Вывод уравнения непрерывности из уравнений Максвелла

Уравнение непрерывности

(10.18)

выражающее закон сохранения заряда, связывает объемную плотность заряда q = o(t, г) и плотность тока j = j(t, r). Покажем, что это урав­нение можно получить из уравнений Максвелла. Докажем следующее тождество:

d_1V rot a = 0, (10.19)

где а = а(г) - произвольное векторное поле. Ротор вектора а можно вычислить по формуле

г j к д_ д_ д_

дх ду dz

 

да^ да_у ~dy~~dz

Дивергения некоторого векторного поля b = 6(г) есть скалярная вели­
чина, определяемая формулой: v'iO Ф

E)= _(1(Ш)

дх ду dz

Подставив в эту формулу вместо координат вектора Ъ координаты век­тора rot а, получим выражение rot а = [Vа] =

 

 

Нетрудно видеть, что это выражение тождественно равно нулю. Таким образом, тождество (10.19) доказано.

Вычислим дивергенцию левой и правой частей уравнения (10.3). С учетом тождества (10.19) придем к равенству

 

div -г— + div j = 0.

H_x Ну H_z Вычислив определитель, получим

[Ж Ж] = {Еу Н₂ - E_z Ну) г+ {E_z Н_х - Е_х Н_я) j + {Е_х Н_у - Е_у Я,) * Л

Теперь найдем дивергенцию этого выражения:

div[lf Я] =

= SL(E_y&- E_z Ну) + 4~{E_Z Н~ Е_х H_z) + -^-{Е_х Ну - Е_у Н_х).

 

Согласно уравнению (10.2) дивергенция электрической индукции равна объемной плотности заряда. С учетом этого придем к уравнению непре­рывности (10.18).

Задача. Используя теоремы Стокса и Остроградского - Гаус­са вывести уравнения Максвелла в интегральной форме из уравнений (10.1)-(10.4). Это равенство можно записать так:

 

 

[Е Н] =

Ех Еу Ег

 

div [Ж Ж] = Ж rot Ж - Ж rot If. Вычислим векторное произведение векторов Е и Япо

Вывод соотношения, связывающего

Плотность энергии электромагнитного поля

И вектор Умова — Пойнтинга

Докажем тождество

div [Ж Ж] = Ж rot Ж - Ж rot If. Вычислим векторное произведение векторов Е и Япо

Раскроем скобки и сгруппируем полученные слагаемые следующим обра­зом:

div [if Я*] =

дЕ_у дЕ_х

dE_z дЕ_у

ду ~д7 dH_z

 

ду dz) * oz ox J \ дх ду

Как следует из формулы (10.20), первые три выражения в круглых скоб­ках, следующие за координатами вектора В, есть координаты вектора rot E,

 

 

дЕ_х ВЕ

выражения в круглых скобках, следующие за координатами векто­ра Е, есть координаты вектора rot Я. Таким образом, тождество (10.22) доказано.

Вычислим производную от плотности энергии w по времени t. Соглас­но формуле (10.11) с учетом формул (10.10) будем иметь

dt

Преобразуем pfo выражение при помощи уравнений (10.1) и (10.3), запи­
сав их в видеС-' dB

Получим

С учетом тождества (10.22) придем к уравнению

(10.23)

 

Чтобы доказать это, проинтегрируем обе части уравнения (10.23) по не­которому объему V. Получим

Левую часть этого равенства можно записать так:

 

где

■

W(t) = f

- энергия электромагнитного поля, заполняющая объем V в момент вре­мени t. Первый интеграл в правой части

Р- fjlfdV

v

есть мощность джоулева энерговыделения, т.е. тепло, которое выделя­ется в объеме V за единицу времени вследствие прохождения электри­ческого тока по веществу в этом объеме. Интеграл от дивергенции по объему V, используя теорему Остроградского - Гаусса, можно преобра­зовать в интеграл по поверхности S, ограничивающей этот объем:

'

 

Таким образом, придем к уравнению (10.14).

10.5. Ковариантность уравнений Максвелла

 

Можно показать, что уравнения Максвелла, описывающие электро­магнитное поле в вакууме, ковариантны относительно преобразований Лоренца. Это означает, что системы отсчета К к другой К'. Преобразованиям Лоренца соответствуют определенные преобразования величин, характеризующих электромагнитное поле. Пусть некоторое электромагнитное поле в системе отсчета К, характеризуется векторами

Е и В напряженностей электрического и магнитного полей. В

 

К' то же электромагнитное поле будет характеризоваться дру­гими векторами Е' и В'. При переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой эти векторы преобразуются так, что

Ж'=

В результате оказывается, что электромагнитное поле, создаваемое од­ной и той же системой зарядов, описывается различными функциями

div 5* dV = i]Н -Н (t, r)

в разных инерциальных системах отсчета.

Рассмотрим два тела К и К'. Пусть второе тело движется относи­тельно первого прямолинейно и поступательно с постоянной скоростью V. Построим две прямоугольные декартовы системы координат К и К', связанные с этими телами (рис. 10.1). Событие А, произошедшее в неко­торой точке пространства Р, характеризуется наблюдателем в системе отсчета К координатами х, у и z этой точки и моментом времени t. Это же событие А характеризуется наблюдателем в системе отсчета К¹ ко­ординатами х', у' и z' точки Р и моментом времени t'. Связь между величинами х, у, z,t и х', у', z', t' осуществляется посредством преобра­зований Лоренца

где

 

Эти формулы описывают переход от одной инерциальной системы отсче­та к другой.

Рис. 10.1. Две инерциалъные системы отсчета