Максимаксный критерий оптимальности стратегий во множестве чистых стратегий

Является противоположностью критерия Вальда. Представляет собой частный случай обобщенного критерия Гурвица относительно выигрышей, когда коэф. выбираются следующим образом:

Оптимальной среди чистых стратегий по максимаксному критерию является стратегия А_io с максимальным показателем эффективности:

для матрицы выигрышей,

для матрицы потерь.

Т.е. стратегия, максимальный выигрыш при которой максимален среди максимальных выигрышей всех чистых стратегий. Поэтому оптимальной будет стратегия, при которой (хотя бы) один из выигрышей является максимальным среди выигрышей всех чистых стратегий.Оптимальная по максимаксному критерию стратегия гарантирует игроку А возможность наибольшего выигрыша, равного максимаксу.

Для максимаксного критерия показатели пессимизма и оптимизма равны соответственно , . Таким образом, максимаксный критерий является критерием крайнего оптимизма, так как ориентирует ЛПР на наилучшее, благоприятнейшее для него состояния природы и, следовательно, на порой неоправданно легкомысленное поведение при выборе стратегий. Вместе с тем, в некоторых ситуациях этим критерием пользуются осознанно, например, в ситуации когда перед игроком стоит дилемма: либо получить наибольший выигрыш, либо стать банкротом.

Максимаксный критерий оптимальности смешанных стратегий

В экономике нередки обстоятельства, вынуждающие пользоваться этим критерием осознанно, например, в ситуации, когда перед игроком А стоит следующий выбор: получить наибольший выигрыш или стать банкротом.

Данный подход распространим к принятию решения на смешанные стратегии Р=(р_1, р_2,.....,p_m).

Показатель эффективности смешанной стратегии Р по maxmax критерию или М - показателем эффективности стратегии Р (обозначается через М (Р)): М(Р) = max{H(P;П_j): j=1,2,..,n}.

Цена игры в смешанных стратегиях по maxmax критерию - наибольший из показателей эффективности М(Р) всех смешанных стратегиях Р Є S (обозначается как M_s).

M_s=maх{M(P): Р Є S}= max{max{H(P;П_j): j=1,2,..,n}:Р Є S}

Данное равенство говорит о том, что цена игры в смешанных стратегиях есть максимакс в смешанных стратегиях, т.е. максимальный выигрыш игрока А среди выигрышей при всех смешанных стратегиях Р Є S.

Теорема 1.12.1. В любой игре с природой существует стратегия, оптимальная во множестве смешанных стратегий по максимаксному критерию.

Теорема 1.12.2. По максимаксному критерию цены игры в смешанных и чистых стратегиях равны: M_s= M_s^c

Следствие 1.12.1 (из теоремы 1.12.2). Чистая стратегия (ЧС), оптимальная во множестве ЧС по максимаксному критерию, является оптимальной по тому же критерию и во множестве СС.

Следствие 1.12.2 (из следствия 1.12.1) В любой игре с природой существует чистая стратегия, оптимальная по максимаксному критерию во множестве смешанных стратегий.

Теорема 1.12.3. Для того чтобы смешанная стратегия Р=(р_1, р_2,.....,p_m) со спектром supp P ={ i₁,i₂,...,i_k },1≤k≤m, была оптимальна по максимальному критерию во множестве СС необходимо и достаточно выполнение следующих 2 условий:

a. У природы существует {i₁,i₂,...,i_k}-состояние относительно максимального критерия;

b. Показатели эффективности ЧС А_i1, Ai2,..., A_ik равны цене игры по максимальному критерию.

Следствие 1.12.3 (из теоремы 1.12.3) Если выполнять условия a и b, то любая СС Р=(р_1, р_2,.....,p_m) со спектором supp P *{ i₁,i₂,...,i_k }, 1≤k≤m, будет оптимальной по максимальному критерию во множестве S СС.

Теорема 1.12.4. Множество S^O(M) CC, оптимальных по максимаксному критерию во множестве S СС, является объединением выпуклых оболочек conv(S^C) ^O(M)(j), j=1,2,..,n:

S^O(M) = ^O(M)(j)

Множество S^O(M) смешанных оптимальных стратегий по максимаксному критерию является собственным подмножеством выпуклой оболочки conv(S^C) ^O(M) множества чистых оптимальных стратегий по тому же критерию, т.е. S^O(M) ⊂ conv(S^C) ^O(M) и S^O(M) ≠ conv(S^C) ^O(M).

Теорема о соотношении множеств стратегий, оптимальных во множестве чистых и во множестве смешанных стратегий по максимаксному критерию

Теорема: по максимаксному критерию цены игры в смешанных и в чистых стратегиях равны

M_S=M_S^C

Следствие: чистая стратегия, оптимальная во множестве чистых стратегий по максимаксному критерию, является оптимальной по тому же критерию во множестве смешанных стратегий.