Часть II анализ динамики пространственного углового сопровождения цели с подвижного авиационного объекта

Часть II АНАЛИЗ ДИНАМИКИ ПРОСТРАНСТВЕННОГО УГЛОВОГО СОПРОВОЖДЕНИЯ ЦЕЛИ С ПОДВИЖНОГО АВИАЦИОННОГО ОБЪЕКТА

Раздел 16 ПРИМЕР СЛОЖНОЙ ТЕХНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ СОПРВОЖДЕНИЯ ПОДВИЖНОГО ОБЪЕКТА БОРТОВОЙ ОПТИЧЕСКОЙ УСТАНОВКОЙ

 

Авиационный комплекс с бортовым оптическим прибором сопровождения подвижного объекта

 

Структурные схемы АК БОП в режиме сопровождения (САС)

Контур управления слежением СУ ОСП

В терминах теории автоматического управления основная задача АК БОП может быть сформулирована следующим образом.

Ось чувствительности (оптическая ось ‒ ОО) БОП вращается за счет измерения углового рассогласования между направлениями на подвижный объект (линия визирования ‒ ЛВ) и ОО (визирная ось ‒ ВО – нулевое положение пеленгатора в пространстве). Для реализации управляемого вращения ОО полностью весь корпус БОП или отклоняющие элементы в его оптической схеме размещаются в качестве полезной нагрузки ОПУ, установленной на борту КК и вращаются с помощью приводов по каждой из двух (трех) ортогональных осей. Следовательно, структура СУ ОСП соответствует объединению одноконтурных СП, как показано на рис. 16.6. Структурная схема рассматриваемой локальной СУ включает традиционный набор функциональных элементов: дискриминатор ‒ регулятор ‒ исполнительный орган – объект управления.

На рис. 16.6 приняты следующие обозначения:

ДиК ОПУ – динамика и кинематика сложного пространственного механического движения карданова подвеса;

ИО – исполнительный орган;

, – пространственные углы ЛВ и ВО в абсолютной системе координат (СК);

Рис. 16.6

 

, – угловое рассогласование между ЛВ и ВО в пространстве и его измеренное значение;

– выходной сигнал регулятора САС (заданное значение пространственного угла при использовании СП);

– ошибка отработки ;

– вектор механических моментов, создаваемых приводами и приложенных к осям вращения ОПУ.

 

Раздел 17 ОСОБЕННОСТИ ЗАДАЧИ ПРОСТРАНСТВЕННОГО УГЛОВОГО СОПРОВОЖДЕНИЯ ЦЕЛИ С ПОДВИЖНОГО ОБЪЕКТА

 

Трехстепенное опорно-поворотное устройство АК БОП

 

Параметры поворотов вокруг осей вращения трехстепенного ОПУ

 

Раздел 18 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ИНЕРЦИОННЫХ МАСС ОПУ САС ПРИ НЕСОВПАДЕНИИ ОСЕЙ ВРАЩЕНИЯ И ЦЕНТРОВ МАСС РАМ ПОДВЕСА ОПУ

18.1 Векторно-матричные методы преобразования СК

 

Обозначения векторов

В дальнейшем будем использовать следующую систему обозначений векторов и матриц.

Вектор, существующий в пространстве независимо от выбора СК, называется физическим вектором, а три числа (трехмерное пространство), являющихся составляющими физического вектора и образующих матрицу-столбец (3×1) ‒ математическим вектором:

, , , ‒ физический вектор;

, обозначение СК ‒ математический вектор.

С математической точки зрения и являются разными величинами, хотя оба этих выражения являются условными представлениями одного и того же физического понятия – положения точки в пространстве.

Угловая скорость СК b относительно СК а (абсолютная или инерционная СК) представляется физическим вектором угловой скорости с нижним индексом (). Тогда ‒ математический вектор, формируемый составляющими вектора в СК b.

Производную по времени будем обозначать оператором р. Тогда ‒ это скорость изменения физического вектора в СК b.

Символ р без нижнего индекса, предшествующий математическому вектору или матрице, означает дифференцирование по времени каждого элемента вектора или матрицы:

.

Так как векторное произведение двух векторов можно записать как произведение кососимметрической матрицы и вектора:

,

то для представления в матричной форме операции векторного произведения запишем:

 

, . (18.1)

 

Как известно [1], матрица A направляющих косинусов (3×3) преобразует составляющие вектора из одной СК в другую СК:

. (18.2)

Дифференцируя уравнение (18.2), получим:

, (18.3)

где ‒ матрица, обратная .

Запишем, например, с помощью физических векторов известное уравнение Кориолиса [4]:

, (18.4)

т.е. изменение в СК а равно изменению в СК b плюс влияние на относительной скорости вращения двух СК.

Поскольку уравнения (18.3) и (18.4) описывают одну и ту же геометрическую ситуацию, то и должны быть эквивалентны. Тогда из уравнения (18.1) следует

, (18.5)

что приводит к математической формулировке уравнения Кориолиса:

. (18.6)

Умножив обе части уравнения (18.5) на матрицу направляющих косинусов , получим соотношение, описывающее скорость изменения этих косинусов:

. (18.7)

 

Момент количества движения

 

Движение свободного твердого тела в пространстве описывается дифференциальными уравнениями Эйлера в векторной форме [4] с учетом ограничений, описываемых также дифференциальными уравнениям. По смыслу рассматриваемой задачи (вращения вокруг осей, не имеющих поступательного движения в пространстве) покажем дифференциальные уравнения только вращательного движения.

Как известно [3], движения ЦМ С твердого тела в инерциальном пространстве описывается выражением (второй закон Ньютона):

, (18.9)

Рис. 18.2

 

где в соответствии с рис. 18.2:

‒ ‒ радиус-вектор ЦМ С твердого тела с началом в точке ;

‒ и ‒ масса тела и вектор суммы сил, действующих на него;

‒ ‒ абсолютная (инерциальная) СК;

‒ ‒ СК, связанная с телом.

Умножим векторно обе части уравнения (18.9) на вектор и отдельно преобразуем его левую часть (с учетом ):

=

= .

называется кинетическим моментом твердого тела с массой , сосредоточенной в ЦМ С.

После умножения на вектор уравнение (18.9) принимает вид:

, (18.10)

где ‒ вектор суммарного момента сил, действующих на твердое тело относительно точки .

Уравнение (18.10) является математическим выражением второго закона Ньютона для вращения относительно начала отсчета инерциальной (абсолютной) СК.

По теореме Кориолиса

,

а для твердого тела верно (вращение тела вокруг точки не изменяет вектор ), т.е. кинетический момент (момент количества движения) можно представить:

,

или с учетом формулы для двойного векторного произведения :

.

Отсюда следует, что вектор кинетического момента и вектор угловой скорости в общем случае не совпадают по направлению.

Запишем для векторов в абсолютной СК :

; .

Используя формулу для векторного произведения , а также записи и , получим выражение для кинетического момента следующим образом.

.

, (18.11)

где ‒ тензор инерции с элементами

; ;

;

; ;

, и ‒ моменты инерции относительно осей x, y и z, соответственно;

, и ‒ центробежные моменты инерции.

Так как тензор является вещественной, симметричной матрицей, то существует преобразование поворота, приводящее эту матрицу к диагональному виду, т.е. обращающее в нуль все центробежные моменты инерции. Соответствующая СК называется системой главных осей инерции тела. В этом случае выражение (18.11) принимает вид:

. (18.12)

Следовательно, угловая скорость и кинетический момент инерции твердого тела совпадают по направлению, когда тело вращается вокруг главной оси инерции.

 

Вывод уравнения Эйлера

Запишем физический вектор кинетического момента инерции в подвижной СК b (): и продифферецируем это выражение в СК :

. (18.13)

Сумма первых трех слагаемых в (18.13) называется относительной или локальной производной [4].

Изменение во времени ортов , и может быть обусловлено только вращением подвижной СК b с угловой скоростью , как это показано на рис. 18.3.

Так как из определения орта следует , то модуль элементарного изменения этого орта при вращении , где ‒ угол между вектором мгновенной угловой скорости и осью ; ‒ элементарный угол поворота вокруг вектора мгновенной угловой скорости .

Продифференцируем , что с учетом формулы для векторного произведения соответствует записи в векторном виде: .

Рис. 18.3

 

Аналогично можно записать: и .

Следовательно:

.

Таким образом, производная по времени от вектора кинетического момента твердого тела в связанной с ним СК b будет определяться уравнением:

. (18.14)

Записав векторное уравнение (18.14) в проекциях на оси СК b, связанной с твердым телом (), получим уравнения движения в форме Эйлера:

=

= ‒

‒ +

+ , (18.15).

где .

Для вращения тела вокруг главной оси инерции последнее выражение упрощается, и уравнения Эйлера в проекциях на оси координат принимают вид:

(18.16)

;

;

.

Если возникает необходимость рассмотрения поступательного движения ЦМ С, то такое движение описывается векторным уравнением (18.9) при условии что равнодействующая всех сил , действующих на тело, приложена в ЦМ С.

Уравнения Эйлера для поступательного движения в проекциях на оси координат принимают вид:

;

(18.17)

;

.

Векторное уравнение (18.10) и три скалярных уравнения (18.16) описывают вращательное движение ЦМ С в абсолютной (инерциаль­ной) СК; векторное уравнение (18.9) и три скалярных уравнения (18.17) описывают поступательное движе­ние ЦМ твердого тела. При этом, как было принято ранее, оси коорди­нат , , , связанные с твердым телом, являются главными центральными осями инерции тела, а моменты инерции , и являются главными центральными моментами инерции.

Другими словами движение тела в пространстве представляется в виде двух составляющих: поступательное перемещение начала отсчета подвиж­ной СК и изменение ориентации (вращение) подвижной СК , связанной с телом, относительно СК . Поступательное движение описывается изменением вектора , связывающего два начала отсчета ( и ), а вращение ‒ изменением мгновенного вектора угловой скорости .

Если вращение происходит относительно тоски С, неподвижной в абсолютной СК (), то сведе­ний, заключенных в уравнениях (18.10) или (18.16) достаточно для решения задач динамики вращательного движения тела. Если же враще­ние происходит относительно перемещающейся в абсолютной СК точки С, то к действующим вращательным моментам добавляются силы инерции переносного движения.

Таким образом, при применении уравнений динамики в форме Эйлера целесообразно сложное движение тела представлять в виде суммы двух движений ‒ переносного поступательного и относительного враща­тельного.

 

Часть II АНАЛИЗ ДИНАМИКИ ПРОСТРАНСТВЕННОГО УГЛОВОГО СОПРОВОЖДЕНИЯ ЦЕЛИ С ПОДВИЖНОГО АВИАЦИОННОГО ОБЪЕКТА

Раздел 16 ПРИМЕР СЛОЖНОЙ ТЕХНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ СОПРВОЖДЕНИЯ ПОДВИЖНОГО ОБЪЕКТА БОРТОВОЙ ОПТИЧЕСКОЙ УСТАНОВКОЙ