешанных стратегиях (P,Q) выигрыш H(P,Q) игрока А не меньше показателя эффективности α(Р) его стратегии Р и не больше показателя неэффективности стратегии Q противника В.

Так как (1) справедливо для всех , то из него следует, что

Наконец, докажем последнее неравенство. В силу определения верхней цены игры в смешанных стратегиях

В частности, это неравенство справедливо и для чистых стратегий Q=B _j, j=1,…,n, игрока В

И, следовательно, неравенство остается в силе и для того номер j, который минимизирует показатель неэффективности стратегии B _j, т.е.

Чтд.

Если нижняя и верхняя цены игры в смешанных стратегиях совпадают, то их общее значение V= = называется ценой игры в смешанных стратегиях. Нижняя и верхняя цены игры в чистых стратегиях α и β и цены игры в смешанных стратегиях V связаны между собой неравенствами α≤V≤β.

Стратегии P^O и Q^O соответственно игроков А и В, удовлетворяющие равенствам V=α(P^O)=β(Q^O) (и тогда это общее значение очевидно равно H(P^O,Q^O)), называется оптимальными смешанными стратегиями игроков А и В.

Таким образом, оптимальные смешанные (в частности, чистые) стратегии P^O и Q^O соответственно игроков А и В обладают тем свойством, что если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то противнику невыгодно отклоняться от своей оптимальной стратегии.

Множество оптимальных смешанных стратегий соответственно игроков А и В обозначим через (S_A)^О и (S_B)^О.

Полным решением игры в смешанных стратегиях называется трехэлементная совокупность {(S_A)^O,(S_B)^O,V}. Любая пара оптимальных стратегий P^O и Q^O соответственно игроков А и В и цена игры в смешанных стратегиях V образуют частное решение в смешанных стратегиях.

Понятия выпуклого мн-ва, выпуклой ф-ии и седл. точек действительной ф-ии двух векторных аргументов.

Мн-во в называется выпуклым, если ∀ и Или выпуклоемн-во – мн-во, которое с любыми двумя своими точками содержит и весь соединяющий их отрезок.

Числовая ф-ия называется выпуклой на выпуклом мн-ве , если ∀ точек и произвольного числа справедливо нерав-во (1) (При и нерав-во (1), превращающееся в рав-во, всегда справедливо).

В этом определении - точка конечномерного евклидового пр-ва. На мн-во налагается условие выпуклости для того, чтобы ∀ двух его точек точка при любом также принадлежала мн-ву .

Пусть - действительная ф-ия двух векторных аргументов , заданная на декартовом произведении мн-тв и . Точка , называется седл. точкой ф-ии на декартовом произведении , если ∀ (2) Левое нерав-во (2) говорит о том, что максимум ф-ии на мн-веX достигается в точке , т.е. . Правое нерав-во (2) означает, что минимум ф-ии на мн-ве достигается в точке , т.е. . Поэтому двойное нерав-во (2) эквивалентным образом можно переписать в виде двойного рав-ва (3)

Свойства равнозначности и взаимозаменяемости седловых точек действительной функции двух векторных аргументов.

Теорема: Пусть и - две седловые точки матричной игры. Тогда:

 

a) и являются седловыми точками;

 

b) .

Свойство а называют обычно свойством прямоугольности (все седловые точки составляют прямоугольное множество (рис. 1), а свойство b означает, что игроки имеют постоянные выигрыши во всех седловых точках. Эти два свойства называют свойствами взаимозаменяемости и эквивалентности.

 

Рисунок 1