Кинематика материальной точки и поступательного

Движения твердого тела

Движение физических тел (или материальных точек) происходит в пространстве и во времени. Любое перемещение тела относительно, поэтому, чтобы описать его, надо изучить и выбрать систему отсчета – совокупность системы координат и часов, в отношении которой происходит изменение положения тел в течение времени. Такой наиболее часто используемой системой является декартова система координат, где оси координат взаимно перпендикулярны. Положение любой точки А в данный момент времени характеризуется тремя координатами x, y и z или радиус-вектором , проведенным из начала системы координат в данную точку (рис 4).

Функции зависимости координат от времени: x=x(t); y=y(t); z=z(t) или , называются кинематическими уравнениями движения материальной точки.

Траектория движения материальной точки – линия, описываемая этой точкой в пространстве, – может быть прямолинейной или криволинейной.

При движении материальной точки вдоль произвольной траектории, длина участка траектории АВ, пройденного материальной точкой с момента начала отсчета времени (когда она находилась в положении А и характеризовалась радиус-вектором ), называется длиной пути и является скалярной функцией времени: (рис.5). Вектор , проведенный из начального положения движущейся точки в ее положение В в данный момент времени (характеризующийся радиус-вектором ), называется перемещением. Иными словами, векторная величина перемещение – это приращение радиус-вектора точки за рассматриваемый промежуток времени.

Для количественной характеристики движения тела вводится понятие скорости движения. В обыденной жизни под скоростью понимают путь, проходимый телом или частицей за единицу времени. Если за равные, сколь угодно малые промежутки времени тело проходит одинаковые пути, движение тела называют равномерным. В этом случае скорость, которой обладает тело в каждый момент времени, можно вычислить, разделив путь s на время t. Если тело движется прямолинейно и не меняет направление движения, то путь движения и модуль перемещения совпадают = . Тогда движение тела можно характеризовать средней скоростью (средняя путевая скорость), которая является скалярной величиной: , отсюда следует, что единица измерения скорости метр в секунду (м/с).

В физике под скоростью понимают векторную величину, характеризующую не только быстроту перемещения тела по траектории, но и направление, в котором движется это тело в каждый момент времени, поэтому существует и другое определение средней скорости – средняя скорость перемещения, которая является векторной величиной.

Под средней скоростью перемещения понимают отношение перемещения , пройденного телом или материальной точкой, к промежутку времени , за которой этот путь пройден: .

Для неравномерного и криволинейного движения не всегда позволяет определить, даже приблизительно, реальные скорости на пути движения. Например, когда тело, двигаясь криволинейно, возвращается в исходное положение, то у него =0, так как его перемещение =0, но средняя путевая скорость , так как путь движения ≠0. Такое двоякое определение средней скорости приводит к тому, что в каждом конкретном случае следует различать эти два определения средней скорости и точно знать, о какой из них идет речь в данной задаче.

Но существуют задачи, для решения которых средняя скорость недостаточна и вводится понятие мгновенной скорости, которое характеризует движение тела в данной точке траектории и в данный момент времени. Мгновенная скорость () в любой точке траектории есть вектор, направленный по касательной к траектории, а по модулю равный пределу средней скорости перемещения при стремлении промежутка времени к нулю.

Мгновенная скорость .

Модуль скорости равен производной пути по времени:

Из рис. 5 видно, что всегда ≥ , но при Δt→0, → и dr=ds (рис.6). По этому из определения мгновенной скорости находим, что или . При прямолинейном и равномерном движении ( =const) длина пути s=υ(t₂ − t₁)=υ· , а координаты, например, x=x₀+υ_x , где - проекция скорости на оси х. Аналогично определяются и координаты y=y₀+υ_yΔt и z=z₀+υ_z Δt.

Ускорение – физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости по модулю и по направлению (рис.7). Здесь определяют среднее ускорение () как отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло, и мгновенное ускорение () как предел среднего ускорения при Δt → 0, т.е. производной скорости по времени.

и = , отсюда следует, что ускорение выражается в метрах на секунду в квадрате (м/c²).

Целесообразно раскладывать вектор ускорения на две составляющие, одна из которых направлена по касательной к траектории и называется касательным или тангенциальным ускорением (), а другая – по нормали к траектории и называется нормальным или центростремительным ускорением () (рис. 8). Ускорение и его составляющие связаны между собой очевидными соотношениями: = + и .

- тангенциальное ускорение, направленное по касательной, определяет быстроту изменения модуля скорости. Его модуль равен производной модуля скорости по времени или второй производной пути по времени, (рис.9).

- нормальное (центростремительное) ускорение характеризует изменение скорости по направлению. Оно направлено к центру кривизны вдоль радиуса кривизны в данной точке траектории ( ). Модуль нормального ускорения , где R -радиус кривизны. Действительно, при Δt→0, B→A (рис.10), траекторию можно принять как окружность с радиусом R. ΔS=AB и из ΔAOB~ΔDAE имеем , но AB=ΔS=υ·Δt, тогда так как при Δt→0, υ₁→υ.

 

В табл.1 представлены виды движения в зависимости от различных значений тангенциальных и нормальных ускорений, а на рис.11 − графики зависимости пути s, скорости υ и ускорения a от времени t при равноускоренном движении без начальной скорости (а), υ₀=0) и с начальной скоростью (б), υ₀≠0).

 

Таблица 1. Виды движения