Множество, количество и счет

Представления о количестве и счете начинаются с формирования дочисловых количественных отношений: равенство – неравенство предметов по величине, равенство – неравенство групп по количеству входящих в них предметов. Ребенок начинает понимать математические отношения «больше», «меньше», «поровну». Только после этого начинается обучение его счету, дается представление о числах в пределах десяти, об отношениях между последовательными числами, о количественном составе числа из отдельных единиц и двух меньших чисел.

Важно научить ребенка детей дифференцированно понимать вопросы: «Какой?» (качество и признак предмета), «Сколько?» (количество предметов), «Который?» (место предмета среди других).

В старшей группе продолжают формировать понимание образования чисел, демонстрируя это на основе сопоставления двух совокупностей предметов. Дети должны понять принцип получения каждого последующего числа из предыдущего и предыдущего из последующего. В связи с этим целесообразно последовательно получить 2 новых числа, например 5 и 6. Как и в средней группе, показу образования каждого следующего числа предпосылается повторение того, как было получено предыдущее число. Таким образом, всегда сравнивается не менее чем 3 последовательных числа.

Для понимания значения счета и приемов поштучного соотнесения элементов двух сравниваемых множеств (один к одному) в выявлении отношений «равно», «больше», «меньше» необходимо либо сосчитать предметы и сравнить их число, либо сопоставить предметы 2 групп (подгрупп) один к одному, используются разные способы сопоставления: наложение, приложение, применение эквивалентов. Это позволяет детям увидеть, что в одной из групп оказался лишний предмет, значит, их больше, а в другой - одного предмета не хватило, значит, их меньше. Опираясь на наглядную основу, они сравнивают числа.

Уравнивая группы добавлением одного предмета к меньшему их числу или удалением одного предмета из большего их числа, старшие дошкольники усваивают способы получения каждого из сравниваемых чисел. Рассматривание взаимосвязи отношений «больше», «меньше» способствует им в дальнейшем понять взаимно-обратный характер отношений между числами (например, 7 > 6, 6 < 7).

Дошкольников также обучают умению рассказывать, как было получено каждое число, т. е. к какому числу предметов и сколько добавили или от какого числа предметов и сколько отняли (убрали). Например, к 6 конфетам добавили 1, стало 7 конфет. Из 7 конфет взяли 1 конфету, осталось 6 конфет и т. п. Если дети затрудняются дать четкий ответ, можно задать наводящие вопросы: «Сколько было? Сколько добавили (убрали)? Сколько стало?»

Лучше понять способы получения каждого числа помогает смена дидактического материала, варьирование заданий. Получая новое число, дошкольники сначала действуют по указанию педагога («К 5 чашкам добавьте 1 чашку»), а потом самостоятельно преобразуют совокупности. Добиваясь осознанных действий и ответов, воспитатель варьирует вопросы. Он спрашивает, например: «Что надо сделать, чтобы стало 7 бабочек? Если к 8 кружкам добавить 1, сколько их станет?» и т.п..

Для закрепления знаний необходимо чередовать коллективную работу с самостоятельной работой детей с раздаточным материалом. Ребенок сопоставляет 2 совокупности, раскладывая предметы на карточке с 2 свободными полосками. Демонстрация приемов получения нового числа (сравнение 3-х соседних членов натурального ряда) обычно занимает не менее 8-12 мин, чтобы выполнение однообразных заданий не утомляло детей, аналогичная работа с раздаточным материалом проводится чаще в следующей организованной учебной деятельности.

В старшей группе упражнения в отсчете предметов продолжают усложняться. Наряду с заданиями на воспроизведение сразу 2 групп предметов разного вида («Отсчитайте 5 звездочек и 6 треугольников») или 2 групп предметов одного вида, но отличающихся либо цветом, либо формой, либо размером (7 больших и 8 маленьких мячей), дают задания не только отсчитать 2 группы предметов, но и расположить их в определенном месте, например в указанной части листа бумаги: вверху, внизу, слева, справа, посередине. Позднее по указанию воспитателя дети помещают предметы вдоль верхнего или нижнего, правого или левого края листа, в верхнем правом, в нижнем левом углах. Перед выполнением таких заданий, воспитатель специально тренирует детей в нахождении соответствующих частей листа бумаги. Старших дошкольников приучают внимательно выслушивать задание, запоминать его, точно выполнять и рассказывать о том, что и как сделали. Вначале им трудно дать полный четкий ответ, поэтому на начальном этапе воспитатель помогает наводящими вопросами. Например, спрашивает ребенка: «Сколько грибочков и где ты положил? Сколько ягод и где ты положил? А теперь расскажи обо всем, что сделал!» Ответ по частям превращается в целостный рассказ о выполненном задании. Если ребенок затрудняется выполнить задание, воспитатель, помогая ему, начинает ответ: «7 грибочков я положил...», а ребенок заканчивает. В речи старших дошкольников обязательно должны отражаться связи между количеством предметов, их качественными признаками и пространственным расположением. Изменение количественных соотношений между одними и теми же предметами, а также места их расположения обеспечивают абстрагирование числа от качественных и пространственных признаков множеств предметов. Детей начинают учить повторять задание до его выполнения, обеспечивая развитие планирующей функции речи.

Для развития деятельности счета существенное значение имеют упражнения в счете с активным участием разных анализаторов: счет звуков, движений, счет предметов на ощупь.

После ознакомления с образованием очередного числа детям предлагают задания, связанные со счетом звуков, движений и пр. в пределах данного числа. Так объем счета постепенно увеличивается до 10.

В старшей группе упражнения в счете предметов на ощупь несколько усложняют. Например, как и в средней группе, дети считают пуговицы, нашитые на карточку, но карточку они держат за спиной. Используют пуговицы более мелких размеров. Детям дают задания сосчитать пуговицы на ощупь с закрытыми глазами, сосчитать камешки, перекладывая их из руки в руку. Целесообразно проводить упражнения в такой форме, которая обеспечивала бы включение в работу всех детей.

Счет звуков в старшей группе связывают со счетом и отсчетом предметов. Характер заданий постепенно усложняют. Например, вначале дошкольникам предлагают сосчитать звуки, затем отсчитать столько же игрушек, позднее одновременно считать звуки и откладывать игрушки, а закончив счет, сказать, сколько звуков услышали и сколько игрушек поставили. Пятилетним детям можно предлагать считать звуки с закрытыми глазами.

Старших дошкольников упражняют также в счете и воспроизведении движений. Дети считают движения, выполняемые воспитателем или другими детьми. Воспроизводят количество движений по образцу и по названному числу. («Хлопните в ладоши столько раз, сколько звездочек на карточке», «Присядьте столько-то раз»). Воспитатель организует упражнения так, чтобы обеспечить охват сразу большого количества детей. В старшей группе в задания включают более сложные движения: подбросить мяч, попрыгать со скакалкой. Наиболее сложно для ребят задание сделать определенное количество шагов в указанном направлении. Например, ребенку предлагают: «Сделай 6 шагов вперед, повернись налево, сделай еще 2 шага...» Дети, передвигаясь, одновременно тренируются в отсчете шагов и в ориентировке в пространстве. Установление количественных отношений между множествами, воспринимаемыми разными анализаторами, способствует обобщению счетной деятельности.

Важно, чтобы в речи старших дошкольников отражались связи между количеством движений, звуков, предметов, воспринимаемых зрительно или на ощупь. («7 раз хлопнул в ладоши, потому что на карточке 7 квадратов», «Я подбросил мяч 5 раз, потому что услышал 5 звуков» и т. п.).

Упражнения в счете на ощупь, в счете звуков и движений связывают с разностным сравнением чисел. Дети выполняют задания: «Присядь на 1 раз больше, чем услышал звуков», «Найди карточку, на которой на 1 квадрат больше (меньше), чем было звуков».

В старшей группе детям показывают независимость числа предметов от их размера, площади и формы расположения, т.е. для ответа на вопрос сколько? не имеет значения, в каком направлении ведется счет. Дошкольникам дают убедиться в этом самим, пересчитывая одни и те же предметы в разных направлениях: слева направо и справа налево; сверху вниз и снизу вверх. Позднее детям дают представление о том, что считать можно предметы, расположенные не только в ряд, но и самыми различными способами (по кругу, парами, неопределенной группой). Старшим дошкольникам показывают разные способы счета одних и тех же предметов и учат находить более рациональные, позволяющие быстро и правильно сосчитать предметы. Пересчет одних и тех же предметов разными способами (3-4 способа) убеждает детей в том, что начинать счет можно с любого предмета и вести его в любом направлении, но при этом надо не пропустить ни один предмет и ни один не сосчитать дважды.

Если ребенок ошибается, то выясняют, какая ошибка допущена (пропустил предмет, один предмет сосчитал дважды). Воспитатель, пересчитывая предметы, может намеренно допустить ошибку. Дети следят за его действиями и указывают, в чем заключалась его ошибка. Делают вывод о необходимости хорошо запомнить предмет, с какого был начат счет, чтобы не пропустить ни один из них и один и тот же предмет не сосчитать дважды. Варьируя задания, усложняя форму расположения предметов, воспитатель закрепляет соответствующие представления и способы действия.

Большое место в старшей группе отводят упражнениям в составлении и подборе равночисленных множеств, которые позволяют дать детям представление о том, что множествам, содержащим одинаковое количество элементов, соответствует одно-единственное натуральное число, а одному и тому же натуральному числу соответствуют численности множеств самых разнообразных предметов. При этом воспитатель использует разные варианты заданий. Например, дошкольникам предлагают отсчитать 3 разновидности игрушек (плоскостной раздаточный материал) по названному числу и разложить на 3 полосках или в 3 рядах так, чтобы было видно, что игрушек поровну, т. е. положить одну игрушку под другой.

Детей обучают умению рассказывать, поскольку у них игрушек каждой разновидности, и делать обобщение. На первом этапе детям предлагают сначала рассказать, поскольку у них разных предметов (например «У меня на верхней полоске 5 грибочков, на средней 5 цветочков, на нижней 5 яблок»,- перечисляет ребенок. «Правильно, одинаковых игрушек у тебя по 5»,- обобщает воспитатель.). Ребенок повторяет обобщение. Постепенно дети овладевают умением самостоятельно описывать, сколько у них игрушек в каждой группе, и делать обобщения. Важно, чтобы воспитатель обучал их пользоваться разными формулировками ответа, включающего обобщение, например: «На верхней полоске 6 кругов, на средней - 6 квадратов, на нижней - 6 треугольников, всех фигур поровну - по 6»; или: «Всех фигур по 6: 6 кругов, 6 квадратов и 6 треугольников». Мысль ребенка должна следовать как от частного к общему, так и от общего к частному.

Детей шестого года жизни обучают умению делить предмет на равные части и устанавливать отношения между целым и частью. Однако особо следует отметить, что при изучении деления целого на части начинать надо со складывания, а не с разрезания. Дело в том, что при разрезании часть воспринимается детьми как самостоятельно существующий объект, как отдельность, независимая от целого.

Материалом для деления целого на части на первых этапах могут служить геометрические фигуры из бумаги — круги, квадраты, прямоугольники разных размеров, т. е. то, что можно складывать (сгибать). Во всех случаях деления целого на части следует обращать внимание детей на то, что делить уславливаемся на равные части, что часть меньше целого, а целое больше каждой своей части.

Так, складывая, но, еще не разрезая разные предметы, дети сами делят их на части, определяя количество равных частей в целом (например, складывая полоску бумаги пополам, а потом еще раз пополам, то, разогнув ее, видно четыре части. Если длинную веревку сложить трижды пополам и сосчитать после этого количество ее частей, то их окажется восемь и т. д.).

Дошкольникам также предлагают определить геометрическую форму полученных частей фигур, например, при делении квадрата пополам,— получается две части, каждая из которых будет уже не квадратом, а прямоугольником. А если квадрат сложить дважды пополам, получим четыре части, причем каждая из них тогда будет малым квадратом. Но квадрат можно сложить пополам и иначе — по диагонали и получить два равнобедренных треугольника, а если еще раз сложить пополам эти треугольники, получим четыре меньших равнобедренных треугольника.

Результаты практических упражнений дети отражают в речи: «Я сложил квадрат пополам и получил две части — два прямоугольника; я сложил еще раз пополам и получил из квадрата четыре равные части — четыре маленьких квадрата» (развертывая, ребенок считает и показывает эти части).

В итоге всех этих упражнений дети могут быть подведены к выводу, что каждый раз при делении пополам получаются две равные части, а если эти две равные части еще раз разделить пополам, то получаются всегда четыре равные части.

Как только старшие дошкольники хорошо усвоили понимание простейших отношений между частью и целым и научились правильно соотносить слова «половина целого» (или «одна вторая часть целого»), «одна четвертая часть целого» можно перейти к делению целого не только путем складывания, но и разрезания (хлеба, пряника, яблока и др.). Однако части должны обязательно восстанавливаться вновь в целое, путем наклеивания (позднее восстанавливаться в целое без жесткой фиксации, т. е. путем складывания.)

Последовательность обучения должна быть именно такой (сначала сгибание, только потом разрезание предметов), так как задача обучения состоит не в самом процессе разрезания, а в формировании понимания отношений между частями и целым, в правильном назывании каждой части, равной друг другу («половина», «одна вторая часть», «одна четвертая часть»), и показе этих частей.

На основе деления хлеба, яблока на две и четыре части старшие дошкольники приходят к обобщающему выводу: «Половинкой можно назвать тогда, когда хлеб или яблоко или что-нибудь другое разрезано на две равные части, а четвертушкой, когда хлеб или яблоко или другой предмет разрезаны па четыре равные части». «А если хлеб или яблоко мы разрежем на неравные части, как тогда надо сказать?» — ставит вопрос воспитательница. «Яблоко разрезано на неравные части»,— отвечают дети.

Так жизненный опыт детей уточняется и обогащается знаниями, полученными в процессе обучения. Воспитатель предоставляет возможность детям самим поупражняться в делении предметов (веревка, лента, тесьма и т. д.) на две и четыре равные и неравные части, спросить, что у них получилось (сколько частей, какие это части и как называются). При этом для закрепления связи части с целым следует обращать внимание детей на то, что часть меньше целого, а целое больше каждой своей части.

Выполняя вместе с детьми упражнения на деление предмета, а также припоминая факты деления предметов на части, которые им приходилось много раз наблюдать у себя дома, в детском саду и т. д., воспитатель обогащает и уточняет представления детей о делении предметов на части.

В старшей группе начинают углублять представление о числе. Дошкольников знакомят с составом из единиц чисел в пределах 10 (4 - это 1, 1, 1 и еще 1). Для того чтобы выделить состав множества (из элементов) и на этой основе дать детям представление о составе числа (из единиц), подбирают такие совокупности, в которых каждый предмет отличается от других. Надо не только показать детям, что всякое множество состоит из отдельных элементов (конкретных предметов или групп), но и разъяснить им отношение числа к единице, т. е. подчеркнуть количество единиц в числе.

Состав множества из отдельных элементов особенно нагляден, когда каждый элемент отличается от другого каким-либо признаком (цветом, размером, предметным содержанием и др.). Поэтому сначала используют предметы одного вида, отличающиеся друг от друга либо окраской, либо размером, либо формой, позднее – предметы, объединенные одним родовым понятием (например, комплекты игрушек: посуда, мебель, одежда и др.), а также плоскостные изображения предметов или предметные картинки.

Состав каждого числа иллюстрируют не менее чем на 2-3 видах предметов. Выполняя задание, дошкольников побуждают с помощью вопросов («Поскольку ты взял разных фруктов? Сколько их всего? Как получилось у тебя 3 предмета фруктов?») рассказывать, как составлена группа, поскольку в ней разных предметов и сколько их всего, называть и предметы, и их количество («1 яблоко, 1 груша, 1 банан - всего 3 предмета фруктов»).

Важно, изучая количественный состав числа из единиц, подчеркнуть еще раз, что единица не есть отдельный предмет, а может быть отражением и целой группы. Воспитательница показывает детям множество кружков разного цвета, предлагая им определить количество частей в нем. Дети говорят, что данное множество составлено из пяти частей. «Назовите цвет и количество частей данного множества».— «В данном множестве пять частей разного цвета: одна часть — это красные кружки, одна — синие, одна — желтые, одна — зеленые и одна оранжевые кружки. А всего пять частей».— «Из скольких единиц состоит число пять?» — «Из пяти отдельных единиц».— «Что же может отражать единица?» — «Она может отражать один отдельный предмет или одну группу предметов»,— отвечают дети.

В организованной учебной деятельности дошкольники усваивают количественный состав числа из единиц; уясняют, что число отражает соответствующее количество единиц, убеждаются, что число является показателем мощности множества. «Составьте мне множество из трех частей»,— предлагает воспитательница. «Одна часть — треугольники, одна часть — квадраты и одна часть — круги; а всего три части»,— говорят дети.

Механизм формирования этих отношений состоит из образования ряда ассоциации. Строго дозируемая, последовательная система организованной учебной деятельности создает условия для постепенного образования все новых и новых связей, формирующих знания детей. Развитие этих знаний идет от образования элементарного представления о множествах и понимания их взаимосвязей к пониманию числа как показателя мощности множества.

При изучении состава каждого числа воспитатель может использовать следующие игры: «Найди пару» (Воспитатель просит ребенка назвать любое число до 10, например 6. После берет одну карточку с цифрой, а ребенка просит подобрать другую, так чтобы их числа при сложении образовывали число 6. Можно использовать также устный вариант этой игры).

«Дополни число до...» (Воспитатель предлагает задание: «Число, которое я назову, нужно дополнить до 7. Я называю 6. Сколько единиц не хватает, чтобы стало 7?» Поначалу ребенку легче будет справиться с заданием, если использовать счетный материал, постепенно нужно перейти к выполнению подобных заданий без опоры на наглядность).

Старших дошкольников впервые начинают учить пользоваться порядковыми числительными. Так как многие дети не различают порядковые и количественные числительные, не осознают их значение воспитателю необходимо раскрыть их значение. Сделать это позволяет сопоставление порядкового значения числа его с количественным значением. Когда хотят узнать, сколько предметов, их считают: один, два, три, четыре и т. д., т. е., считая так, находят ответ на вопрос сколько? Но когда нужно найти очередность, место предмета среди других, считают по-иному. Отвечая на вопросы который? какой по счету?, считают: первый, второй, третий и т. д. Дошкольникам необходимо объяснить, что вопросы «Который?», «Какой по счету?» требуют особого пересчитывания. При этом каждый предмет получает свой номер в ряду, и для ответа на вопрос «На котором месте?» или «Который по счету?» существенное значение имеет направление счета. При определении порядкового номера принято считать слева направо, а в иных случаях – указывать, в каком направлении велся счет. Демонстрируя это, воспитатель вместе с детьми пересчитывает одни и те же предметы в разных направлениях, тем самым, выясняя место предмета среди других. Упражняясь в пересчитывании одних и тех же предметов, дети делают вывод, что, при определении на каком по счету месте предмет, надо указывать направление счета (например, третий слева, пятый справа и т. д.).

В качестве счетного материала сначала используют однородные предметы, отличающиеся цветом или размерами, а затем - совокупности предметов разного вида, например игрушки. В порядковом счете детей упражняют и на бессюжетном материале, например на моделях геометрических фигур, полосках разных размеров и т. п.

При обучении порядковому счету воспитатель может использовать такие игры: «Какой игрушки не стало?» (Воспитатель просит детей закрыть глаза убирает игрушку. Дети открывают глаза и определяют, какой игрушки не стало. Например, не стало зайца, он был третьим справа или вторым слева).

«Кто первым назовет» (Воспитатель показывает детям картинку, на которой в ряд изображены разнородные предметы и говорит, откуда нужно вести счет. После ударяет в молоточек, а дети подсчитывают удары и находят игрушку и называют, которая она по счету).

Некоторые дети, определяя место предмета, заменяют порядковые числительные количественными, поэтому воспитателю следует, прислушивается к тому, как дети ведут счет, и указывать на ошибки.Например, дошкольники обычнозатрудняются в согласовании числительных с существительными. Для этого воспитателю следует подобрать для счета предметы мужского рода, женского рода, например, цветные изображения яблока, груши и лимона, и показать, как в зависимости от того, какие предметы пересчитываются, изменяются слова один, два и так далее. Одно яблоко, одна груша, один лимон. Два яблока, две груши, два лимона и так далее. Очень часто дети числительное один заменяют, словом раз. В таком случае, когда ребенок начнет считать: «Раз, два, три», воспитателю следует остановить его, взять в руки, например, мячик и спросить: «Сколько мячиков?» «Один мячик», - ответит ребенок. «Правильно, один мячик. Нельзя сказать «раз мячик». И считать надо так: «один, два...»

Некоторое время порядковый счет составляет основную, главную задачу организованной учебной деятельности, проводимой еженедельно. Когда же он будет в основном усвоен, ему может быть отведена какая-то часть организованной учебной деятельности для закрепления. Порядковый счет необходимо повторять на протяжении всего года, хотя интервалы между организованной учебной деятельностью для повторения одной и той же темы могут становиться все более продолжительными.

Старших дошкольников продолжают, обучают сравнивать смежные числа, т.е. определять, какое из них больше, а какое меньше. Углубляя представление детей о сравнении смежных чисел, воспитатель на конкретных примерах раскрывает постоянство связей между смежными числами (5 всегда больше 4, а 4 меньше 5, и т. д.). С самого начала подчеркивают, что понятия «больше», «меньше» относительные, каждое число (кроме единицы) больше или меньше другого в зависимости от того, с каким числом его сравнивают (4>3, но 4 < 5). Начинают формировать представление об определенной последовательности чисел.

Детей учат сравнивать все числа в пределах 10. Начинать работу целесообразно со сравнения чисел 2 и 3, а не 1 и 2, так как при сопоставлении 1 предмета с 2-мя 1 предмет еще не воспринимается ребенком как множество, включающее 1 элемент. Также воспитателю следует помнить, что ярко выраженные свойства предмета отвлекают детей от установления количественных соотношений совокупностей.

Показать постоянство связей между числами позволяет неоднократное сравнение одних и тех же смежных чисел с опорой на сопоставление совокупностей разных предметов. Например, сопоставив 4 кукол с 5 зайцами, выясняют, что кукол меньше, чем зайцев, а зайцев больше, чем кукол. Значит, 4 меньше 5, а 5 больше 4. Проверяют, всегда ли это так. Для этого 2-3 раза меняют счетный материал. Сопоставляют другие совокупности, состоящие из 4 и 5 предметов, и делают вывод, что 5 всегда больше 4, а 4 меньше 5.

Выяснение отношений «больше», «меньше» в связи друг с другом способствует формированию представления о взаимно-обратном характере отношений между числами (5 больше 4: если к 4 добавить 1, будет 5; 4 меньше 5: если от 5 отнять 1, будет 4).

Сопоставление совокупностей предметов, отличающихся размерами, формой расположения и пр., позволяет акцентировать внимание детей на значении приемов поштучного соотнесения предметов (наложения, приложения и др.) для выяснения отношений «равно», «не равно», «больше», «меньше». Дети начинают пользоваться этими приемами как способами наглядного доказательства того, какое из 2 сравниваемых чисел больше или меньше.

Большое внимание воспитателю необходимо уделять упражнению дошкольников в уравнивании совокупностей. Уравнивая совокупность, ребенок практическим путем устанавливает разностные отношения между смежными числами.

Дошкольников учат получать не только «равенство из неравенства», но и, наоборот, «из равенства неравенство», причем сравнение чисел производят на основе сопоставления совокупностей, воспринимаемых как зрительно, так и на слух, на ощупь, на основе мышечного чувства. Выполнив задание, ребенок должен не только сказать, сколько положил предметов или сколько выполнил движений, но и объяснить, почему именно столько, т. е. сравнить числа.

Некоторые дети, сравнивая числа, называют только одно из них: «4 больше» или «3 меньше». Для того чтобы, добиться точного ответа воспитатель задает наводящие вопросы, например: «С каким числом мы сравнили число 4?», «Какого числа оно больше (меньше)?». Подчеркивая относительность выражений «больше», «меньше», воспитатель предлагает ребенку сравнить данное число с предшествующим или последующим (например: «Ты сказал, что 4 меньше. А если я назову числа 3 и 4, что ты скажешь про число 4?» Дети убеждаются, что одно и то же число может быть и больше, и меньше другого в зависимости от того, с каким числом его сравнивают. Поэтому надо называть оба сравниваемых числа и указывать, какое из них больше (меньше) какого. Иначе ответ будет неточным.

Работу по сравнению смежных чисел сочетают с упражнениями в группировке геометрических фигур, с сопоставлением размеров предметов и др., разнообразя задания. Так у детей формируют представление об определенной последовательности чисел и подводят их к пониманию взаимно-обратных отношений между смежными числами.

Величина

Умение правильно определять и соотносить величину предметов, разбираться в параметрах протяженности предметов – необходимое условие и фундамент математического развития дошкольника. От практического сравнения величин предметов ребенок пойдет дальше, к познанию количественных соотношений больше – меньше, равенство – неравенство. Формирование представлений о величине предметов и понимание отношений «длиннее – короче, выше – ниже, шире – уже, больше – меньше» позволяют наглядно показать детям скрытые математические зависимости, углублять знания о числе.

В старшей группе у дошкольников расширяется круг сопоставляемых предметов. Используют предметы, с которыми дети постоянно встречаются в различной деятельности (ленты, скакалки, шнурки, ремешки, коробки и пр.). Сопоставление величин осуществляется не изолированно, а в системе рассмотрения других свойств предметов (их предназначение, части, цвет, материал и др.). Это имеет существенное значение для умственного развития детей.

Упражнения в сопоставлении величин значительно усложняются. Дети не только определяют размерные отношения между наглядно представленными предметами, но и воссоздают подобные отношения по представлению. Например, им предлагается нарисовать или вырезать два-три прямоугольника одинаковой длины, но разной ширины; нарисовать две морковки: одну — длиннее, а другую — короче; вырезать из бумаги квадраты: один — большой, а другой — маленький.

Приобретенные детьми знания о различных параметрах протяженности должны правильно отражаться в речи: «Полоска белая толще черной полоски» или «Мне нужна длинная нитка для нанизывания бус» (а не большая, как часто говорят дети). Нужно также, чтобы эти знания дети использовали в различных видах деятельности: в рисовании, лепке, аппликации, в играх и т. д.

У старших дошкольников необходимо сформировать четкие представления об отношениях по величине между предметами, которые отражаются в словах, указывающих место предмета в ряду других: длинный, короче, еще короче, самый короткий. Еслив средней группе дети были подведены к распознаванию отношений между двумя-тремя предметами, то в старшей группе они должны освоить отношения между пятью — десятью предметами, которые образуют ряд возрастающих и убывающих величин. Усвоение этих отношений является относительно сложной задачей, связанной с развитием у детей аналитического восприятия предмета (выделение длины, ширины, высоты) и умением соизмерять предметы путем сопоставления их по данным параметрам. Большую роль в этом играет развитие глазомера.

Усложнение упражнений в построении ряда величин в старшей группе выражается не только в сопоставлении большего количества предметов (до 10 шт.), включаются также упражнения в подборе и построении в ряд не отдельных предметов, а пар предметов; используют предметы, отличающиеся уже не только одним, но и 2-3 измерениями. Одни и те же предметы размещаются в ряд то по одному, то по другому признаку (например, цилиндры сначала расставляют в порядке возрастающей высоты, а затем в порядке возрастающей толщины).

Рассмотрим некоторые примеры обучения.

В целях проверки знаний, можно предложить старшего дошкольного возраста подобрать ленту в соответствии с образцом, величину которого следует запомнить. Материалом могут служить два набора по пять парных лент одинаковой ширины, норазного цвета и разной длины (от 12 до 20 см), при этом в каждой паре одинаковой длины цвет лент может быть разным. Задача состоит в том, чтобы абстрагировать в предъявленном образце лишь одну длину и в соответствии с ней найти парную ленту. Выполненное задание должно быть проверено самим ребенком. «Как доказать, что твоя желтая лента одинаковой длины с моей зеленой?» Ребенок сначала объясняет приемы проверки, потом доказывает это практически.

Другой вариант. Всем детям раздают по пять разноцветных полосок одинаковой ширины, но разной длины (с разницей в 2 см).Предлагает разложить их по порядку, но кто как хочет (в возрастающей или убывающей последовательности). Затем дети объясняют: «У меня самая длинная полоска – зеленая, покороче красная, еще покороче белая, еще короче — синяя и самая короткая – розовая». Другой ребенок называет цвет и размер своих полосок, расположенных в возрастающем порядке. Это упражнение способствует уточнению восприятия размера и цвета и совершенствованию речи детей.

Задание может быть предложено детям и по-другому: разложенные по порядку четыре ленты сопоставляются по длине друг с другом, и дети практически знакомятся с транзитивностью отношений. Например, дети говорят, что красная лента длиннее розовой, розовая длиннее желтой, а желтая длиннее зеленой. «Значит, красная лента длиннее, каких лент?» — ставит вопрос воспитательница, стимулируя мысль детей. Сначала дети называют лишь отдельные ленты («Красная лента длиннее желтой», «Красная лента длиннее зеленой» и т. д.). Воспитательница предлагает подумать и перечислить сразу все ленты, длиннее которых красная лента. Посмотрев еще раз на ряд лент, ребенок отвечает: «Красная лента длиннее розовой, желтой и зеленой. Она самая длинная из всех лент».— «А какая лента самая короткая?» — ставит новый вопрос воспитательница. Дети называют зеленую ленту. «А какой же ленты она немного короче?» — «Желтой». Так сначала сравниваются по порядку все смежные ленты, затем делается обобщение: «Каких же лент короче зеленая лента?»

Неоднократно упражняясь в сравнении лент, полосок и других предметов, расположенных в убывающем или возрастающем порядке, дети по сути дела практически знакомятся с транзитивностью отношений.

Для закрепления усвоения детьми свойства транзитивности используют игры: «Кто первый?» (Воспитатель, обыгрывая ситуацию предлагает детям выстроить игрушки, например «Зайцы забыли, кто за кем стоял. Первый должен быть меньше второго, а второй - меньше третьего. Какого размера первый заяц? А третий?»).

«Чья коробочка?» (Воспитатель предлагает вниманию детей 3 коробочки разного размера от игрушек и дает следующие задание: «У меня 3 коробочки от игрушек: куклы, медвежонка и зайчонка. Кукла больше медвежонка, медвежонок больше зайчонка. Какая коробка куклы? Поместится ли кукла в коробку зайчонка? А медвежонок в коробку для куклы? и т.п.»).

«Угадайте, кто выше (ниже) ростом». (Для этой игры в качестве наглядного примера могут выступать сами дошкольники. Воспитатель выбирает трех мальчиков (девочек) разного роста и дает задание «Аслан выше Амира, а Амир выше Даулета. Кто из мальчиков самого низкого роста? А самого высокого?»).

Большое внимание уделяют развитию у старших дошкольников глазомера. На основе овладения приемами непосредственного сопоставления размера предметов (наложение, приложение, измерение при помощи мерки) дети учатся решать задачи, требующие все более и более, сложных глазомерных действий. Вначале им дают задания найти на глаз предметы большего и меньшего, чем образец, размера, позднее – предметы, равные образцу, причем постепенно расширяют площадь, на которой осуществляется поиск предметов. В качестве образца могут служить разные предметы. В то же время один и тот же образец может использоваться для сравнения предметов и по длине, и по ширине, и т. д. Каждый раз дети проверяют правильность решения глазомерной задачи, пользуясь приемом приложения (вплотную) или измерения меркой. Аналогичные задачи можно ставить перед детьми в разных видах деятельности.

Весьма важно при сопоставлении большего количества предметов привлечь внимание детей к тому, на сколько один предмет длиннее другого в сериационном ряду. Например, из предложенных пяти полосок одинакового цвета, одинаковой ширины и разной длины дети образуют сериационный ряд. Воспитатель обращает внимание на постоянство разности между соседними членами упорядоченного ряда. Дети с помощью мерки сравнивают размеры предметов специально составленного ряда и убеждаются в том, что любой предмет в ряду (начиная со второго) на одну и ту же величину больше (меньше) соседнего.

Определить размер предмета (длину, ширину) ребята могут, прикладывая одну к другой несколько равных мерок. Например, оказывается, что длина первой полосочки - 1, второй - 2, третьей - 3 мерки и т. д.; сравнив результаты измерения, дети устанавливают, что каждая полосочка на одну и ту же длину мерки больше или меньше соседней полоски.

Для закрепления знаний о свойствах упорядоченного ряда используют упражнения, требующие от детей проявления смекалки, сообразительности. Например, дается шесть — восемь полосок разной длины, из которых нельзя построить строго ритмичный сериационный ряд, поскольку среди этих полосок две равной длины. Дети должны обнаружить, что у них две полоски равной длины.

Предлагаются также задания: построить ряд от промежуточного элемента, найти место пропущенного или лишнего элемента в ряду, вставить в уже построенный ряд промежуточные элементы. Каждому заданию воспитатель придает игровой характер, используя игры «Угадайте, где пропущено!», «Угадайте, которого не х