Принципы доминирования стратегий в играх с природой относительно выигрышей и относительно рисков

Говорят, что стратегия A_k (или k-я строка (a_k1,a_k2,…,a_kn) матрицы А) доминирует, строго доминирует, дублирует относительно выигрышей стратегию A_l (или l-ю строку (a_l1,a_l2,…,a_ln)), если выполняются соответственно неравенства a_kj≥a_ij, a_kj>a_lj, j=1,2,…,n.

Если какая-нибудь из стратегий игрока А доминирует относительно выигрышей каждую из отдельных его стратегий, то она называется доминантной стратегией относительно выигрышей или доминантой относительно выигрышей и должна выбираться игроком А в качестве предпочтительной, поскольку его выигрыши при этой стратегии не меньше соответствующих выигрышей при любой из остальных стратегий. Если же матрица игры не обладает указанным свойством, т.е. у игрока А нет доминанты относительно выигрышей, то нужно посмотреть, нет ли у него доминируемых относительно выигрышей стратегий. При наличии таковых, соответствующие им строки матрицы можно удалить при нестрогом доминировании, и нужно удалить – при строгом. Если у матрицы имеются дублирующие (дублируемые) относительно выигрышей стратегии, то нужно удалить все из них, за исключением одной. Редуцирование матриц выигрышей, состоящее в реализации таких действий, приводит к уменьшению количества строк, т.е. – к уменьшению размерности матрицы и, следовательно, к ее упрощению.

Таким образом, в играх с природой можно и полезно пользоваться принципом доминирования относительно выигрышей стратегий игрока А (строк матрицы игры). Однако принцип доминирования относительно выигрышей стратегий (состояний) природы (столбцов матрицы игры) недопустим, поскольку природа не выбирает свои состояния с целью по возможности большего уменьшения выигрышей игрока А, для нее нет более или менее эффективных состояний. Это обстоятельство является еще одним свойством, отличающим игры с природой от антагонистических матричных игр.

Будем говорить, что стратегия A_k (или k-я строка (r_k1,r_k2,…,r_kn) матрицы R) доминирует, строго доминирует, дублирует относительно рисков стратегию A_l (или l-ю строку (r_l1,r_l2,…,r_ln)), если выполняются соответственно неравенства r_kj≤r_lj, r_kj<r_lj, j=1,2,…,n.

Если какая-нибудь стратегия игрока А доминирует относительно рисков каждую из остальных его стратегий, то она называется доминантной стратегией относительно рисков или доминантой относительно рисков и должна выбираться игроком А в качестве предпочтительной, поскольку его риски при этой стратегии не больше соответствующих рисков при любой из остальных стратегий.

Теорема: для того чтобы стратегия A_k доминировала, строго доминировала, дублировала стратегию A_l относительно выигрышей необходимо и достаточно, чтобы стратегия A_k соответственно доминировала, строго доминировала, дублировала стратегию A_l относительно рисков.

 

Понятие о принятии решений в условиях риска, в условиях неопределенности, в условиях полунеопределенности

Риск rij игрока А при стратегии Ai и состоянии природы Пj, называется разность между показателем благоприятности β_j состояния природы Пj и выигрышем а_ij:

, i=1,...,m; j=1,...,n.

Если известны вероятности q₁,q₂,…,q_n соответственно состояний П₁,П₂,…,П_n природы П (доброкачественная неопределенность) или принята какая-либо гипотеза о распределении этих вероятностей (н-р, гипотеза об относительных величинах), и лицо, принимающее решение, относится с полным доверием к этим вероятностям, то в этих случаях говорят о «принятии решения в условиях риска».

Так как в каждый момент времени природа П может случайным образом находиться только в одном из своих состояний, то события, состоящие в том, что природа П находится в состоянии П_j, j=1,…,n, случайны, несовместны и образуют полную группу. Поэтому, как известно из теории вероятностей, сумма вероятностей этих событий равна единице.

Состояние природы, вероятность которого равна нулю, не играет существенной роли в анализе ситуации и потому его можно исключить из рассмотрения. В силу этого в дальнейшем, будем считать все вероятности природы положительными.

Таким образом, вероятности q₁,q₂,…,q_n, соответственно состояний П₁,П₂,…,П_n, образующие вектор q=(q₁,q₂,…,q_n), удовлетворяют условиям

q_j>0, j=1,2,…,n, =1.

В случае же, когда вероятности состояний природы неизвестны и нет никакой возможности получить о них какую-либо статистическую информацию, то говорят о «принятии решения в условиях (полной) неопределенности».

Если же к известным вероятностям природы лицо, принимающее решение, относится не абсолютно, а с некоторой степенью доверия, то будем говорить, что «решения принимаются в условиях полунеопределенности».