Скорость изменения момента импульса вращающегося тела определяется суммарным моментом сил, действующих на это тело.

Для замкнутой или изолированной системы: или .

Отсюда , которое и является выражением фундаментального закона сохранения момента импульса.

Момент импульса замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

Закон сохранения момента импульса связан со свойством симметрии пространства – его изотропностью. Изотропность пространства проявляется в том, что физические свойства и законы движения замкнутой системы не изменяются при ее повороте в пространстве как целого на любой угол, т. е. не зависят от выбора направлении осей координат инерциальной системы отсчета.

В таблице 2 приведены аналоги между соответствующими величинами поступательного и вращательного движении.

Таблица 2 Аналогия понятий и уравнений в поступательном

И вращательном движениях

Поступательное движение	формулы	Вращательное движение	формулы
Время	t	Время	t
Линейный путь	s	Угловой путь
Масса	m	Момент инерции
Скорость		Угловая скорость
Ускорение		Угловое ускорение
Сила		Момент силы	или Мz
Импульс		Момент импульса	или Lz
Основные уравнения динамики		Основные уравнения динамики	или
Работа		Работа
Кинетическая энергия		Кинетическая энергия
А также ; ; ; ; при ; где - начальная угловая скорость

Обратите внимание, что момент импульса − векторная величина и закон его сохранения означает, что в изолированной системе остаются неизменным и модуль и направление . Примеры: скамья Жуковского, фигуристки, гироскопы. Например, из-за того, что устойчивая ось вращения Земли не перпендикулярна к плоскости эклиптики, мы имеем смену сезонов на Земле.

Колебания и волны

 

Механические колебания, математический маятник

Колебаниями называются процессы, при которых физическая система, многократно отклоняясь от своего состояния равновесия, каждый раз вновь возвращается к нему (рис.24, а)). Если этот возврат совершается через равные промежутки времени, то такие колебания называются периодическими, а время возврата Т – периодом колебания (рис.24,б)).

Колебания называются свободными (или собственными), если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему.

Простейшие колебания – это гармонические колебания, при которых колеблющаяся физическая величина s(t) изменяется со временем по закону sin или cos (рис.24,в)):

, (6)

где А – максимальное значение s, или амплитуда колебания, − A ≤ s(t) ≤ +A,

− круговая (циклическая) частота,

− начальная фаза колебания в момент t=0

− фаза колебания в момент времени t.

При равномерном движении материальной точки А по окружности с постоянной угловой скоростью ω₀ , его проекция на горизонтальный диаметр совершает именно такие периодические колебания около положения равновесия О (рис. 25).

В данном случае период колебания T - это промежуток времени, во время которого фаза колебания увеличивается на (или материальная точка делает полный оборот).

или ;

, где -частота колебания

Единица измерения частоты - герц (Гц). 1 герц - это частота периодического процесса, при которой за 1с совершается один цикл процесса 1 Гц = (1 с^-1).

Из формулы (6) получаем:

,

,

где и a скорость и ускорение колеблющейся точки соответственно.

Для роль амплитуды играет выражение Aω₀, а для а −A .

Зависимость s, υ, a от времени t представлен на рис.26.

Из выражения а, подставив туда выражение s, получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний:

или

(7)

Такое же уравнение получается, когда зависимость s(t) от t синусоидальна.

 

Гармоническим осциллятором называется система, которая совершает гармонические колебания или колебания которой определяются уравнением (7).

При механических гармонических колебаниях, когда материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль оси координат х:

, и , тогда второйзакон Ньютона принимает вид:

.

Т.е. F прямо пропорциональна смещению материальной точки из положения равновесия и направлена к положению равновесия (на это указывает знак «−» в правой части уравнения.

Кинетическая энергия материальной точки:

.

Потенциальная энергия материальной точки:

.

Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания: ; видно, что Е~А² и не зависит от времени.

и меняются с частотой , т.е. два раза быстрее (рис.27), чем частота гармонического колебания.

Т.к. , то .

Физический маятник − это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С.

Математический маятник – это идеализированная система или физическая модель, состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на невесомой, нерастяжимой нити и совершающей колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести (рис. 28). В этой модели не учитываются силы трения и сопротивления

На рис. 28 показано под, воздействием каких сил отклоненная материальная точка возвращается в исходное положение. Это сила тяжести P и сила натяжения нити F_н, которые в положении равновесия уравновешивают друг друга, а в отклоненном положении материальной точки геометрически суммируются как результирующая сила F. Используя дифференциальное уравнение гармонического колебания и второй закон динамики, получим выражения для периода колебания маятника. Эта формула выводится при малых значениях α, что позволяет нам заменить sin α ≈ α ≈ .

Как видно из рис. 28, F= – P ^. sin α = – mg ^. sin α = – mg .

Знак минус обусловлен тем, что направления силы и угла отклонения всегда противоположны.

Из и получаем .

Так как , то . (4.3)

Обратите внимание, что период колебания математического маятника не зависит от амплитуды (угла отклонения) и массы маятника. Эти свойства математического маятника лежат в основе механических часов с маятниками, без которых бурное развитие экспериментальной физики в средние века трудно было представить.

Если рассматривать математический маятник как замкнутую систему, то на его примере можно наглядно наблюдать, как соблюдается закон сохранения и превращения энергии. Во время колебания маятника кинетическая энергия материальной точки превращается в потенциальную и наоборот, но полная энергия (сумма кинетической и потенциальной энергии) остается неизменным.

При отклонении материальной точки (рис.29) системе сообщается некоторое количество потенциальной энергии =mgh, которое по мере приближения к точке А уменьшается. В положении А материальная точка уже не имеет потенциальной энергии, но из-за ускоряющего движения приобретает кинетическую энергию , которая после прохождения через точку А начинает убавляться.

Максимальное значение для потенциальной энергии в точке В получается из |W_p|= ,

(см. также рис. 29 и, учитывая, что при малых углах отклонении α≈ х/ℓ, h/x =α/ 2,отсюда x²=2hℓ).

Волны

 

Если в упругую (сплошную) среду поместить колеблющееся тело, то оно превратится в источник колебаний, которые будут распространяться в этой среде с конечной скоростью. Процесс распространения колебания в сплошной среде называется волновым процессом (или волной).

Следует отметить, что между распространением волн и передвижением физических тел в упругой среде есть существенное различие. При движении физических тел в среде переносится и энергия (например, в виде кинетической энергии движущегося тела), и вещество в виде перемещения материи (тело с массой m из одной точки пространства переходит в другую). При распространении волн в упругой среде переносится только энергия, без переноса вещества (на поверхности воды волны распространяются далеко от очага колебания, но молекулы воды (или, например, осенний лист) остаются на месте). Поэтому, чем больше плотность среды, тем быстрее перемещается волна (тем быстрее частицы среды передают колебательный процесс соседним частицам), но тем медленнее передвигается физическое тело (в плотной среде из-за сопротивления среды труднее передвигаться).

Таким образом, основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества.

Упругие (или механические) волны – это механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде.

Волны бывают двух типов: продольные и поперечные.

Продольные волны − это такие волны, у которой частицы среды колеблются в направлении распространения волны (пример − звуковые волны).

У поперечных волн частицы среды или характеристики волны колеблются в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны (пример − электромагнитные волны).

Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания являются гармоническими, и выражается формулой (6).

Уравнение бегущей волны (8)

где s(x,t) − смещение частиц среды, участвующих в волновом процессе,

x − расстояние этих частиц от источника колебания,

υ − скорость распространения волны.

Напоминаем, что функция s(x,t) может выражена и синусом.

Длина волны , отсюда , где ν − частота колебания.

Если волна распространяется противоположную сторону от х, то уравнение волны примет вид:

Сравнивая график волны с графиком гармонического колебания (рис. 30), где для простоты принято φ₀ =0, мы видим, что внешне они похожи. Но по существу они различны т. к. график колебания (рис. 30, б)) представляет зависимость смещения данной частицы от времени, а график волны (рис. 30,- а))– смещения всех частиц среды от расстояния до источника колебания в данный момент времени. График волны является как бы «моментальной фотографией» волны.

Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется волновым фронтом.