Выигрыш-критерий Гурвица оптимальности стратегий во множестве чистых стратегий

 

Критерий Гурвица был выдвинут в 1951 году Леонидом Гурвицем, как некоторая альтернатива, попытка разработать промежуточный критерий, который учитывает критику критериев Вальда и максимакса. В научной литературе он именуется критерием Гурвица: «Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица с коэффициентом оптимизма λ [0,1] оптимальности чистых стратегий относительно выигрышей».

Данный критерий позволяет учитывать комбинацию наихудших состояний. Смысл его состоит в нахождении по специальной формуле эффективности всех стратегий игрока А и последующее сравнении данных показателей эффективности для выбора наиболее оптимальной стратегии, при условии полной неопределённости, т.е. вероятности состояния природы нам неизвестны. Другими словами, при выборе решения мы находим некоторый средний результат при состоянии, находящемся между крайним пессимизмом и безудержным оптимизмом.

Критерий Гурвица целесообразно применять в следующих ситуациях:

1. Информация о состояниях окружающей среды отсутствует или недостоверна;

2. Необходимо считаться возможным появлением наихудшего и наилучшего состояния природы;

3. Допускается некоторый риск.

Рассмотрим игру с природой размера m x n, m 2, n 2, с матрицей A= (a_ij), где i=1,2,…,m, а j=1,2,…,n. Пусть A₁,A₂,…,A_m– чистые стратегии игрока А и П₁,П₂,...П_n– состояния природы П. Вероятности состояний неизвестны.

Введём специальный коэффициент λ [0,1], которым обозначим количественную «меру оптимизма» игрока А при выборе стратегии. Данный коэффициент выбирает сам игрок, на основании интуиции, личного опыта, состояния окружающей среды или на основе статистических исследований результатов принятия решений.

Эффективность чистой стратегии A_i в смысле критерия Гурвица [(Hur)^p (λ)] характеризуется показателем:

(Hur)^p_i (λ)= (1- λ)W_i + λM_i, i = 1,2,…,m, (2.1)

где W_i и M_i - показатели эффективности стратегии A_i соответственно по критерию Вальда и по максимаксному критерию.

Таким образом, Игрок А при использовании критерия Гурвица с коэффициентом λ [0,1] занимает более взвешенную позицию, чем если бы он применил критерий Вальда или максимаксный критерий.

Если открыть скобки в равенстве (2.1) и несколько преобразовать данное выражение, то можно получить показатель эффективности (Hur)^p_i (λ) в форме линейной функции от аргумента λ [0,1] с угловым коэффициентом (M_i -W_i):

(Hur)^p_i (λ) = (M_i -W_i) λ + W_i (2.2)

Ценой игры в чистых стратегиях по критерию Гурвица с коэффициентом оптимизма λ относительно выигрышей или (Hur)^p (λ)-ценой в чистых стратегиях называется максимальный из показателей эффективности:

(2.3)

Оптимальной во множестве чистых стратегий по критерию Гурвица с коэффициентом λ относительно выигрышей, или (Hur)^p (λ) – оптимальной во множестве , называется чистая стратегия A_k с наибольшим (Hur)^p (λ)-показателем эффективности:

(2.4)

Из определений (2.2) и (2.3) очевидно, что критерий Гурвица оптимальности чистых стратегий относительно выигрышей при λ = 0 превращается в критерий Вальда оптимальности чистых стратегий, а при λ = 1 – в максимаксный критерий оптимальности чистых стратегий.

Составим общий алгоритм нахождения оптимальной чистой стратегии игрока А относительно выигрышей с использованием критерия Гурвица:

1) Выбираем по строкам наименьший выигрыш и заполняем колонку W_i;

2)Выбираем по строкам наибольший выигрыш и заполняем колонку M_i;

3)Находим эффективность чистой стратегии по формуле:

(Hur)^p_i (λ)= (1-λ)W_i+λM_i; результаты заносим в соответствующую колонку в таблицу;

4)По методу максимина (критерий Вальда) и максимакса определяем наибольший из всех расчётных выигрышей в колонках W_i и М_i; по наибольшему значению (Hur)^p_i определяется оптимальная чистая стратегия данного игрока.

5)Для разрешения конфликтной ситуации составляем таблицу Гурвица относительно игрока В. В таблице меняем платёжную матрицу.

6)Далее также применяем обобщенный критерий Гурвица и метод максимина относительно игрока В.

7)Игрок, разрешающий конфликтную ситуацию определяется по наибольшему расчётному выигрышу из соответствующих оптимальных стратегий игроков, т.е. используется формула

Выбор показателя оптимизма λ логичен: вместо того, чтобы придерживаться двух крайностей в оценке ситуации в большинстве случаев целесообразно придерживаться некоторой промежуточной позиции, которая учитывает как наихудшее, так и наилучшее поведение природы.