Теорема о симметричной матричной игре

Матричная игра называется симметричной, если ее платежная матрица кососимметрическая

Теорема: для симметричной матричной игры справедливы следующие утверждения:

1) Число m чистых стратегий игрока А совпадает с числом n чистых стратегий игрока В: m=n

2) Размерности векторов смешанных стратегий игроков А и В одинаковы

3) Множества S_A смешанных стратегий игрока А совпадает с множеством S_B смешанных стратегий игрока В: S_A=S_B

4) Симметричная матричная игра справедлива, т.е. ее цена V=0

5) Множество (S_A)⁰ оптимальных стратегий игрока А совпадает с множеством (S_B)⁰ оптимальных стратегий игрока В: (S_A)⁰ = (S_B)⁰

 

Теорема о сведении решения пары двойственных друг другу стандартных задач линейного программирования к решению матричной игры

Рассмотрим вопрос о сведении решения любой пары взаимно двойственных задач линейного программирования к решению матричной симметричной игры. (матрица называется симметричной, если её платежная матрица кососимметрическая. Квадратная м-ца называется кососим-ской, если , т.е. если м-ца А равна своей транспонированной м-це с противоположным знаком: . Из этого следует, что косо-кая м-ца должна быть квадратной и все элементы её главной диагонали = 0).

Решение следующей пары взаимно двойственных задач линейного программирования:

1. найти при ограничениях x_j ≥ 0, j=1,2,…,m;

2. найти при ограничениях y_i ≥ 0, i=1,2,…,n;

эквивалентно решению симметричной матричной игры с матрицей

где – квадратная нулевая матрица порядка m (все элементы – нули); – квадратная нулевая матрица порядка n; – квадратная нулевая матрица 1-го порядка, отождествляемая со своим единственным элементом – нулем;

и – соответственно матрица коэффициентов при неизвестных и вектор-столбец свободных членов системы ограничений в задаче пункта 1; – вектор-строка коэффициентов при неизвестных целевой функции задачи пункта 1; А^Т, В^Т, С^Т – транспонированные матрицы.

Точнее говоря, если является оптимальной стратегией любого игрока в игре с матрицей D и , то – оптимальное решение задачи пункта 1, а – оптимальное решение задачи пункта 2.

 

Основные понятия игры с природой. Матрица выигрышей сознательного игрока

Во многих задачах финансово-экономической сферы принятие решения осложняется наличием неопределенности, заключающейся в неполноте информации об окружающей среде. Такую неопределенность могут порождать различные причины. Поэтому в таких задачах принятие решения зависит от реальных условий, которые называют в соответствующей математической модели «природой».

Саму же модель называют «игрой с природой».

«Природа» может выступать как антагонистическая сторона, а может как кооперативная среда.

Игру с природой можно определить как парную игру, в которой сознательный игрок А, заинтересованный в наиболее выгодном для него исходе игры, выступает против участника, совершенно безразличного к результату – природа (обозначим его П).

Игра с природой — математическая модель ситуаций, когда осознанно действует только один игрок (обозначим его через А), принимающий решение, и когда исход игры зависит не только от решений игрока А, но и от состояния “природы” (обозначим через П), т. е. не от сознательно противодействующего противника, а от объективной, невраждебной действительности.

Природа – это:

1. объективная действительность;

2. игрок, но не противник игрока А, потому что не действует осознанно против игрока А, а принимает неопределенным образом то или иное свое состояние, не преследуя конкретной цели и безразлично к результату игры.

Статистик – игрок в игре с природой, действующий осознанно, т.е. лицо, принимающее решение (игрок А).

Одним из важных предположений в теории игр с природой является предположение о том, что в любой момент времени природа П может находиться только в одном (но неизвестно, в каком) из n состояний П1, П2, …, Пn, то есть состояния природы разделены между собой во времени.

Совокупность состояний природы П формируется либо на основе имеющегося опыта анализа состояний природы, либо в результате предположений и интуиции экспертов.

Для описания игры с природой необходимо также множество стратегий игрока A: .

Показателем благоприятности состояния природы для увеличения выигрыша называется наибольший выигрыш при этом состоянии, т.е. наибольший элемент в j-м столбце матрицы игры: , ,

Риском игрока A при выборе им стратегии в условиях состояния природы называется разность между показателем благоприятности состояния природы и выигрышем

Матрица рисков