Раздел 18 уравнения движения инерционных масс опу сас при несовпадении осей вращения и центров масс рам подвеса опу

18.1 Векторно-матричные методы преобразования СК

 

Обозначения векторов

В дальнейшем будем использовать следующую систему обозначений векторов и матриц.

Вектор, существующий в пространстве независимо от выбора СК, называется физическим вектором, а три числа (трехмерное пространство), являющихся составляющими физического вектора и образующих матрицу-столбец (3×1) ‒ математическим вектором:

, , , ‒ физический вектор;

, обозначение СК ‒ математический вектор.

С математической точки зрения и являются разными величинами, хотя оба этих выражения являются условными представлениями одного и того же физического понятия – положения точки в пространстве.

Угловая скорость СК b относительно СК а (абсолютная или инерционная СК) представляется физическим вектором угловой скорости с нижним индексом (). Тогда ‒ математический вектор, формируемый составляющими вектора в СК b.

Производную по времени будем обозначать оператором р. Тогда ‒ это скорость изменения физического вектора в СК b.

Символ р без нижнего индекса, предшествующий математическому вектору или матрице, означает дифференцирование по времени каждого элемента вектора или матрицы:

.

Так как векторное произведение двух векторов можно записать как произведение кососимметрической матрицы и вектора:

,

то для представления в матричной форме операции векторного произведения запишем:

 

, . (18.1)

 

Как известно [1], матрица A направляющих косинусов (3×3) преобразует составляющие вектора из одной СК в другую СК:

. (18.2)

Дифференцируя уравнение (18.2), получим:

, (18.3)

где ‒ матрица, обратная .

Запишем, например, с помощью физических векторов известное уравнение Кориолиса [4]:

, (18.4)

т.е. изменение в СК а равно изменению в СК b плюс влияние на относительной скорости вращения двух СК.

Поскольку уравнения (18.3) и (18.4) описывают одну и ту же геометрическую ситуацию, то и должны быть эквивалентны. Тогда из уравнения (18.1) следует

, (18.5)

что приводит к математической формулировке уравнения Кориолиса:

. (18.6)

Умножив обе части уравнения (18.5) на матрицу направляющих косинусов , получим соотношение, описывающее скорость изменения этих косинусов:

. (18.7)

 

Момент количества движения

 

Движение свободного твердого тела в пространстве описывается дифференциальными уравнениями Эйлера в векторной форме [4] с учетом ограничений, описываемых также дифференциальными уравнениям. По смыслу рассматриваемой задачи (вращения вокруг осей, не имеющих поступательного движения в пространстве) покажем дифференциальные уравнения только вращательного движения.

Как известно [3], движения ЦМ С твердого тела в инерциальном пространстве описывается выражением (второй закон Ньютона):

, (18.9)

Рис. 18.2

 

где в соответствии с рис. 18.2:

‒ ‒ радиус-вектор ЦМ С твердого тела с началом в точке ;

‒ и ‒ масса тела и вектор суммы сил, действующих на него;

‒ ‒ абсолютная (инерциальная) СК;

‒ ‒ СК, связанная с телом.

Умножим векторно обе части уравнения (18.9) на вектор и отдельно преобразуем его левую часть (с учетом ):

=

= .

называется кинетическим моментом твердого тела с массой , сосредоточенной в ЦМ С.

После умножения на вектор уравнение (18.9) принимает вид:

, (18.10)

где ‒ вектор суммарного момента сил, действующих на твердое тело относительно точки .

Уравнение (18.10) является математическим выражением второго закона Ньютона для вращения относительно начала отсчета инерциальной (абсолютной) СК.

По теореме Кориолиса

,

а для твердого тела верно (вращение тела вокруг точки не изменяет вектор ), т.е. кинетический момент (момент количества движения) можно представить:

,

или с учетом формулы для двойного векторного произведения :

.

Отсюда следует, что вектор кинетического момента и вектор угловой скорости в общем случае не совпадают по направлению.

Запишем для векторов в абсолютной СК :

; .

Используя формулу для векторного произведения , а также записи и , получим выражение для кинетического момента следующим образом.

.

, (18.11)

где ‒ тензор инерции с элементами

; ;

;

; ;

, и ‒ моменты инерции относительно осей x, y и z, соответственно;

, и ‒ центробежные моменты инерции.

Так как тензор является вещественной, симметричной матрицей, то существует преобразование поворота, приводящее эту матрицу к диагональному виду, т.е. обращающее в нуль все центробежные моменты инерции. Соответствующая СК называется системой главных осей инерции тела. В этом случае выражение (18.11) принимает вид:

. (18.12)

Следовательно, угловая скорость и кинетический момент инерции твердого тела совпадают по направлению, когда тело вращается вокруг главной оси инерции.