Механика вращательного движения

Для описания и исследования вращательного движения физические характеристики, которые были определены для поступательного движения (линейная скорость и ускорение, масса, сила, импульс), малоэффективны или даже непригодны (рис.18). Поэтому для вращательного движения устанавливают аналогичные величины, которые называются так же, как при поступательном движении, только с добавлением слов «угловая» или «момент». Тогда, чтобы получить закономерности вращательного движения, достаточно во всех предыдущих формулах физические величины поступательного движения заменить аналогичными величинами вращательного движения. Например, второй закон динамики для вращательного движения можно легко получить из такого же закона для поступательного движения, если силу заменить моментом силы, массу заменить моментом инерции (моментом массы), а линейное ускорение - угловым ускорением.

 

Угловая скорость и угловое ускорение

Вращательное движение твердого тела принято характеризовать угловыми величинами, одинаковыми (в отличие от линейных скоростей и ускорения ) в данный момент времени для всех точек вращающегося твердого тела.

Угловой скоростью (), называется предел отношения угла поворота радиуса R (т. е. отношения углового пути ) к промежутки времени , за который этот поворот произошел, при стремлении промежутка времени к нулю. А это не что иное, как первая производная углового пути по времени. .

− псевдовектор, или аксиальный вектор, т. е. вектор, который направлен вдоль оси вращения. Модуль равен углу поворота ( или ), а

 

его направление совпадает с направлением поступательного движения острия винта, головка которого вращается в направлении движения точки по окружности (правило правого винта, или правило правой руки) (рис.19). Эти векторы не имеют определенных точек приложения: они могут откладываться из любой точки оси вращения.

Размерность [ω]=сек⁻¹, а единица измерения − радиан на секунду.

Линейная скорость вращающей точки:

, так как и R= const.

Учитывая правило правой руки , (рис.19).

При равномерном вращении () для описания вращательного движения определяют следующие параметры: период вращения T – это время, за которое тело совершает один полный оборот (т. е. ), и частота вращения ( или n) – это число полных (или не полных) оборотов в единицу времени: =1/ T и =

Угловое ускорение – это быстрота изменения угловой скорости. Его модуль равен первой производной угловой скорости по времени или второй производной поворота угла по времени.

Вектор направлен по , когда угловая скорость растет, >0 (они совпадают). Когда же угловая скорость замедляется, <0, тогда и противонаправлены (рис.20).

 

Момент инерции, момент силы, момент импульса.

 

Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси.

или для непрерывного распределения масс (физических тел)

Момент инерции – мера инертности тела при вращательном движении. [6]

Следует отметить, что момент инерции, являясь аналогом массы в классическом понимании, в отличие от нее, не является постоянной величиной и зависит от условия вращения (рис.21).

Момент инерции тела J относительно произвольной оси равен моменту его инерции J_c относительно параллельной оси, проходящей через центр масс c тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния a между осями (теорема Штейнера)

 

 

Кинетическую энергию вращения можно получить, если в выражении кинетической энергии поступательного движения () заменить массу на момент инерции, а линейную скорость - на угловую скорость , (, где J_z момент инерции тела относительно оси z).

Момент силы (вращающий момент) относительно неподвижной точки О –это векторное произведение радиуса вектора , проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу (рис. 22).

направление определяется по правилу правой руки.

,

где - кратчайшее расстояние между и О (плечо силы).

Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величина M_z, равная проекции на эту ось вектора момента силы, определенного относительно произвольной точки О данной оси z (рис. 22).

Если z совпадает с , то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью z: .

Используя аналоговый подход, для элементарной работы при вращении абсолютного твердого тела получаем , где M_z − момент сил относительно оси z. А второй закон Ньютона для вращательного движения, или уравнение динамики вращательного движения твердого тела, примет вид или ; угловое ускорение вращательного движения прямо пропорционально суммарному моменту сил, приложенных к телу, и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно оси вращения.

Моментом импульса (количества движения ) материальной точки А относительно неподвижной точки О называется векторная величина

.

- псевдовектор, направление которого также определяется правилом правой руки (рис. 23).

- плечо вектора p относительно точки O.

Моментом импульса относительно неподвижной оси Z называется скалярная величина L_z, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси.

Иногда в некоторых книгах моментом импульса называется векторная величина .

Для отдельной материальной точки , тогда

(для твердого тела берем сумму всех материальных точек).

Таким образом, формулы и можно получить друг от друга. Отсюда , т.е. Это еще одна форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела.

Можно показать, что имеет место и векторное выражение: