Момент импульса. Закон сохранения момента импульса

Моментом импульса материальной точки относительно некоторой точки О называется вектор , равный векторному произведению радиус-вектора материальной точки относительно точки О на импульс материальной точки

 

(2.3.2)

 

Модуль момента импульса

 

(2.3.3)

 

Направление момента импульса определяется по правилу правого винта (вектора и составляют правую тройку векторов).

Момент импульса системы материальных точек равен векторной сумме моментов импульсов отдельных материальных точек системы или векторному произведению радиус-вектора центра масс системы на импульс ее центра масс

 

(2.3.4)

 

Величина момента импульса твердого тела относительно оси вращения

 

(2.3.5)

 

где - момент инерции тела относительно оси z, w - угловая скорость тела.

Изотропность пространства (осевая симметрия пространства) приводит к закону сохранения момента импульса: в замкнутых системах момент импульса сохраняется.

В незамкнутых системах закон сохранения момент импульса выполняется в следующих случаях:

1 Если суммарный момент внешних сил равен нулю, то момент импульса системы сохраняется.

2 Если существует ось Z такая, что сумма проекций моментов внешних сил на эту ось равна нулю, то сохраняется проекция момента импульса системы на эту ось.

3 Момент импульса системы сохраняется, если время действия внешних сил мало.

Закон сохранения момента импульса является фундаментальным законом природы, выполняющимся при любых взаимодействиях в мега-, макро- и микромире. Законом сохранения момента импульса объясняются, в частности, плоская форма галактик, орбитальное движение планет Солнечной системы (второй закон Кеплера), изменение угловой скорости вращения фигуриста при изменении положения его рук и т.д. Многие элементарные частицы обладают внутренним моментом импульса (спином). Суммарный спин системы взаимодействующих частиц сохраняется при любых процессах слабого и сильного взаимодействий.

 

Работа, мощность, энергия

Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится понятие работы силы.

Механическая работа – это скалярная величина, равная скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения точки

Работа переменной силы на пути S

 

(2.3.6)

В частном случае постоянной силы, действующей под неизменным углом a к перемещению,

(2.3.7)

 

В системе СИ работа измеряется в джоулях (Дж). Работа может быть положительной (α < π/2) и отрицательной (α > π/2). Работа силы, перпендикулярной перемещению (например, силы притяжения Земли к Солнцу), равна нулю.

Мощностью называется величина, определяемая работой, совершаемой в единицу времени:

(2.3.8)

 

В случае постоянной мощности

 

N = А/t, (2.3.9)

 

где А - работа, совершаемая за время t. В системе СИ мощность измеряется в ваттах (Вт).

Энергия – это единая количественная мера различных форм движения и взаимодействия всех видов материи. Под движением в широком смысле слова понимают любое изменение материи. Различным формам движения соответствуют разные формы энергии: механическая, тепловая, электромагнитная, ядерная и т.д. Внутренней (тепловой) энергией называется сумма кинетической энергии теплового движения атомов и молекул тела и потенциальной энергии их взаимодействия. Электромагнитное поле является носителем электромагнитной энергии. Частным видом электромагнитной энергии является энергия электрического тока, широко используемая человеком. Ядерная энергия связана с взаимодействием протонов и нейтронов в ядре и может высвобождаться, например, при реакциях деления тяжелых ядер или при синтезе легких.

Механическая энергия – энергия тел при их механическом движении. Она характеризует способность тела совершать механическую работу. Механическая энергия подразделяется на кинетическую (Т _.) и потенциальную (П _.). Полная механическая энергия тела Е _м складывается из кинетической и потенциальной энергии

 

Е _м= Т + П (2.3.10)

Кинетическая энергия – это энергия, которой обладает движущееся тело. Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно со скоростью V

(2.3.11)

 

Кинетическая энергия зависит от системы отсчета и в этом смысле является относительной величиной. Так, сидящий человек массой 60 кг не имеет кинетической энергии в СО, связанной с земной поверхностью, но в системе отсчета, связанной с Солнцем, обладает кинетической энергией Т ≈33 МДж.

Кинетическая энергия системы материальных точек равна сумме кинетических энергией отдельных точек системы.

Кинетическая энергия тела с моментом инерции I, вращающегося вокруг неподвижной оси с угловой скоростью ω, определяется по формуле:

(2.3.12)

 

В общем случае тело может участвовать как в поступательном, так и во вращательном движении (колесо велосипеда). Тогда кинетическая энергия этого тела складывается из кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения.

Потенциальная энергия – часть механической энергии системы, связанная с взаимным расположением частей системы и определяемая характером сил, действующих между ними. Для каждого вида взаимодействия существует своя формула потенциальной энергии. Потенциальной энергией обладает тело, поднятое над поверхностью Земли, деформированная пружина и т.д.

Потенциальная энергия тела массы m, поднятого на высоту h над поверхностью Земли, находится по формуле

 

П = mgh, (2.3.13)

 

где g – ускорение свободного падения.

Потенциальная энергия упруго деформированного тела рассчитывается по формуле

(2.3.14)

 

где x – величина деформации, k – коэффициент упругости.

Среди возможных состояний системы особое значение имеет состояние устойчивого равновесия – состояние, которое не изменяется при малом внешнем воздействии на систему. В состоянии устойчивого равновесия потенциальная энергия системы минимальна, многие явления природы объясняются стремлением потенциальной энергии к минимуму. Так, шарообразность массивных небесных тел (звезд, планет) объясняется тем, что этой формой достигается минимум потенциальной гравитационной энергии взаимодействия частиц этих тел.

Закон сохранения энергии

Однородность времени (сдвиговая симметрия) приводит к закону сохранения энергии: при любых процессах полная энергия изолированной системы не изменяется; энергия может только превращаться из одного вида в другой и передаваться от одного тела системы к другому. Закон сохранения энергии – фундаментальный закон природы, выполняющийся на всех структурных уровнях организации материи. Не существует явлений и процессов, для которых этот закон не имел бы места. Нарушение закона сохранения энергии свидетельствовало бы о нарушении однородности времени.

Все явления и процессы в природе – от самых простых до самых сложных – протекают с сохранением энергии. Общий запас энергии во Вселенной с момента ее образования до наших дней остается постоянным. Появление высокоупорядоченных структур (от атомов и молекул до звезд и галактик) и явление жизни связано с последовательными превращениями одних форм энергии в другие. Часть энергии обязательно переходит в самую низшую форму – теплоту.

Большое значение для практической деятельности человека имеет частный случай − закон сохранения механической энергии, выполняющийся в поле консервативных сил.

Консервативной называется сила, работа которой не зависит от траектории, а определяется начальным и конечным состояниями системы. Работа консервативной силы по замкнутой траектории равна нулю. Консервативными являются сила тяжести, упругости, сила взаимодействия электрических зарядов и др. Сила, работа которой зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, называется диссипативной. Примером диссипативной силы является сила трения; работа силы трения по любой замкнутой траектории меньше нуля. Силовые поля, в которых действуют консервативные силы (например, поле гравитационных или поле упругих сил), называются потенциальными.

Закон сохранения механической энергии: в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется (не изменяется со временем)

Е _м= Т + П =const. (2.3.15)

 

В консервативных системах происходят превращения кинетической энергии в потенциальную и наоборот, при этом полная механическая энергия остается постоянной.

В диссипативных системах механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы. Этот процесс называется диссипацией (или рассеянием) энергии. Так, если в механической системе есть сила трения, то механическая энергия частично превращается в тепловую.

 

Контрольные вопросы

1 Что такое симметрия? Приведите примеры операций симметрии.

2 Сформулируйте теорему Нетер. Какова связь между симметрией и законами сохранения?

3 Сформулируйте закон сохранения импульса. С каким свойством пространства связан этот закон?

4 Приведите примеры явлений, объясняющихся законом сохранения импульса.

5 Сформулируйте закон сохранения момента импульса. С каким свойством пространства связан этот закон?

6 Приведите примеры явлений, объясняющихся законом сохранения момента импульса.

7 Дайте определения энергии, мощности и работы. В чем заключается различие между понятиями энергии и работы?

8 Сформулируйте закон сохранения энергии. С каким свойством времени он связан?

9 В чем заключается закон сохранения механической энергии? В каких системах выполняется этот закон?

10 Какие силы называются консервативными? Диссипативными? Приведите примеры консервативных и диссипативных сил.