Множество и действия над множествами

Множество и действия над множествами

Множество – совокупность объектов, объединенных некоторым общим для них свойством или признаком.

А-множество, а-переменная аЄА

Если каждый элемент множества А принадлежит также и множеству В, то множество А – подмножество В (А В).

А и В – из одинаковых элементов. Ø – пустое множество.

Операции над множествами:

1)Объединение(суммы) множеств А и В называются множества элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В.

 

2)Пересечением называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих и множеству А и множеству В.

 

Объединение и пересечение можно распространять на любое кол-во множеств.

3)Разностью множеств А-В называется множество, состоящее из тех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В.

 

4)Если множество В содержится в множестве А, то А-В называется дополнением множества В до множества А, обозначается С_аВ

 

Декартово произведение множеств А и В называется множество всех упорядоченных пар элементов а×в, где аЄА, вЄВ (А×В)

Свойства операций над множествами:

1)Идемпотентность 2)Ассоциативность 3)Коммутативность 4)Дистрибутивность 5)Законы двойственности

 

Числовая последовательность и ее предел

Числовой последовательностью называется числовое множество, элементы которого пронумерованы всеми

натуральными числами и расположены в порядке возрастания номеров (а₁, а₂, а₃...)

Числовая последовательность задается формулой своего общего члена.

Пределом последовательности а_n называется постоянное число а, если для любого положительного Е>0 можно указать

номер N такой, что при всех n>N выполняется 0<[а_n-а]<Е

Теорема Вейерштрасса

Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

 

Предел функции

Число А называется пределом функции f(x) при x®a, если для любого Е>0 существует такая б-окрестность, что для всех х, удовлетворяющих 0<[х-а]<б, выполняется неравенство [f(x)-А]<Е при x®a.

Теорема о единственности предела

Если функция имеет предел, то этот предел единственный.

Пусть lim f(x)= А lim f(x)= В А<В

x®х₀ x®х₀

Е>0 б₁ 0<{x-x₀}<б₁ F(x) в окрестности точки А 0<{x-x₀}<б₂ F(x) в окрестности точки В, б=min(б₁,б₂) 0<{x-x₀}<б

Предел постоянной – сама постоянная (limС=С)

Если функция стремится к 0, то она называется б.м.в, Если функция стремится к ∞, то она называется б.б.в.

Теорема о свойствах БМВ:

Сумма двух БМВ, произведение БМВ на постоянную, а также произведение 2-х БМВ – величины бесконечно малые.

Теорема: величина, обратная бесконечно малой, бесконечно большая.

Теорема о пределе суммы, произведения и частного.

Пусть lim f(x)=А (при x®х₀), lim g(x)=В (при x®х₀)

Тогда 1)lim (f(x)+ g(x))=A+B lim (f(x)×g(x))=A×B lim (f(x)÷g(x))=A÷B(если В≠0)

Доказательство:

lim f(x)=А=> lim f(x)=А+α(х), lim g(x)=B=> lim g(x)=B+β(х), где α, β-БМВ Тогда: f(x)+g(x)=A+ α(х)+ B+β(х)=A+B

2)и 3)-аналогично

 

Теорема о предельном переходе в неравенстве

Пусть f(x)≤g(x) в некоторой окрестности точки Х₀. Тогда lim f(x)≤ lim g(x), если эти пределы существуют.

Обозначим lim f(x)=А lim g(x)=В

Пусть А>В Е=(А-В)/2>0

d₁: 0<{x-x₀}<б₁ А-Е< f(x)<А+Е d₂: 0<{x-x₀}<б₂ B-Е< f(x)<B+Е d=min(d₁, d₂) 0<{x-x₀}<d

f(x)=A-E=A-(А-В)/2=(А+В)/2

g(x)<B+E=B+(А-В)/2=(А+В)/2 => f(x)>g(x), что противоречит условию.

 

Теорема о сжатой функции, о сжатой переменной или о «двух милиционерах» о существовании предела у функции, которая «зажата» между двумя другими функциями, имеющими одинаковый предел.

Если функция y = f (x) такая, что g₁(x)≤ f(x)≤ g₂(x) для всех x в некоторой окрестности точки X₀,

причем функции g₁(x) и g₂(x) имеют одинаковый предел при X®X₀, то существует предел

функции y = f (x) при X®X₀, равный этому же значению, то есть Lim g₁(x)= Lim g₂(x)=A => Lim f(x)=A

Пусть в некоторых окружностях точки Х₀ заданы f(x), g₁(x), g₂(x), g₁(x)≤ f(x)≤ g₂(x)

Тогда lim f(x)=А (при x®х₀)

Доказательство:

Е>0 б₁ 0<{x-x₀}<б₁ А-Е< g₁(x)<А+Е

0<{x-x₀}<б₂ А-Е< g₂(x)<А+Е

б=min(б₁,б₂) 0<{x-x₀}<б

А-Е< g₁(x)≤f(x)≤ g₂(x)<А+Е, т.е. А-Е< А+Е=> lim f(x)=А (при x®х₀)

7)Замечательные пределы:

1)lim (log_a(1+α))/α=1/lna (при α®0)

2) lim (ln(1+α))/α=1 (при α®0)

3) lim (ln(a^α-1))/α=lna

4)lim ((e^x-1))/α=1 (при α®0)

5) lim ((1+α)^m-1)/α=m (при α®0)

Сравнения бесконечно малых

Пусть α(x)®0 и b(x)®0 (при x®x₀), т.е. α(х) и b(x) – БМВ

Если lim α(x)/b(x)=A (A≠0), то α(x) и b(x) – бесконечно малая величина одного порядка

Если lim α(x)/b(x)=0, то α(x) – бесконечно малая величина более высокого порядка, чем b(x)

Если lim α(x)/b(x)=∞, то α(x) – бесконечно малая величина более низкого порядка, чем b(x)

Если lim α(x)/b(x) не существует, то α(x) и b(x) – несравнимые бесконечно малые величины

Эквивалентные бесконечно малые

Если lim α(x)/b(x)=, то α(x) и b(x) – эквивалентные бесконечно малые величины

Например: sinX~X (при x®0)

Теорема 1

Предел отношения двух бесконечно малых не изменится, если каждую или одну из них

заменить эквивалентной ей бесконечно малой.

Доказательство 1:

Пусть α~α’, b~b’, тогдаlim α(x)/b(x)= lim (α/b × α’/α’ × b’/b’)=

= lim (α/α’ × b’/b × α’/b’)= lim α/α’ × lim b’/b × lim α’/b’)=1×1× lim α’/b’= lim α’/b’

Теорема 2

Сумма конечного числа БМВ разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Доказательство 2: Пусть α®0 b®0

lim α(x)/b(x)=0 (при x®x₀)

Т.е. α(x) – БМВ более высокого порядка, чем b(x)

Тогда lim α+b/b=lim (α/b+1)=0+1=1

α+b~b (при x®x₀)

Важнейшие эквивалентности: (при x®0)

1)sinX~X 2)tgX~X 3)arcsinX~X 4) sinX~X 5)1-cosX~X²/2

6)e^x-1~X 7)a^X-1~X lna 8) ln(X+1)~X 9)log(1+X)~X log_ae 10)(1+X)^K-1~KX

Непрерывность функции

Пусть функция f(x) определена в точке Х₀ и в некоторой окрестности, содержащей эту точку.

Пусть эта функция имеет предел при х®х₀ , тогда функция f(x) называется непрерывной в точке Х₀,

если lim f(x)= f(x₀)

Теорема

Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке Х₀, то их суммы и произведения тоже непрерывны в точке Х₀, если

кроме того функция g(x)≠0, то f(x) ÷ g(x) тоже непрерывно.

Lim(f(x)*g(x))=Lim f(x)*Lim g(x)= f(x₀)*g(x₀)= f(x)*g(x) – непрерывны в точке Х₀

 

Непрерывность элементарной функции

Элементарной называется функция, составленная из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических действий и конечного числа образований сложных функций.

Теорема

Всякая элементарная функция непрерывна во всех точках, принадлежащих ее области определения.

Пусть функция f(x) определена в т. Х₀ и в некоторой окрестности, содержащей эту точку.

Пусть эта функция имеет предел при х®х₀ , тогда функция f(x) называется непрерывной в т. Х₀,

если lim f(x)= f(x₀)

 

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема Вейерштрассе

Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения.

Следствие: если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Теорема Больциано-Коши:

Если функция у= f(x) непрерывна на отрезке АВ и принимает на его концах неравные значения f(a)=A, f(b)=B,

то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А и В.

Следствие:

Если функцияу= f(x) непрерывна на отрезке АВ и на его концах принимает значение разных знаков,

то внутри АВ найдется хотя бы одна точка С, в которой функция обращается в 0.

Точки разрыва функции и их классификация.

Функция у= f(x) называется непрерывной в интервале (а;в), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция у= f(x) называется непрерывной на отрезке [а;в], если она непрерывна в интервале (а;в) и в т. Х=а непрерывна справа,

т.е. lim f(x)= f(а) (при х®а+0), а в точке В непрерывна слева, т.е. lim f(x)= f(в) (при х®в-0).

Функция у= f(x) называется разрывной в т. Х₀, если она определена в сколь угодно близких точках,

но в т. Х₀ не удовлетворяет условию непрерывности.

Если для функции существуют конечные пределы lim f(x) (при х®х₀ -0) и lim f(x) (при х®х₀ +0), но не все числа lim f(x₀) равны друг другу, то х₀ – точка разрыва 1 рода.

Если пределы равны друг другу, то х₀ – устранимая точка разрыва.

Точки разрыва функции, не являющиеся точками разрыва первого рода, называются точками разрыва 2 рода.

В таких точках хотя бы один из односторонних пределов является бесконечным или не существует.

 

Определение производной. Связь между дифференцируемостью функции и ее непрерывностью

Производная (функции в точке) характеризует скорость изменения функции (в данной точке).

Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента

при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую

конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Теорема

Если функция дифференцируема (есть производная) в т. Х₀, то она в этой точке непрерывна.

Производная суммы, произведения и частного.

(f+g)’=f’+g’ (f×g)’=fg’×f’g (f/g)’=(f’g-g’f)/g²

Производная сложной функции

(f(g(x)))’=f’(g(x))×g’(x)

Таблица производных

1)(xⁿ)’=nx^n-1 2)(a^x)’=a^xlna 3)(e^x)’= e^x 4)(log_ax)’=1/x×1/lna

5)(sinX)’=cosX 6)(cosX)’=-sinX 7)(lnX)’=1/x 8)(tgX)’=1/cos²X

9)(ctgX)’= -1/sin²X 10)(arcsinX)’=1/√1-x² 11)(arccosX)’=-1/√1-x²

12)(arctgX)’=1/1+x² 13)(arcctgX)’=-1/1+x²

Производные высших порядков

(f’(x))’=f’’(x) (f’’)’=f’’’(x)

Скорость изменения функции

Пусть s = s (t) — закон прямолинейного движения. Тогда v (t ₀) = s '(t ₀) выражает мгновенную скорость

движения в момент времени t ₀. Вторая производная a (t ₀) = s ''(t ₀) выражает мгновенное ускорение

в момент времени t ₀. Вообще производная функции y = f (x) в точке x ₀ выражает

скорость изменения функции в точке x ₀, то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью y = f (x).

Дифференциал функции

Дифференциал – главная часть приращения функции, используется для приближенных значений.

Lim ∆y/∆x=f’(x) при ∆x®0

∆y/∆x=f’(x)+α(∆x), где α(∆x)=бесконечно малая величина

∆y= f’(x)∆x+ α(∆x)∆x

dy= f’(x)∆x – дифференциал

dy= f’(x)dx

Теорема Ферма

Если дифференцируемая на промежутке (a;b) функция у= f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения

во внутренней т. Х₀ этого промежутка, то производная f’(x)=0

у= f(x) в т. х₀ примет минимум, тогда f(x₀+∆x) ≥f(x₀) и при ∆x>0, и при ∆x<0

Тогда: если ∆x>0, то ∆у/∆x>0, ∆x<0, то ∆у/∆x<0

Lim ∆у/∆x≥0 (при х®+0) Lim ∆у/∆x≤0 (при х®-0)

Но f(x) дифференцируема В точке Х₀ и следовательно непрерывна,

т.е. Lim ∆у/∆x≥0= Lim ∆у/∆x≤0= f’(x)=0

Теорема Ролля

Теорема утверждает, что если ординаты обоих концов гладкой кривой равны, то на кривой найдется точка,

в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс.

Если функция f (х) непрерывна на отрезке а ≤ х ≤ b, имеет внутри его определённую производную, а на концах принимает

равные значения f (a) = f (b), то её производная f' (x) по меньшей мере один раз обратится в ноль в интервале (a, b) ,

т. е. существует такое с (где a < с < b), что f’ (с) = 0.

Пусть функцияу= f(x) удовлетворяет условиям:

1)непрерывна на отрезке [a,b]

2)дифференцируема в (a,b)

3)f(a)=f(b)

=> ¡Î(a,b) f’(¡)=0

Доказательство:

По свойствам функциий, непрерывных на отрезке, f(x) достигает на отрезке АВ своего наибольшего М и наименьшего м значения.

Если оба значения достигаются на обоих концах отрезка, то м=М и функция постоянна на отрезке АВ

=> f’ (с) = 0 во всех точках интервала (а,b)

Если хотя бы одно из этих значений м или М достигаются внутри отрезка, то производная в соответствующей точке = 0

(по теореме Ферма)

Теорема Лагранжа

Пусть:

1) f (x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [а, b ],

2) существует конечная производная f /(x), по крайней мере, в открытом промежутке (а, b). Тогда между a и b найдется такая точка с(a < с < b), что для нее выполняется равенство

b − af (b)− f (a)= f /(c).

Доказательство Введем вспомогательную функцию, определив ее в промежутке [а, b ] равенством:

F (x)= f (x)− f (a)− b − af (b)− f (a)(x − a).

Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. В самом деле, она непрерывна в [а, b ], так как представляет собой разность между непрерывной функцией f (x) и линейной функцией. В промежутке (а, b) она имеет определенную конечную производную, равную

F /(x)= f /(x)− b − af (b)− f (a).

Наконец, непосредственной подстановкой убеждаемся в том, что F (a)= F (b)= 0, т. е. F (x) принимает равные значения на концах
промежутка.

Следовательно, к функции F (x) можно применить теорему Ролля и утверждать существование в (а, b) такой точки с, что F ′(с)=0.

Таким образом,

f /(c)− b − af (b)− f (a)=0,

откуда

b − af (b)− f (a)= f /(c).

Правило Лопиталя

Экстремум функции

Теорема

Если вторая производная дважды дифференцированной функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка

(a,b), то функция вогнута(выпукла) на этом промежутке.

Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла и вогнута.

Точки перегиба – точки перегиба первой производной.

Необходимое условие перегиба: вторая производная дважды дифференцированной функции в точке перегиба равна нулю (f’’(x)=0).

Достаточное условие перегиба: если вторая производная дважды дифференцированной функции при переходе через некоторую точку х₀ меняет свой знак, то точка Х₀ является точкой перегиба графика.

Асимптоты графика функции

Асимптота – прямая, к которой приближается функция, но никогда ее не пересекает.

Теорема

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки х₀ (исключая саму т. Х₀) и хотя бы один из этих пределов

Lim f(x)(при x®x₀+0) или Lim f(x)(при x®x₀-0) равен ∞.

Тогда прямая x=x₀ – вертикальная асимптота

Вертикальные асимптоты стоит искать в точках разрыва функции или на концах ее области определения (a,b), если а,b – конечные числа.

Теорема

Если lim f(x)/x=k и lim (f(x)-kx)=b, то прямая y=kx+b будет наклонной правосторонней (при x®+∞) или левосторонней (при x®-∞)

Горизонтальная: (f(x))^’ =0. наклонная: y=kx+b, k=lim f(x)/x (при х®∞), b=lim(f(x)-kx) (при х®∞)

Множество и действия над множествами

Множество – совокупность объектов, объединенных некоторым общим для них свойством или признаком.

А-множество, а-переменная аЄА

Если каждый элемент множества А принадлежит также и множеству В, то множество А – подмножество В (А В).

А и В – из одинаковых элементов. Ø – пустое множество.

Операции над множествами:

1)Объединение(суммы) множеств А и В называются множества элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В.

 

2)Пересечением называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих и множеству А и множеству В.