Объединение и пересечение можно распространять на любое кол-во множеств.

3)Разностью множеств А-В называется множество, состоящее из тех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В.

 

4)Если множество В содержится в множестве А, то А-В называется дополнением множества В до множества А, обозначается С_аВ

 

Декартово произведение множеств А и В называется множество всех упорядоченных пар элементов а×в, где аЄА, вЄВ (А×В)

Свойства операций над множествами:

1)Идемпотентность 2)Ассоциативность 3)Коммутативность 4)Дистрибутивность 5)Законы двойственности

 

Числовая последовательность и ее предел

Числовой последовательностью называется числовое множество, элементы которого пронумерованы всеми

натуральными числами и расположены в порядке возрастания номеров (а₁, а₂, а₃...)

Числовая последовательность задается формулой своего общего члена.

Пределом последовательности а_n называется постоянное число а, если для любого положительного Е>0 можно указать

номер N такой, что при всех n>N выполняется 0<[а_n-а]<Е

Теорема Вейерштрасса

Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

 

Предел функции

Число А называется пределом функции f(x) при x®a, если для любого Е>0 существует такая б-окрестность, что для всех х, удовлетворяющих 0<[х-а]<б, выполняется неравенство [f(x)-А]<Е при x®a.

Теорема о единственности предела

Если функция имеет предел, то этот предел единственный.

Пусть lim f(x)= А lim f(x)= В А<В

x®х₀ x®х₀

Е>0 б₁ 0<{x-x₀}<б₁ F(x) в окрестности точки А 0<{x-x₀}<б₂ F(x) в окрестности точки В, б=min(б₁,б₂) 0<{x-x₀}<б

Предел постоянной – сама постоянная (limС=С)

Если функция стремится к 0, то она называется б.м.в, Если функция стремится к ∞, то она называется б.б.в.

Теорема о свойствах БМВ:

Сумма двух БМВ, произведение БМВ на постоянную, а также произведение 2-х БМВ – величины бесконечно малые.

Теорема: величина, обратная бесконечно малой, бесконечно большая.

Теорема о пределе суммы, произведения и частного.

Пусть lim f(x)=А (при x®х₀), lim g(x)=В (при x®х₀)

Тогда 1)lim (f(x)+ g(x))=A+B lim (f(x)×g(x))=A×B lim (f(x)÷g(x))=A÷B(если В≠0)

Доказательство:

lim f(x)=А=> lim f(x)=А+α(х), lim g(x)=B=> lim g(x)=B+β(х), где α, β-БМВ Тогда: f(x)+g(x)=A+ α(х)+ B+β(х)=A+B

2)и 3)-аналогично

 

Теорема о предельном переходе в неравенстве

Пусть f(x)≤g(x) в некоторой окрестности точки Х₀. Тогда lim f(x)≤ lim g(x), если эти пределы существуют.

Обозначим lim f(x)=А lim g(x)=В

Пусть А>В Е=(А-В)/2>0

d₁: 0<{x-x₀}<б₁ А-Е< f(x)<А+Е d₂: 0<{x-x₀}<б₂ B-Е< f(x)<B+Е d=min(d₁, d₂) 0<{x-x₀}<d

f(x)=A-E=A-(А-В)/2=(А+В)/2

g(x)<B+E=B+(А-В)/2=(А+В)/2 => f(x)>g(x), что противоречит условию.

 

Теорема о сжатой функции, о сжатой переменной или о «двух милиционерах» о существовании предела у функции, которая «зажата» между двумя другими функциями, имеющими одинаковый предел.

Если функция y = f (x) такая, что g₁(x)≤ f(x)≤ g₂(x) для всех x в некоторой окрестности точки X₀,

причем функции g₁(x) и g₂(x) имеют одинаковый предел при X®X₀, то существует предел

функции y = f (x) при X®X₀, равный этому же значению, то есть Lim g₁(x)= Lim g₂(x)=A => Lim f(x)=A

Пусть в некоторых окружностях точки Х₀ заданы f(x), g₁(x), g₂(x), g₁(x)≤ f(x)≤ g₂(x)

Тогда lim f(x)=А (при x®х₀)

Доказательство:

Е>0 б₁ 0<{x-x₀}<б₁ А-Е< g₁(x)<А+Е

0<{x-x₀}<б₂ А-Е< g₂(x)<А+Е

б=min(б₁,б₂) 0<{x-x₀}<б

А-Е< g₁(x)≤f(x)≤ g₂(x)<А+Е, т.е. А-Е< А+Е=> lim f(x)=А (при x®х₀)

7)Замечательные пределы:

1)lim (log_a(1+α))/α=1/lna (при α®0)

2) lim (ln(1+α))/α=1 (при α®0)

3) lim (ln(a^α-1))/α=lna

4)lim ((e^x-1))/α=1 (при α®0)

5) lim ((1+α)^m-1)/α=m (при α®0)

Сравнения бесконечно малых

Пусть α(x)®0 и b(x)®0 (при x®x₀), т.е. α(х) и b(x) – БМВ

Если lim α(x)/b(x)=A (A≠0), то α(x) и b(x) – бесконечно малая величина одного порядка

Если lim α(x)/b(x)=0, то α(x) – бесконечно малая величина более высокого порядка, чем b(x)

Если lim α(x)/b(x)=∞, то α(x) – бесконечно малая величина более низкого порядка, чем b(x)

Если lim α(x)/b(x) не существует, то α(x) и b(x) – несравнимые бесконечно малые величины

Эквивалентные бесконечно малые

Если lim α(x)/b(x)=, то α(x) и b(x) – эквивалентные бесконечно малые величины

Например: sinX~X (при x®0)

Теорема 1

Предел отношения двух бесконечно малых не изменится, если каждую или одну из них

заменить эквивалентной ей бесконечно малой.

Доказательство 1:

Пусть α~α’, b~b’, тогдаlim α(x)/b(x)= lim (α/b × α’/α’ × b’/b’)=

= lim (α/α’ × b’/b × α’/b’)= lim α/α’ × lim b’/b × lim α’/b’)=1×1× lim α’/b’= lim α’/b’

Теорема 2

Сумма конечного числа БМВ разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Доказательство 2: Пусть α®0 b®0

lim α(x)/b(x)=0 (при x®x₀)

Т.е. α(x) – БМВ более высокого порядка, чем b(x)

Тогда lim α+b/b=lim (α/b+1)=0+1=1

α+b~b (при x®x₀)

Важнейшие эквивалентности: (при x®0)

1)sinX~X 2)tgX~X 3)arcsinX~X 4) sinX~X 5)1-cosX~X²/2

6)e^x-1~X 7)a^X-1~X lna 8) ln(X+1)~X 9)log(1+X)~X log_ae 10)(1+X)^K-1~KX

Непрерывность функции

Пусть функция f(x) определена в точке Х₀ и в некоторой окрестности, содержащей эту точку.

Пусть эта функция имеет предел при х®х₀ , тогда функция f(x) называется непрерывной в точке Х₀,

если lim f(x)= f(x₀)

Теорема

Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке Х₀, то их суммы и произведения тоже непрерывны в точке Х₀, если

кроме того функция g(x)≠0, то f(x) ÷ g(x) тоже непрерывно.

Lim(f(x)*g(x))=Lim f(x)*Lim g(x)= f(x₀)*g(x₀)= f(x)*g(x) – непрерывны в точке Х₀

 

Непрерывность элементарной функции

Элементарной называется функция, составленная из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических действий и конечного числа образований сложных функций.

Теорема

Всякая элементарная функция непрерывна во всех точках, принадлежащих ее области определения.

Пусть функция f(x) определена в т. Х₀ и в некоторой окрестности, содержащей эту точку.

Пусть эта функция имеет предел при х®х₀ , тогда функция f(x) называется непрерывной в т. Х₀,

если lim f(x)= f(x₀)

 

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема Вейерштрассе

Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения.

Следствие: если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Теорема Больциано-Коши:

Если функция у= f(x) непрерывна на отрезке АВ и принимает на его концах неравные значения f(a)=A, f(b)=B,

то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А и В.

Следствие:

Если функцияу= f(x) непрерывна на отрезке АВ и на его концах принимает значение разных знаков,

то внутри АВ найдется хотя бы одна точка С, в которой функция обращается в 0.

Точки разрыва функции и их классификация.

Функция у= f(x) называется непрерывной в интервале (а;в), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция у= f(x) называется непрерывной на отрезке [а;в], если она непрерывна в интервале (а;в) и в т. Х=а непрерывна справа,

т.е. lim f(x)= f(а) (при х®а+0), а в точке В непрерывна слева, т.е. lim f(x)= f(в) (при х®в-0).

Функция у= f(x) называется разрывной в т. Х₀, если она определена в сколь угодно близких точках,

но в т. Х₀ не удовлетворяет условию непрерывности.

Если для функции существуют конечные пределы lim f(x) (при х®х₀ -0) и lim f(x) (при х®х₀ +0), но не все числа lim f(x₀) равны друг другу, то х₀ – точка разрыва 1 рода.

Если пределы равны друг другу, то х₀ – устранимая точка разрыва.

Точки разрыва функции, не являющиеся точками разрыва первого рода, называются точками разрыва 2 рода.

В таких точках хотя бы один из односторонних пределов является бесконечным или не существует.

 

Определение производной. Связь между дифференцируемостью функции и ее непрерывностью

Производная (функции в точке) характеризует скорость изменения функции (в данной точке).

Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента

при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую

конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Теорема

Если функция дифференцируема (есть производная) в т. Х₀, то она в этой точке непрерывна.

Производная суммы, произведения и частного.

(f+g)’=f’+g’ (f×g)’=fg’×f’g (f/g)’=(f’g-g’f)/g²

Производная сложной функции

(f(g(x)))’=f’(g(x))×g’(x)

Производная обратной функции

Обратная функция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.

(sinX)’=cosX (cosX)’=-sinX (lnX)’=1/x (tgX)’=1/cos²X

(ctgX)’= -1/sin²X (arcsinX)’=1/√1-x² (arccosX)’=-1/√1-x²

(arctgX)’=1/1+x² (arcctgX)’=-1/1+x²

Таблица производных

1)(xⁿ)’=nx^n-1 2)(a^x)’=a^xlna 3)(e^x)’= e^x 4)(log_ax)’=1/x×1/lna

5)(sinX)’=cosX 6)(cosX)’=-sinX 7)(lnX)’=1/x 8)(tgX)’=1/cos²X

9)(ctgX)’= -1/sin²X 10)(arcsinX)’=1/√1-x² 11)(arccosX)’=-1/√1-x²

12)(arctgX)’=1/1+x² 13)(arcctgX)’=-1/1+x²

Производные высших порядков

(f’(x))’=f’’(x) (f’’)’=f’’’(x)

Геометрический смысл производной

Производная – это тангенс угла наклона касательной и угловой коэффициент касательной.

y-f(x₀)=f’(x₀)(x-x₀)

Скорость изменения функции

Пусть s = s (t) — закон прямолинейного движения. Тогда v (t ₀) = s '(t ₀) выражает мгновенную скорость

движения в момент времени t ₀. Вторая производная a (t ₀) = s ''(t ₀) выражает мгновенное ускорение

в момент времени t ₀. Вообще производная функции y = f (x) в точке x ₀ выражает

скорость изменения функции в точке x ₀, то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью y = f (x).

Дифференциал функции

Дифференциал – главная часть приращения функции, используется для приближенных значений.

Lim ∆y/∆x=f’(x) при ∆x®0

∆y/∆x=f’(x)+α(∆x), где α(∆x)=бесконечно малая величина

∆y= f’(x)∆x+ α(∆x)∆x

dy= f’(x)∆x – дифференциал

dy= f’(x)dx

Теорема Ферма

Если дифференцируемая на промежутке (a;b) функция у= f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения

во внутренней т. Х₀ этого промежутка, то производная f’(x)=0

у= f(x) в т. х₀ примет минимум, тогда f(x₀+∆x) ≥f(x₀) и при ∆x>0, и при ∆x<0

Тогда: если ∆x>0, то ∆у/∆x>0, ∆x<0, то ∆у/∆x<0

Lim ∆у/∆x≥0 (при х®+0) Lim ∆у/∆x≤0 (при х®-0)

Но f(x) дифференцируема В точке Х₀ и следовательно непрерывна,

т.е. Lim ∆у/∆x≥0= Lim ∆у/∆x≤0= f’(x)=0

Теорема Ролля

Теорема утверждает, что если ординаты обоих концов гладкой кривой равны, то на кривой найдется точка,

в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс.

Если функция f (х) непрерывна на отрезке а ≤ х ≤ b, имеет внутри его определённую производную, а на концах принимает

равные значения f (a) = f (b), то её производная f' (x) по меньшей мере один раз обратится в ноль в интервале (a, b) ,

т. е. существует такое с (где a < с < b), что f’ (с) = 0.

Пусть функцияу= f(x) удовлетворяет условиям:

1)непрерывна на отрезке [a,b]

2)дифференцируема в (a,b)

3)f(a)=f(b)

=> ¡Î(a,b) f’(¡)=0

Доказательство:

По свойствам функциий, непрерывных на отрезке, f(x) достигает на отрезке АВ своего наибольшего М и наименьшего м значения.

Если оба значения достигаются на обоих концах отрезка, то м=М и функция постоянна на отрезке АВ

=> f’ (с) = 0 во всех точках интервала (а,b)

Если хотя бы одно из этих значений м или М достигаются внутри отрезка, то производная в соответствующей точке = 0

(по теореме Ферма)

Теорема Лагранжа

Пусть:

1) f (x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [а, b ],

2) существует конечная производная f /(x), по крайней мере, в открытом промежутке (а, b). Тогда между a и b найдется такая точка с(a < с < b), что для нее выполняется равенство

b − af (b)− f (a)= f /(c).

Доказательство Введем вспомогательную функцию, определив ее в промежутке [а, b ] равенством:

F (x)= f (x)− f (a)− b − af (b)− f (a)(x − a).

Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. В самом деле, она непрерывна в [а, b ], так как представляет собой разность между непрерывной функцией f (x) и линейной функцией. В промежутке (а, b) она имеет определенную конечную производную, равную

F /(x)= f /(x)− b − af (b)− f (a).

Наконец, непосредственной подстановкой убеждаемся в том, что F (a)= F (b)= 0, т. е. F (x) принимает равные значения на концах
промежутка.

Следовательно, к функции F (x) можно применить теорему Ролля и утверждать существование в (а, b) такой точки с, что F ′(с)=0.

Таким образом,

f /(c)− b − af (b)− f (a)=0,

откуда

b − af (b)− f (a)= f /(c).

Правило Лопиталя