Вращательные и поступательное движения

В дальнейшем будем рассматривать механическую систему из трех материальных тел, как показано на рис. 18.4.

Платформы 2 и 3 совершают лишь вращательные движения (платформа 2 относительно оси , платфор­ма 3 ‒ относительно оси ). Только платформа 4 находится в сложном движении, которое может быть представлено как сумма поступа­тельного движения ЦМ со скоростью (оно однозначно связано с изменениями угла поворота ) и вращательного ‒ относительно ЦМ находится на точке пересечения осей и ). Поскольку вращательное движение платформы 4 должно рассматриваться относительно точки , для изучения вращательного движения системы материальных тел в целом начало осей СК Б4, связанной с телом 4, необходимо совместить с осью вращения , т.е. с точкой . Таким образом для изучения только вращательного движения рассматриваемой системы материальных тел оси СК Б2, БЗ, Б4, связанные с телами должны иметь общее начало координат, лежащее на оси вращения (точка ).

Рис. 18.4

 

Используя известный «принцип независимости действия сил и моментов» [1], можно при составлении уравнений динамики рассмотреть вращательные движения системы материальных тел и получить связь угловых движений с движущими моментами. Затем, определить дополнительные силы и моменты, вызванные поступательным перемещением начала СК Б4 по дуге окружности радиуса относительно оси в соответствии с изменением , и дополнив этими связями математи­ческую модель, составленную с учетом вращательных движений, полу­чить полную математическую модель движения системы трех твердых тел.

Таким образом, как было показано ранее, при наличии несовпадения точек ЦМ трех тел сложное движение платформы 4 может быть пред­ставлено как сумма двух движений: поступательного и вращательного. При изуче­нии вращательного движения платформы 4 вокруг ЦМ эта точка должна быть условно совмещена с точкой пересечения осей и , т.е. систе­ма должна рассматриваться так, как будто параллакс отсутствует (), как это показано на рис. 18.5.

Рис. 18.5

 

Поступательное пространственное движение соответствует пере­мещению точки пересечения осей вращения и . Это перемещение является плоским поступательным движением относительно оси по окружности с радиусом равным параллаксу , угол поворота равен углу .

Все точки тела, движущегося поступательно в каждый момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения, а их траектории полностью совмещаются при параллельном переносе, поэтому для описания дина­мики поступательного движения тела достаточно знать динамику дви­жения любой его точки. В рассматриваемом случае движение ЦМ платформы 4 в реальной конструкции характеризуется углом поворота , закон изменения которого полностью определяет динамику плоского поступательного движения платформы 4.

Для учета влияния переносного движения на динамику системы достаточно лишь учесть инерционные силы, обусловленные этим перенос­ным движением, действующие на платформы ОПУ СAС.

Если ЦМ платформы 4 совпадает с точкой пересечения осей и , то переносное поступательное движение не может создавать каких-либо инерционных вращательных моментов, дей­ствующих на платформу 4. Переносное движение может приводить лишь к появлению дополнительных нагрузок на опоры платформы 4, т.е. косвенно влиять через трение в опорах. Трение зависит от нормальных или осевых сил, действующих на опоры, а они в свою очередь зависят от переносного поступательного движения. При вращении вокруг оси с постоянной угловой скоростью нормальные силы в опорах платформы 4 пропорцио­нальны центробежным силам, направленным вдоль оси , при измене­ниях с ускорениями появляются силы, направленные по касатель­ной к окружности, описываемой ЦМ .

Реакции со стороны платформы 4, обусловленные переносным поступательным движением, передаваемые на платформу 3 лежат в плос­кости, содержащей ось вращения и перпендикулярной к оси вращения ,и они не создают моментов относительно оси вращения (рис. 18.6).

Рис. 18.6

Платформа 3 совершает лишь вращательные движения, переносное движение платформы 4 может сказываться на динамике движения плат­формы 3 лишь через реакции со стороны платформы 4. Если ЦМ платформы 3 лежит на оси (это условие в рассматриваемом случае соблю­дается), то изменение не может приводить к появлению инерционных моментов относительно этой оси. В противном случае они будут учтены еще при рассмотрении динамики вращательных движений. Пере­носное движение платформы 4 также может сказываться на движении платформы 3 лишь косвенно через трение в опорах.

Поскольку ЦМ платформы 4 лежит на оси , то параллакс П фактически приводит лишь к увеличению составляю­щей момента инерции от этой платформы, при вращении системы матери­альных тел 2, 3, 4 как единого целого относительно оси .

Таким образом, параллакс по существу (при упомянутых условиях) оказывает влияние лишь на динамику привода и то, в виде просто­го увеличения момента инерции от платформы 4, вызванного ее смеще­нием на величину П относительно оси вращения .

В соответствии с выражением для локальной производной:

первые слагаемые системы уравнений Эйлера (18.16) физически представляют собой моменты инерционных сил (например, ‒ это проекция углового ускорения тела в инерциальном пространстве на ось ), вторые слагаемые уравнений (18.16), содержащие произведения угловых скоростей, физически представляют собой гироскопические моменты, обусловленные кинетическими моментами , , и вращениями твердого тела относительно осей, ортогональных к направлениям этих кинетических моментов.

В отличие от чисто гироскопических тел угловые скорости в выражениях кинетических моментов для рассматриваемого случая не являются постоянными, они изме­няются в функции времени, поэтому в общем случае вторые слагаемые уравнений (18.16) характеризуют нелинейные обратные связи гироскопи­ческих моментов, вызванных вращениями относительно ортогональных осей.