В кг, y — количество рыбы, в кг, lx — труд, затраченный на

Выращивание картофеля, L — труд, затраченный на ловлю рыбы.

Функция полезности Робинзона Крузо U (X,Y) = XY.

а) Найдите оптимальное распределение временимежду производством

Рыбы и картофеля, если Робинзон Крузо лишен контактов

С мировой экономикой.

б) Ответьте на вопрос а при условии, что Робинзон Крузо может

Продавать и покупать на мировом рынке неограниченное количество

Картофеля и рыбы по цене: картофель — 0,5 долл. за килограмм,

Рыба — 1,5 долл. за килограмм. Получает ли Робинзон Крузо

Выигрыш от участия в международной торговле?

Глава 11. Общее равновесие и экономическая эффективность

Ответы

Воспользуемся условием оптимальности набора по Парето.

Предельная норма замены яблок грушами для Ивана Ивановича

Должна быть равна предельной норме замены яблок грушами

Для Петра Петровича. Пусть Х1 и Y, — количество яблок и груш,

(кг), принадлежащих Ивану Ивановичу; Х2 и Y2 — количество яблок

и груш (кг), принадлежащих Петру Петровичу.

Тогда условие равенства предельных норм замещения для двух

потребителей друг другу:

Зная, что

Получаем,что

Y,/X, = Y/ / 2X2Y2.

X, + Х2 = 20

Y, + Y2 = 30,

Y, (30 - YJ

X, 2(20 - Х2)

Задавая значение X, от 0 до 20, получаем значение остальных

Переменных, характеризующих точки на кривой контрактов.

Например: приравняем Xt последовательно к 5, 10 и 15.

Получим координаты трех точек на кривой контрактов Ивана

Ивановича и Петра Петровича.

Точка А Y,

Точка В

Точка С

Х, = 5;

Х 2 =

Х> =

\ =

X, = 15

Х2 = 5;

Y„ =

Y„ =

30/7;

180/7

Ю;

18;

Соединив точки А, В и С, получаем приблизительный вид кривой

Контрактов: тт Q

30/7

Зная три варианта оптимального распределения яблок (X) и

Груш (Y), найдем уровень полезности, который достигают Иван

Иванович и Петр Петрович:

Комбинация А: Полезность И. И. приблизительно = 21,42

Полезность П. П. приблизительно = 9 918

Примеры решения задач 375

Комбинация В: Полезность И. И. = 100

Полезность П. П. = 4000

Комбинация С: Полезность И. И. = 270

Полезность П.П. = 720.

По имеющимся данным можно построить примерный вид границы

потребительских возможностей:

Полезность П. П.

Полезность И. И.

Воспользуемся критерием оптимального по Парето распределения

ресурсов между производством товаров А и В:

MRTSa = MRTSb — предельные нормы технологического замещения

Труда капиталом (отношение предельного продукта труда к

предельному продукту капитала) в производстве А й в производстве

В должны быть равны.

Пусть Kj — количество капитала, используемого в производстве

товара А; К2 — ____количество капитала, используемого в производстве

Товара В; L: — количество труда, используемого в производстве товара

A; L2 — количество труда, используемого в производстве товара В.

Из условия Парето-оптимального распределения ресурсов следует,

что:

О.БЬуо.бК! = 0,8L2/0,2K2;

L./K, = 4 (100 - L,)/(50 - К.,);

Kj = 50 1^/(400 - 3L,)

Из этого соотношения найдем координаты трех точек (М, К и

Н) на кривой производственных контрактов и на кривой производственных

возможностей:

К о* ьо,

1,35 М „ - " " '"

t

н/

к/''

-—-.,,

-'** '

Од 10 50 80 100

Глава 11. Общее равновесие и экономическая эффективность

Точка М: К, =1,35; Ц = 10; К2 = 48,65; L2 = 90;

Точка К: К, = 10; L, = 50; К2 = 40; L = 50;

Точка Н: К, = 25; L, = 80; К2 = 25; Ц = 20.

По полученным данным построим приблизительный вид кри

Вой производственных контрактов.

3.3. а) Определим, является ли распределение товаров Паре-

То-оптимальным. По условию Парето-оптимального распределения,

Предельная норма замещения товаром X товара Y должна быть

Одинакова у обоих потребителей. У первого потребителя, как следует

Из его функции полезности, предельная норма замещения товаром

X товара Y равна соотношению Y/X (при нынешнем распределении

Товаров — 2,4). У второго потребителя предельная норма

Замещения товаром X товара Y равна 1 при любом объеме потребления

Этих товаров (обратим внимание, что для второго потребителя

Товары служат совершенными заменителями в пропорции 1:1). Видно,

Что условие Парето-оптимальности для первоначального распределения

Благ не выполняется.

Для иллюстрации сказанного построим кривую контрактов для

Данной ситуации и увидим, что точка первоначального распределения

Находится вне кривой контрактов.

Определим графически наборы товаров, позволяющие хотя бы

Одному из потребителей достигать большего уровня полезности, чем

при первоначальной комбинации товаров ("ядро").

Y _ О,

Первоначальное

Распределение

VI

О, 5 X

= 13

'ядро

Кривая

Контрактов

Примеры решения задач 377

б) Для того чтобы установить, в каком направлении будут меняться

Цены товаров по сравнению с первоначальной комбинацией

Цен, определим избыточный спрос для товаров X и Y. Знак избыточного

Спроса покажет направление необходимого изменения цен.

Для этого определим оптимальный выбор для потребителей при

Первоначальных ценах и первоначальном наборетоваров и сравним

Его параметры с первоначальным набором, которым они располагают.

Для первого потребителя первоначальный набор эквивалентен

денежному доходу в размере: 5 x 2 + 1 2 x 3 = 46 долл. При таком

доходе оптимальный объем потребления товаров (принцип определения

см. в теме "Поведение потребителя") X = 11,5 шт.; Y = 7,67 шт.

Следовательно, первый потребитель стремится добавить к своему

Первоначальному набору 6,5 единицы товара X и избавиться от

Единицы товара Y.

Второй потребитель, поскольку для него.товары X и Y являются

Совершенными заменителями, стремится целиком расходовать

свой доход (эквивалентный 34 долл. (5 X 2 + 8 х 3)) на товар с

Более низкой ценой, т. е. на товар X, приобретая его в объеме

Шт. Следовательно, второй потребитель стремится добавить к

Своему первоначальному набору 12 шт. товара X и избавиться от

Шт. товара Y.

Итак, объем избыточного спроса — разность между количеством

Товара, которое потребитель хочет иметь, и тем, которое он

имеет, — на товар X составляет +18,5; объем избыточного спроса

На товар Y составляет — 16,33.

Направление изменения цен товаров совпадает со знаком объема

Избыточного спроса; таким образом, цена товара X будет расти,

Цена товара Y будет сокращаться.

3.4. а) Роль ограничения для максимизации полезности Робинзона

Крузо выполняет кривая производственных возможностей.

Общее число часов труда составляет 450. Зависимость часов труда,

потраченных на выращивание картофеля, от объема выпуска картофеля:

Lx = X2; зависимость часов, потраченных на ловлю рыбы,

от объема использования труда: L = Y2; X2 + Y2 = 450 — ограничение

По объему использования труда.

Предельная норма трансформации товара Y в товар X будет

равна: AY/ДХ = Х/(450 — Х2)1/2. Предельная норма замены товара

X товаром Y (из функции полезности Робинзона Крузо) равна Y/X.

Решив систему уравнений:

Х/(450 — X2)1/2 = Y/X,

X2 + Y2 = 450,

получим решение: X* = 15 (количество выращенного картофеля),

Y* = 15 (количество пойманной рыбы)

Рабочее время будет распределено Робинзоном Крузо следующим

Образом: 225 часов — на выращивание картофеля; 225 часов —

На ловлю рыбы.

Глава 11. Общее равновесие и экономическая эффективность

Графически решение будет выглядеть так:

U» 225

+ У = 450

б) После включения Робинзона Крузо в мировую торговлю

Ограничения его выбора меняются. Оптимальныйобъем производства

Определяется из равенства предельной нормы трансформации

товара Y в товар X отношению цены товара X к цене товара Y:

dY/dX = ХД450- Х2)1/2 = 1/3. Отсюда оптимальный выпуск товара

X равен приблизительно 6,7; Y — приблизительно 20,12.

В этом случае денежный эквивалент выпуска Робинзона Крузо

составляет: РхХ + Р Y = 33,53 долл.

Объем потребления Робинзона Крузо определим, ответив на

Вопрос: сколько картофеля и рыбы покупал бы Робинзон Крузо,

Располагая 33,53 долл.?

Определяем X* = 33,53 долл.; Y* = 11,18 — оптимальный объем

Потребления картофеля и рыбы.

Видно, что картофель Робинзон Крузо будет импортировать в

объеме: 33,53 — 6,7 = 26,83 кг; а рыбу экспортировать в объеме:

20,12— 11,18 = 8,94 кг.

После включения в мировое хозяйство полезность, которую

Достигает Робинзон Крузо, увеличилась с 225 до 374,87.

Графически решение будет выглядеть:

U = 374,87

Импорт

Тесты

Вариант А

1. Верны ли следующие утверждения (цена ответа 2 балла)?

При оптимальном по Парето распределении благ у людей

Отсутствуют стимулы к обмену.

Да Нет

*Гесты 379

Введение аккордных (паушальных) налогов искажает относительные

Цены и поэтому препятствует достижению эффективного

Размещения ресурсов.

Да Нет

Закон Вальраса утверждает, что средневзвешенное превышение

Объема спроса над объемом предложения для всех товарных

Рынков равно нулю.

Да Нет