Компьютерный урок «Одинаковые и разные цепочки»

Задача 155. В данной задаче некоторую сложность представляет то, что все цепочки очень похожи. Пожалуй, сразу можно отбросить как неподходящую лишь цепочку, состоящую из трёх бусин. Все остальные цепочки построены из одного и того же набора бусин, поэтому их придётся проверять более внимательно. Если у кого-то из ребят с этой задачей возникнут проблемы, посоветуйте ему полный перебор всех цепочек с обязательным использованием пометок для цепочек, которые уже просмотрены.

Задача 156. В этой задаче цепочки отличаются гораздо больше, чем в предыдущей. Поэтому их удобно делить на группы по наличию или отсутствию некоторой бусины, по ходу отбрасывая неподходящие. Например, фиолетовая бусина есть лишь в одной цепочке, поэтому эту цепочку можно сразу отбросить. Аналогично можно отбросить цепочку с зелёной круглой бусиной и цепочку с зелёной квадратной бусиной. Оставшиеся цепочки делятся на две пары по наличию или отсутствию голубых бусин. В этих парах цепочки придётся сравнивать более внимательно, т. е. поэлементно.

Задача 157. Здесь, как и во многих других задачах на одинаковость цепочек, удобнее двигаться одновременно по всем цепочкам, сравнивая бусины на соответствующих местах и делая их одинаковыми. Рассмотрим первые бусины пяти цепочек. Одна из них раскрашена в фиолетовый цвет. Чтобы сделать все эти цепочки одинаковыми, нужно и другие четыре бусины также раскрасить в фиолетовый цвет. Рассуждая так, мы двигаемся по цепочкам, пока не доходим до конца. Если у слабого ребёнка с этой задачей возникнут проблемы, раскрасьте, рассуждая вместе с ним, первые две бусины всех цепочек, остальные бусины пусть раскрасит сам.

Задача 158. С использованием инструмента «лапка» эту задачу удобно решать методом проб и ошибок. Поэтому постарайтесь не давать детям никаких пояснений, пусть экспериментируют. Проще всего в таких задачах, конечно, строить цепочки одновременно, выкладывая на одинаковые места цепочек одинаковые фигурки, но у детей могут возникнуть и другие стратегии. В любом случае ошибку увидеть здесь легко: ведь одинаковые фигурки в цепочках должны оказаться одна под другой.

Задача 159. Эта задача требует некоторой внимательности. Как видите, цепочки нарисованы так, что их направления противоположны. Тех детей, которые это не заметят и допустят ошибку, попросите пометить галочкой начало и первую бусину в каждой цепочке. После этого попросите ребёнка сделать формальную проверку — сравнить попарно фигурки, стоящие на одинаковых местах, двигаясь от начала к концу цепочек. Многие увидят свою ошибку уже на первом шаге.

Задача 160. Кого-то из детей поначалу эта задача может поставить в тупик: ведь все бусины здесь одинаковые. На самом деле это означает лишь то, что мы не можем сделать цепочки разными, поставив на одинаковые места разные бусины или просто изменив порядок следования бусин. Однако мы можем построить цепочки из разного числа бусин. Если ребёнок никак не может до этого додуматься, посоветуйте ему воспользоваться методом проб и ошибок. Обсудите вместе с ним, в чём здесь будут заключаться разные варианты, учитывая то, что все бусины одинаковые.

Задача 161. Задача на повторение сравнения фигурок наложением. Здесь дети сравнивают фигурки только по длине, поэтому полного совпадения при наложении не требуется, требуется только совпадение по верхнему и нижнему краям фигурок. Как обычно, в таких задачах лапка запрограммирована таким образом, чтобы при наложении фигурки правильно совмещались по некоторым точкам или линиям. Поскольку фигурки сравниваются по длине, совмещение происходит по нижнему краю фигурок.

Задача 162 (необязательная). Эта задача из разряда сложных, поскольку фигурок здесь довольно много. Кроме того, клеток в фигурках тоже много и все раскрашенные клетки одного цвета. Сначала стоит посчитать число раскрашенных квадратиков во всех фигурках. Оказывается, что в одной фигурке раскрашенных квадратиков пять, а во всех остальных — четыре. Значит, мы уже нашли фигурку, в которой будем раскрашивать квадратик. Дальше можно использовать разные стратегии. Например, можно сравнить найденную фигурку по очереди со всеми остальными. А можно немножко порассуждать и тем самым существенно облегчить решение. Так, проанализировав найденную фигурку, мы приходим к выводу, что из всего набора нам надо выбрать только те фигурки, у которых в нижнем ряду закрашены либо две крайние справа клетки, либо все три (поскольку один квадратик мы можем раскрасить по условию задачи). Оказывается, таких фигурок в наборе только две! Таким образом, вместо одиннадцати пар мы сравниваем две и быстро находим решение.

Вот решение данной задачи:

Урок «Мешок»

Новые ключевые понятия: мешок, есть, нет, ровно, пустой мешок.

До настоящего момента дети в нашем курсе работали лишь с одной структурой элементов — цепочкой (конечной последовательностью). На данном уроке ребятам предстоит познакомиться с новой структурой — мешком. Примеры листа определений позволяют выделить следующие отличительные особенности мешка. Во-первых, мешок состоит из отдельных элементов, т. е., как и цепочка, мешок — это дискретная структура. При этом элементами мешка могут быть, вообще говоря, любые объекты. В нашем курсе ребята будут обычно иметь дело с мешками фигурок, бусин, букв или цифр. Во-вторых, мешок — структура, где элементы сложены без всякого порядка и не находятся между собой ни в каких отношениях. Это — важное отличие мешка от цепочки, т. е. если цепочка — упорядоченная структура, то мешок — неупорядоченная структура. Таким образом, можно представлять мешок как кучку элементов и рисовать (писать, называть) элементы мешка в любом порядке.

В математике в качестве неупорядоченной структуры чаще используют понятие «множество». Понятие «мешок» соответствует математическому понятию «мультимножество». Единственное отличие мешка от множества в том, что в мешке могут быть одинаковые элементы (в множестве это невозможно). Поскольку при введении серьёзных теоретических понятий мы всегда опираемся на предметное мышление ребёнка, то в данной теме делаем всё, чтобы ребёнок соотнёс наше понятие «мешок» с реальным мешком предметов. Такое представление оказывается достаточным, чтобы успешно решать задачи и заложить основы глубокого теоретического знания. Ясно, что в реальном мешке может быть несколько совершенно одинаковых предметов, например карандашей, скрепок, мячей и т.д. Как видите, в нашем курсе понятие «мешок» оказывается более естественным для детей и удобным.  

С мешком любой элемент связан отношением принадлежности, т. е. он либо есть в мешке, либо его нет. Понятия «есть», «нет» вводятся на материале мешков, они в равной степени могут употребляться и по отношению к цепочкам. Здесь дети знакомятся и с ещё одним новым понятием «ровно».

Мы хотим, чтобы ребята сразу поняли разницу в употреблении понятий «есть» и «ровно», в том числе некоторое отличие от словоупотребления в языке. Так, понятие «есть» мы употребляем, если хотим сказать, что данный элемент просто принадлежит данному мешку. При этом речь не идёт о числе таких элементах в мешке. Мы можем сказать: «В мешке есть яблоко» — и в той ситуации, когда там всего одно яблоко, и в той ситуации, когда там 10 яблок. С точки зрения языка для мешка с несколькими яблоками логичнее было бы сказать: «В мешке есть яблоки», но мы этого не делаем, чтобы выделить логическую составляющею утверждения. С точки зрения формальной логики утверждение «В мешке есть яблоко» означает, что в мешке есть хотя бы одно яблоко. Никакую дополнительную информацию мы в такие утверждения умышленно не включаем. Если же мы хотим указать точное число элементов в мешке, мы используем понятие «ровно». Выражение «В мешке ровно 8 элементов» мы будем понимать так, что мешок состоит ровно из 8 элементов, т. е. в мешке есть 8 элементов, но нет 9 элементов.

Также на данном листе определений ребята знакомятся с понятием «пустой мешок». Ясно, что это мешок, в котором нет ни одного элемента.

Решение задач из учебника

Задача 153. Несмотря на то что эта задача совсем простая, на неё стоит обратить внимание, поскольку в ней дети впервые сами рисуют мешок. Дети, конечно, заметят, что мы в учебнике часто рисуем мешки похожими на обычные мешочки предметов в разрезе. В частности, мы рисуем веревочку с бантиком, выделяем внутреннюю часть мешка серым цветом и т. д. Всё это важно с методической точки зрения, чтобы провести аналогию с реальными мешками предметов. Однако ясно, что детям делать то же самое совершенно необязательно. Для них достаточно просто нарисовать мешок так, чтобы было понятно, какие элементы в нём есть. Для этого можно нарисовать оболочку мешка в виде окружности, овала, скруглённого прямоугольника или другой замкнутой кривой без самопересечений. Размер оболочки (границы) мешка должен быть таким, чтобы в ней полностью помещались все элементы мешка. Поэтому часто детям удобнее сначала нарисовать все элементы, а затем провести границу. В данном случае задача имеет очень много решений. Подойдёт и мешок с одной круглой бусиной, и мешок с десятью круглыми бусинами. Важно лишь то, чтобы в мешке не было ни одной треугольной и ни одной квадратной бусины. Ясно, что поскольку в условии сказано, что искомый мешок — мешок бусин, то никаких других элементов (не бусин) в мешке тоже быть не должно.

Задача 154. Из примеров листа определений ребята должны сделать вывод, что пустой мешок — это мешок, в котором нет ни одного элемента. Именно такой мешок в этой задаче ребята и должны нарисовать.

Задача 155. Задача на усвоение новых понятий «есть», «нет». Если учащийся допустил в ней ошибку, его достаточно вернуть к текущему листу определений.

Задача 156. Не слишком сложная, но важная задача. Здесь дети впервые в одной задаче имеют возможность сравнить употребление понятий «есть» и «ровно». Так, словосочетание «есть два яблока» дети должны понимать так: в мешке есть хотя бы 2 яблока. При этом в мешке может быть и больше яблок. В данном случае в подходящем для нас (первом) мешке 3 яблока. Второй мешок нам не подходит, поскольку там вообще нет яблок, в третьем мешке яблоко лишь одно (т. е., двух яблок опять нет).

Второе задание сформулировано со словом «ровно», поэтому в нем требуется найти мешок, в котором ровно 2 груши, т. е. в котором есть две груши, но нет 3 груш. Например, второй мешок нам не подходит, поскольку в нём 6 груш.

Задача 157 (необязательная). Данная задача имеет ровно одно решение, поскольку в ней не встретится случай, когда обе клетки, стоящие на одинаковых местах, не раскрашены. Таким образом, цвет каждой нераскрашенной клетки в одной фигуре определяется однозначно цветом соответствующей раскрашенной клетки в другой фигуре.

Задача 158 (необязательная). Ребятам, которые затрудняются в решении этой задачи, можно, как обычно, предложить использовать метод перебора и пометки. Поскольку фигурок в наборе много и фигурки очень похожи, провести полный перебор здесь непросто. Эту задачу не стоит предлагать невнимательным учащимся и учащимся со слабой техникой.

Задача 159. Сильные учащиеся, скорее всего, решат задачу без всякой опоры; слабым, возможно, придётся работать с числовой линейкой. Обязательно нужно использовать числовую линейку в том случае, если учащийся допустил ошибку. Попросите такого ученика отметить все числа, которые он записал в окне на числовой линейке. В этом случае ошибки будет найти очень легко.

Задача 160 (необязательная). Здесь дети должны проверить наличие в цепочках одинаковых фигурок. Мы надеемся, что все дети справятся с задачей самостоятельно. Общую проверку в этой задаче организовать довольно сложно (ребёнку придется перечислять все фигурки в цепочке), поэтому предлагаем вам проверить решения, проходя по классу. Если кто-то допустил ошибку, попросите ребёнка отметить (пометить галочкой или обвести красным) две одинаковые фигурки в своей цепочке. Если слабый ученик затрудняется и ничего не может придумать, обсудите вместе с ним любую цепочку на предмет выполнения условия задачи. Посоветуйте ему вычёркивать цепочки, которые не подошли, так он найдёт ответ методом исключения.